1. 向量
向量是一个既有大小(模)又有方向 的对象，它可以用来描述空间中的位置、力或速度等量。我们可以从物理、数学和计算机的角度来看待向量，这三种观点看似不同却有关联。
（1）在物理专业视角下，向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度(大小)和它所指的方向 。处在平面中的向量是二维的，而处在我们所生活的空间中的向量是三维的。
（2）在计算机专业视角下，向量是有序的数字列表，例如二维向量 x = [ 1 , 2 ] \boldsymbol{x}=[1,2] x=[1,2]。
（3）在数学专业视角下，向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。向量加法与向量数乘贯穿线性代数始终，二者起着很重要的作用。
2. 向量是有序的数字列表
（1）在二维空间中(X-Y平面)，我们通常以原点（也就是坐标(0,0)）作为起点，一个向量的坐标由"两个数"组成。而这"两个数"表示：如何从原点(向量起点)出发到达它的尖端(向量终点)。例如，二维向量 x = [ 2 , 4 ] \boldsymbol{x}=[2,4] x=[2,4]，向量通常使用方括号([])括起来。对于二维向量 x = [ x 0 , y 0 ] \boldsymbol{x}=[x_0,y_0] x=[x0,y0]，第一个数 x 0 x_0 x0 表示向量沿着 X X X 轴能走多远；第二个数 y 0 y_0 y0 表示向量沿着 Y Y Y 轴能走多远。数 x 0 x_0 x0 和 y 0 y_0 y0的正负表示向量移动的方向，"正数" 表示向着"X-Y"的正半轴移动，"负数"表示向着"X-Y"的负半轴移动。每"一对数"给出唯一的一个二维向量，而每一个二维向量恰好对应唯一的"一对数"。
（2）在三维空间中(X-Y-Z)中，我们通常也以原点（也就是坐标(0,0,0)）作为起点，每个向量由一对三元组构成，例如三维向量 x = [ 2 , 4 , 6 ] \boldsymbol{x}=[2,4,6] x=[2,4,6]。对于三维向量 x = [ x 0 , y 0 , z 0 ] \boldsymbol{x}=[x_0,y_0,z_0] x=[x0,y0,z0]，第一个数 x 0 x_0 x0 表示向量沿着 X X X 轴能走多远；第二个数 y 0 y_0 y0 表示向量沿着 Y Y Y 轴能走多远；第三个数 z 0 z_0 z0 表示向量沿着 Z Z Z 轴能走多远。每个"三元组"给出唯一的一个三维向量，而每个三维向量恰好对应唯一的"三元组"。
（3）当向量空间的维度超过三维时，我们直观上是想象不到的，但仍然可以使用数字来表示多维向量。例如：四维向量 x = [ 2 , 4 , 6 , 8 ] \boldsymbol{x}=[2,4,6,8] x=[2,4,6,8]，六维向量 x = [ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 ] \boldsymbol{x}=[2,4,6,8,10,12] x=[2,4,6,8,10,12]。由此可以得到 n n n 维向量 x \boldsymbol{x} x 的表示形式为： x = [ x 0 , x 1 , x 2 , ... , x n ] \boldsymbol{x}=[x_0,x_1,x_2,\ldots ,x_n] x=[x0,x1,x2,...,xn] 。
3 通俗解释：向量加法与向量数乘
3.1 向量加法
（1）使用二维坐标系(X-Y)来解释向量的加法
从下图一可以看出：向量 v = [ 1 , 2 ] \boldsymbol{v}=[1,2] v=[1,2]，向量 w = [ 3 , − 1 ] \boldsymbol{w}=[3,-1] w=[3,−1]。
图1 二维向量 v 和 w
接下来我们对二维向量 v \boldsymbol{v} v 和 w \boldsymbol{w} w 进行相加。具体而言，相加之后的向量就是从第一个向量出发，指向第二向量的终点，两个向量之和（ v + w \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w} v+w）的表示如下图2所示。由下图2可以看出 v + w = [ 4 , 1 ] \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=[4,1] v+w=[4,1] ，而向量 v \boldsymbol{v} v和 w \boldsymbol{w} w按元素累加可得： [ 4 , 1 ] [4,1] [4,1]，也就是说：向量的加法就是对应坐标位置的元素进行累加。
图2 向量加法
（2）向量加法的通俗解释
我们可以把每个向量看成是一种特定的运动，即在空间中朝着一个方向迈出一定距离。对于上图2中的向量加法，我们先沿着第一个向量 v \boldsymbol{v} v 的方向进行运动，然后再按照第二个向量 w \boldsymbol{w} w 的方向进行移动。其实这两次的总体运动效果就等价于从原点出发，沿着向量 v + w \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w} v+w的方向进行运动。
更通俗地来讲，你可以把向量 v + w \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w} v+w看成从原点出发，先向右走1步，再往上移动2步，接着往右移动3步，最后向下移动1步。或者也可以看作从原点出发，先向右走4步，再向上移动1步。这也就证明了： v + w = [ 1 , 2 ] + [ 3 , − 1 ] = [ 1 + 3 , 2 − 1 ] = [ 4 , 1 ] \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=[1,2]+[3,-1]=[1+3,2-1]=[4,1] v+w=[1,2]+[3,−1]=[1+3,2−1]=[4,1]。
3.2 向量数乘
假设 v = [ 3 , 1 ] \boldsymbol{v}=[3,1] v=[3,1]，那么 2 v = [ 2 × 3 , 2 × 1 ] = [ 6 , 2 ] 2\boldsymbol{v}=[2×3,2×1]=[6,2] 2v=[2×3,2×1]=[6,2]，如下图3所示。
图3 向量数乘1
由图3可知， 2 v 2\boldsymbol{v} 2v相当于把向量 v \boldsymbol{v} v 拉长为原来的2倍。如果是 1 3 v = [ 1 3 × 3 , 1 3 × 1 ] = [ 1 , 1 3 ] \frac{1}{3}\boldsymbol{v}=[\frac{1}{3}×3,\frac{1}{3}×1]=[1,\frac{1}{3}] 31v=[31×3,31×1]=[1,31]，那么就相当于把向量 v \boldsymbol{v} v 缩短为原来的 1 3 \frac{1}{3} 31，如下图4所示。
图4 向量数乘2
当一个向量与一个负数相乘时，例如 − 1.8 v = [ − 1.8 × 3 , − 1.8 × 1 ] = [ − 5.4 , − 1.8 ] -1.8\boldsymbol{v}=[-1.8×3,-1.8×1]=[-5.4,-1.8] −1.8v=[−1.8×3,−1.8×1]=[−5.4,−1.8]，表示首先这个向量 v \boldsymbol{v} v 先反向，然后伸长为原来的1.8倍，其运算结果如下图5所示。
图5 向量数乘3
上述的这种拉伸或者压缩，有时又使向量反向的过程被称为缩放。