【0-1背包变种】力扣2787. 将一个数字表示成幂的和的方案数

sjsjs112024-09-02 22:23

给你两个正整数 n 和 x 。

请你返回将 n 表示成一些互不相同正整数的 x 次幂之和的方案数。换句话说，你需要返回互不相同整数 $n1, n2, ..., nk$ 的集合数目，满足 n = n1x + n2x + ... + nkx 。

由于答案可能非常大，请你将它对 109 + 7 取余后返回。

比方说，n = 160 且 x = 3 ，一个表示 n 的方法是 n = 23 + 33 + 53 。

示例 1：

输入：n = 10, x = 2

输出：1

解释：我们可以将 n 表示为：n = 32 + 12 = 10 。

这是唯一将 10 表达成不同整数 2 次方之和的方案。

示例 2：

输入：n = 4, x = 1

输出：2

解释：我们可以将 n 按以下方案表示：

n = 41 = 4 。
n = 31 + 11 = 4 。

提示：

1 <= n <= 300

1 <= x <= 5

cpp 复制代码

const int MOD = 1e9 + 7;
        
class Solution {
public:
    int numberOfWays(int n, int x) {
        vector<int> f(n+1);
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; ; i++) {
            int v = std::pow(i, x);
            if (v > n) break;
            for (int s = n; s >= v; s--) {
                f[s] = (f[s] + f[s - v]) % MOD;
            }
        }
        return f[n];
    }
};

0-1背包问题的变种，首先我们定义一个一维数组f，f $s$ 表示可以用不同整数的 x 次幂来表示 s 的所有组合方式的数量。当 v > n 时，意味着 v 已经超过了目标数 n，所以没有必要继续计算更大的幂次，因为它们不可能再参与组合成 n。f[s] = (f[s] + f[s - v]) % MOD这个公式的意思是：当前目标数 s 的组合方式 f $s$ 应该包括所有能组合成 s-v 的组合方式 f $s-v$ ，因为你可以通过加上 v 来实现 s。最后返回 f $n$ ，它表示用 x 次幂的整数来组合成 n 的所有不同方案的数量。