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1) 基本思想 基本思想)
1) 基本思想 基本思想)
[2.2.2 堆排序](#2.2.2 堆排序)
1) 基本思想 基本思想)
前言
在数据结构中，排序是指将一组数据按照特定的规则重新排序的过程。排序可以使数据按照升序或者降序排列，从而方便后续的操作和查找。
一、排序的概念及运用
1.排序的概念
排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。
稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。
例如：
内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。
外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。
2.排序的运用
排序在生活中的使用无处不在，成绩排名、商品排名、电影榜单等等数不胜数。
3.常见排序算法
二、插入排序与选择排序
2.1插入排序
2.1.1直接插入排序
1）基本思想
直接插入排序是一种简单的排序算法，它的基本思想是将待排序的数据分成已排序和未排序两部分，每次从未排序部分中取出一个元素，然后将其有序地插入到已排序部分的合适位置。
当插入第i(i>=1)个元素时，前面的array[0],array[1],...,array[i-1]已经排好序，此时用array[i]的排序码与array[i-1],array[i-2],...的排序码顺序进行比较，找到插入位置即将array[i]插入，原来位置上的元素顺序后移
动画演示：
2）具体步骤
-
将第一个元素视为已排序部分，将剩余的元素视为未排序部分。
-
从未排序部分取出第一个元素，将其插入到已排序部分的合适位置。插入时，从后往前逐个比较已排序部分的元素，将大于待插入元素的元素依次后移，直到找到一个小于或等于待插入元素的位置。
-
重复步骤2，直到未排序部分中的所有元素都插入到已排序部分。
3）算法特性
-
元素集合越接近有序，直接插入排序算法的时间效率越高
-
时间复杂度：直接插入排序的时间复杂度是O(n^2)，其中n是待排序数据的个数。当输入数据已经基本有序时，直接插入排序的性能较好，时间复杂度可以降低到O(n)。但当输入数据完全逆序时，直接插入排序的性能较差，时间复杂度会达到最大值O(n^2)。
-
空间复杂度：O(1)，它是一种稳定的排序算法
-
稳定性：稳定
4）算法实现
cpp
void InsertSort(int* a, int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int end = i-1;
int tmp = a[i];
//将tmp插入到[0, end]区间中，保持有序
while (end >= 0)
{
if (tmp < a[end])
{
a[end + 1] = a[end];
--end;
}
else
{
break;
}
}
a[end + 1] = tmp;
}
}2.1.2希尔排序
希尔排序法又称缩小增量法。
1) 基本思想
将待排序的数据按照一定的增量分组，对每组数据进行插入排序，然后逐渐减小增量，重复上述步骤，直至增量为1，完成最后一轮的插入排序。
图示：
2）具体步骤
-
选择一个增量序列，常用的增量序列是希尔增量（N/2, N/4, N/8...，直到增量为1）。
-
对于每个增量，以增量作为间隔将待排序的数据分成多个组，分别对每个组进行插入排序。
-
逐渐减小增量，重复上述步骤，直至增量为1。
3）算法特性
-
希尔排序是对直接插入排序的优化。
-
当gap > 1时都是预排序，目的是让数组更接近于有序。当gap == 1时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。这样整体而言，可以达到优化的效果。我们实现后可以进行性能测试的对比。
-
希尔排序的时间复杂度较为复杂，最好情况下为O(n log^2 n)，最坏情况下为O(n^2)，平均情况下为O(n log n)。希尔排序的性能优于直接插入排序，尤其是对于数据量较大的情况，其性能优势更加明显。这里一般可以认为时间复杂度为O(N^1.3)左右。
-
稳定性：不稳定
4）算法实现
多组同时排法：
cpp
void ShellSort(int* a, int n)
{
//预处理
int gap = n;
while (gap > 1)
{
//这里必须保证gap最后一次是1
//gap /= 2;
gap = gap / 3 + 1;
for (int i = gap; i < n; i++)
{
int end = i - gap;
int tmp = a[end + gap];
while (end >= 0)
{
if (tmp < a[end])
{
a[end + gap] = a[end];
end -= gap;
}
else
{
break;
}
}
a[end + gap] = tmp;
}
}
}排完一组再排下一组：
cpp
void ShellSort(int* a, int n)
{
//预处理
int gap = n;
while (gap > 1)
{
//这里必须保证gap最后一次是1
//gap /= 2;
gap = gap / 3 + 1;
for (int j = 0; j < gap; j++)
{
for (int i = gap+j; i < n; i += gap)
{
int end = i - gap;
int tmp = a[end + gap];
while (end >= 0)
{
if (tmp < a[end])
{
a[end + gap] = a[end];
end -= gap;
}
else
{
break;
}
}
a[end + gap] = tmp;
}
}
}
}2.2选择排序
2.2.1直接选择排序
1) 基本思想
每一次从待排序的数据中选择最小（或最大）的元素，放到已排序序列的末尾，直到全部待排序的数据元素排完 。
