机器学习算法:监督学习中的逻辑回归

逻辑回归是一种广泛使用的监督学习算法,主要用于二分类问题。虽然名为"回归",但它实际上是一个分类算法,因为它的输出是离散的类别标签。逻辑回归通过使用逻辑函数(或称Sigmoid函数)将线性回归的连续输出值映射到(0,1)区间,从而预测一个事件发生的概率。

逻辑回归的数学表达

逻辑回归模型使用以下公式来预测概率:

P(y=1\|x) = \\frac{1}{1 + e\^{-(\\beta_0 + \\beta_1 x_1 + \\ldots + \\beta_n x_n)}}

其中,( P(y=1|x) ) 是给定特征( x )下,目标变量( y )为1的概率,( \beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_n )是模型参数。

损失函数

逻辑回归使用对数似然损失函数,也称为交叉熵损失,来优化模型参数。对于二分类问题,损失函数定义为:

J(\\theta) = -\\frac{1}{m} \\left\[ \\sum_{i=1}\^{m} y\^{(i)} \\log(h_\\theta(x\^{(i)})) + (1 - y\^{(i)}) \\log(1 - h_\\theta(x\^{(i)})) \\right\]

其中,( m )是样本数量,( h_\theta(x) )是模型的预测概率。

梯度下降算法

与线性回归类似,逻辑回归也使用梯度下降算法来优化损失函数。参数更新规则如下:

\\theta_j := \\theta_j - \\alpha \\frac{\\partial}{\\partial \\theta_j} J(\\theta)

其中,( \alpha )是学习率。

代码实现

以下是使用Python和scikit-learn库实现逻辑回归的一个简单示例:

python 复制代码
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score

# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
X, y = iris.data, iris.target

# 只选择两个类别进行二分类
X = X[y != 2]
y = y[y != 2]

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)

# 创建逻辑回归模型
model = LogisticRegression()

# 训练模型
model.fit(X_train, y_train)

# 预测
predictions = model.predict(X_test)

# 打印模型参数
print("模型截距:", model.intercept_)
print("模型系数:", model.coef_)

# 计算模型性能
print("准确率:", accuracy_score(y_test, predictions))
题目
  1. 逻辑回归与线性回归的区别:逻辑回归和线性回归在目标函数和应用场景上有何不同?
  2. Sigmoid函数的作用:Sigmoid函数在逻辑回归中扮演什么角色?
  3. 损失函数的选择:为什么逻辑回归选择对数似然损失函数?
  4. 模型评估指标:在分类问题中,除了准确率,还有哪些重要的评估指标?
  5. 正则化:在逻辑回归中如何使用正则化来防止过拟合?
  6. 多分类问题:逻辑回归如何处理多分类问题?

通过深入理解逻辑回归的原理和实践,你可以更有效地应用这一强大的分类算法来解决实际问题。

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