给你两个 正 整数 n 和 x 。
请你返回将 n 表示成一些 互不相同 正整数的 x 次幂之和的方案数。换句话说,你需要返回互不相同整数 [n1, n2, ..., nk] 的集合数目,满足 n = n1x + n2x + ... + nkx 。
由于答案可能非常大,请你将它对 109 + 7 取余后返回。
比方说,n = 160 且 x = 3 ,一个表示 n 的方法是 n = 23 + 33 + 53 。
示例 1:
输入:n = 10, x = 2
输出:1
解释:我们可以将 n 表示为:n = 32 + 12 = 10 。
这是唯一将 10 表达成不同整数 2 次方之和的方案。
示例 2:
输入:n = 4, x = 1
输出:2
解释:我们可以将 n 按以下方案表示:
- n = 41 = 4 。
- n = 31 + 11 = 4 。
提示:
1 <= n <= 300
1 <= x <= 5
cpp
const int MOD = 1e9 + 7;
class Solution {
public:
int numberOfWays(int n, int x) {
vector<int> f(n+1);
f[0] = 1;
for (int i = 1; ; i++) {
int v = std::pow(i, x);
if (v > n) break;
for (int s = n; s >= v; s--) {
f[s] = (f[s] + f[s - v]) % MOD;
}
}
return f[n];
}
};
0-1背包问题的变种,首先我们定义一个一维数组f,f[s]表示可以用不同整数的 x 次幂来表示 s 的所有组合方式的数量。当 v > n 时,意味着 v 已经超过了目标数 n,所以没有必要继续计算更大的幂次,因为它们不可能再参与组合成 n。f[s] = (f[s] + f[s - v]) % MOD
这个公式的意思是:当前目标数 s 的组合方式 f[s] 应该包括所有能组合成 s-v 的组合方式 f[s-v],因为你可以通过加上 v 来实现 s。最后返回 f[n],它表示用 x 次幂的整数来组合成 n 的所有不同方案的数量。