动画演示：
2）具体步骤
-
找到待排序序列中最小（或最大）的元素，记为A。
-
将A与待排序序列的第一个元素交换位置。
-
然后在剩余的待排序序列中找到最小（或最大）的元素，再与待排序序列的第二个元素交换位置。
-
重复上述步骤，直到待排序序列变为空。
3）算法特性
-
直接选择排序思考非常好理解，但是效率不是很好。实际中很少使用
-
时间复杂度：直接选择排序的时间复杂度是O(n^2)，无论输入数据的情况如何，都需要进行n-1次的比较和若干次元素交换。虽然直接选择排序的时间复杂度较高，但是它的优点是原地排序，不需要额外的空间。
-
空间复杂度：O(1)
-
稳定性：不稳定
4）算法实现
cpp
void Swap(int* p1, int* p2)
{
int tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void SelectSort(int* a, int n)
{
int left = 0, right = n - 1;
while (left < right)
{
int mini = left, maxi = left;
for (int i = left + 1; i <= right; i++)
{
if (a[i] < a[mini])
{
mini = i;
}
if (a[i] > a[maxi])
{
maxi = i;
}
}
Swap(&a[left], &a[mini]);
//如果left和maxi重叠，交换后修正一下，否则这里会出问题，换两次换回去了
if (maxi == left)
{
maxi = mini;
}
Swap(&a[right], &a[maxi]);
left++;
right--;
}
}2.2.2 堆排序
堆排序是一种利用堆的数据结构进行排序的算法。堆是一种特殊的二叉树，满足堆性质：任意节点的值都大于等于（或小于等于）其子节点的值。需要注意的是排升序要建大堆，排降序建小堆。
1) 基本思想
将待排序的数据构造成一个堆，然后将堆顶元素与末尾元素交换，再对剩余的元素重新构造堆，以此类推，最终得到有序的序列。
2）具体步骤
-
构建最大堆（或最小堆），将待排序的数据转换为堆。
-
将堆顶元素（即最大值或最小值）与堆的最后一个叶子节点交换位置。
-
重新调整堆，将堆顶元素下沉，使得堆仍然满足堆性质。
-
重复上述步骤，直到堆只剩一个元素或为空。
3）算法特性
-
堆排序使用堆来选数，效率就高了很多。
-
时间复杂度：堆排序的时间复杂度是O(nlogn)，堆的构建需要O(n)的时间，每次调整堆的时间为O(logn)。堆排序是一种原地排序算法，不需要额外的空间。由于堆排序具有良好的局部性，适合用于大规模数据的排序。
-
空间复杂度：O(1)
-
稳定性：堆排序是一种不稳定的排序算法，相同元素的相对位置可能会改变。
4）算法实现
cpp
void ADjustDown(int* a, int sz, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < sz)
{
//选出左右孩子中大的一个
//这里child+1的判断在前，不要先访问再判断
//这里a[child + 1] > a[child] 建大堆用>， 建小堆用<
if (child + 1 < sz && a[child + 1] > a[child])
{
//这地方可能会越界
++child;
}
//这里a[child] > a[parent] 建大堆用>， 建小堆用<
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapSort(int* a, int sz)
{
//1.建堆 -- 向上调整建堆 NlogN
//左右子树必须是大堆/小堆
/*for (int i = 1; i < sz; i++)
{
ADjustUp(a, i);
}*/
//2.向下调整建堆 N
//左右子树必须是大堆/小堆
for (int i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
ADjustDown(a, sz, i);
}
int end = sz - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[end], &a[0]);
ADjustDown(a, end, 0);
--end;
}
}堆排序在前文中已经详细介绍了，具体见：
三、算法复杂度及稳定性分析
总结
排序算法的选择可以根据数据的特点、数据量以及排序的要求来确定。不同的排序算法具有不同的时间复杂度和空间复杂度，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的排序算法。
直接插入排序：
- 直接插入排序是一种简单直观的排序算法，其思想是将待排序的序列分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分选择一个元素插入到已排序部分的合适位置，直到所有元素都插入到已排序部分为止。
- 直接插入排序的时间复杂度为O(n^2)，是稳定的排序算法。
希尔排序：
- 希尔排序是直接插入排序的一种改进算法，其核心思想是通过多次分组插入排序，每次对间隔较远的元素进行插入排序，逐步缩小间隔直到间隔为1，最后进行一次完整的插入排序。
- 希尔排序的时间复杂度取决于间隔序列的选择，一般为O(nlogn)，是不稳定的排序算法。
直接选择排序：
- 直接选择排序是一种简单直观的排序算法，其思想是每次从未排序的序列中选择最小（或最大）的元素，将其与未排序部分的第一个元素交换位置，直到所有元素都排序完成。
- 直接选择排序的时间复杂度为O(n^2)，是不稳定的排序算法。
堆排序：
- 堆排序利用二叉堆这种数据结构进行排序，将待排序的元素依次插入到堆中，然后从堆顶依次取出最大（或最小）的元素，直到所有元素都取出为止。
- 堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，是不稳定的排序算法。