逻辑回归是一种广泛使用的监督学习算法，主要用于二分类问题。虽然名为"回归"，但它实际上是一个分类算法，因为它的输出是离散的类别标签。逻辑回归通过使用逻辑函数（或称Sigmoid函数）将线性回归的连续输出值映射到(0,1)区间，从而预测一个事件发生的概率。
逻辑回归的数学表达
逻辑回归模型使用以下公式来预测概率：
[ P(y=1|x) = \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \ldots + \beta_n x_n)}} ]
其中，( P(y=1|x) ) 是给定特征( x )下，目标变量( y )为1的概率，( \beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_n )是模型参数。
损失函数
逻辑回归使用对数似然损失函数，也称为交叉熵损失，来优化模型参数。对于二分类问题，损失函数定义为：
[ J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)})) \right] ]
其中，( m )是样本数量，( h_\theta(x) )是模型的预测概率。
梯度下降算法
与线性回归类似，逻辑回归也使用梯度下降算法来优化损失函数。参数更新规则如下：
[ \theta_j := \theta_j - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) ]
其中，( \alpha )是学习率。
代码实现
以下是使用Python和scikit-learn库实现逻辑回归的一个简单示例：
python
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
X, y = iris.data, iris.target
# 只选择两个类别进行二分类
X = X[y != 2]
y = y[y != 2]
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)
# 创建逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
# 训练模型
model.fit(X_train, y_train)
# 预测
predictions = model.predict(X_test)
# 打印模型参数
print("模型截距：", model.intercept_)
print("模型系数：", model.coef_)
# 计算模型性能
print("准确率：", accuracy_score(y_test, predictions))题目
- 逻辑回归与线性回归的区别：逻辑回归和线性回归在目标函数和应用场景上有何不同？
- Sigmoid函数的作用：Sigmoid函数在逻辑回归中扮演什么角色？
- 损失函数的选择：为什么逻辑回归选择对数似然损失函数？
- 模型评估指标：在分类问题中，除了准确率，还有哪些重要的评估指标？
- 正则化：在逻辑回归中如何使用正则化来防止过拟合？
- 多分类问题：逻辑回归如何处理多分类问题？
通过深入理解逻辑回归的原理和实践，你可以更有效地应用这一强大的分类算法来解决实际问题。
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