一、求行列式的方法
计算机是利用主元计算行列式的。本节介绍其它两种计算行列式的方法。一是 "大公式"（big formula），它使用了全部 n ! n! n! 个排列计算；二是 "代数余子式公式"（cofactor formula），它使用的是大小为 n − 1 n-1 n−1 的行列式来计算的。下面是一个 4 × 4 4\times4 4×4 矩阵的例子： A = [ 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 ] 的行列式是 det A = 5 A=\begin{bmatrix}\kern 7pt2&-1&\kern 7pt0&\kern 7pt0\\-1&\kern 7pt2&-1&\kern 7pt0\\\kern 7pt0&-1&\kern 7pt2&-1\\\kern 7pt0&\kern 7pt0&-1&\kern 7pt2\end{bmatrix}\kern 5pt的行列式是\kern 5pt\det A=5 A= 2−100−12−100−12−100−12 的行列式是detA=5我们可以通过以下三种方式来求行列式：主元，大公式，代数余子式。
- 主元的乘积是 2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 3 ⋅ 5 4 2\cdot\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4} 2⋅23⋅34⋅45，消去后得到 5 5 5。
- 大公式有 4 ! = 24 4!=24 4!=24 项，只有 5 5 5 项是非零的： det A = ∣ 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ∣ + ∣ 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 − 1 0 0 − 1 0 ∣ + ∣ 2 0 0 0 0 0 − 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 2 ∣ + ∣ 0 − 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ∣ + ∣ 0 − 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 − 1 0 ∣ = 16 − 4 − 4 − 4 + 1 = 5 \det A=\begin{vmatrix}2&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&0&\kern 7pt0&\kern 7pt0\\0&2&\kern 7pt0&\kern 7pt0\\0&0&\kern 7pt0&-1\\0&0&-1&\kern 7pt0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 2&\kern 7pt0&\kern 7pt0&0\\0&\kern 7pt0&-1&0\\0&-1&\kern 7pt0&0\\0&\kern 7pt0&\kern 7pt0&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\kern 7pt0&-1&0&0\\-1&\kern 7pt0&0&0\\\kern 7pt0&\kern 7pt0&2&0\\\kern 7pt0&\kern 7pt0&0&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\kern 7pt0&-1&\kern 7pt0&\kern 7pt0\\-1&\kern 7pt0&\kern 7pt0&\kern 7pt0\\\kern 7pt0&\kern 7pt0&\kern 7pt0&-1\\\kern 7pt0&\kern 7pt0&-1&\kern 7pt0\end{vmatrix}=16-4-4-4+1=5 detA= 2000020000200002 + 20000200000−100−10 + 200000−100−1000002 + 0−100−100000200002 + 0−100−1000000−100−10 =16−4−4−4+1=5 16 16 16 来自 A A A 的对角线 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 2\cdot2\cdot2\cdot2 2⋅2⋅2⋅2， − 4 -4 −4 和 1 1 1 来自与后面 4 4 4 个行列式。
- 第一行的数字 2 , − 1 , 0 , 0 2,-1,0,0 2,−1,0,0 乘上它们自己来自于其它行的余子式 4 , 3 , 2 , 1 4,3,2,1 4,3,2,1，得到 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 = 5 2\cdot4-1\cdot3=5 2⋅4−1⋅3=5。这些余子式是 3 × 3 3\times3 3×3 的行列式，余子式所使用的行和列是第一行的元素未使用的行和列。
行列式的每一项仅适用每行每列一次！
二、主元公式
当用消元法得到 A = L U A=LU A=LU 时，主元 d 1 , d 2 , ⋯ , d n d_1,d_2,\cdots,d_n d1,d2,⋯,dn 在上三角矩阵 U U U 的对角线上，如果没有行交换，将主元相乘 就可以得到行列式： det A = ( det L ) ( det U ) = ( 1 ) ( d 1 d 2 ⋯ d n ) ( 5.2.1 ) \det A=(\det L)(\det U)=(1)(d_1d_2\cdots d_n)\kern 30pt(5.2.1) detA=(detL)(detU)=(1)(d1d2⋯dn)(5.2.1)这个公式是没有行交换的情况下，如果发生行交换，则公式中会出现置换矩阵，变成 P A = L U PA=LU PA=LU，而 P P P 的行列式是 − 1 -1 −1 或 + 1 +1 +1。
( det P ) ( det A ) = ( det L ) ( det U ) 得到 det A = ± ( d 1 d 2 ⋯ d n ) ( 5.2.2 ) (\det P)(\det A)=(\det L)(\det U)\kern 10pt得到\kern 10pt{\color{blue}\det A=±(d_1d_2\cdots d_n)}\kern 25pt(5.2.2) (detP)(detA)=(detL)(detU)得到detA=±(d1d2⋯dn)(5.2.2)
【例1 】一次行交换可以得到主元 4 , 2 , 1 4,2,1 4,2,1 和重要的负号： A = [ 0 0 1 0 2 3 4 5 6 ] P A = [ 4 5 6 0 2 3 0 0 1 ] det A = − ( 4 ) ( 2 ) ( 1 ) = − 8 A=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\kern 10ptPA=\begin{bmatrix}4&5&6\\0&2&3\\0&0&1\end{bmatrix}\kern 10pt\det A=-(4)(2)(1)=-8 A= 004025136 PA= 400520631 detA=−(4)(2)(1)=−8行交换是奇数次（一次）则 det P = − 1 \det P=-1 detP=−1。
下一个例子没有行交换，这是一个 n × n n\times n n×n 的矩阵，主元可以得到它的行列式，行列式也可以得到主元。
【例2 】三角矩阵 A A A 的前几个主元是 2 , 3 2 , 4 3 2,\displaystyle\frac{3}{2},\frac{4}{3} 2,23,34，后面的是 5 4 \displaystyle\frac{5}{4} 45 和 6 5 \displaystyle\frac{6}{5} 56，最终是 n + 1 n \displaystyle\frac{n+1}{n} nn+1。分解这个 n × n n\times n n×n 的矩阵就可以看出行列式： [ 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ − 1 − 1 2 ] = [ 1 − 1 2 1 − 2 3 1 ⋅ ⋅ − n − 1 n 1 ] [ 2 − 1 3 2 − 1 4 3 − 1 ⋅ ⋅ n + 1 n ] \begin{bmatrix}\kern 7pt2&-1&\\-1&\kern 7pt2&-1&\\&-1&\kern 7pt2&\cdot\\&&\cdot&\cdot&-1\\&&&-1&\kern 7pt2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&\\-\frac{1}{2}&\kern 7pt1&\\&-\frac{2}{3}&1\\&&\cdot&\cdot\\&&-\frac{n-1}{n}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb2&-1\\&\pmb{\frac{3}{2}}&-1\\&&\pmb{\frac{4}{3}}&-1\\&&&\cdot&\cdot\\&&&&\pmb{\frac{n+1}{n}}\end{bmatrix} 2−1−12−1−12⋅⋅⋅−1−12 = 1−211−321⋅−nn−1⋅1 2−123−134−1⋅⋅nn+1 主元在 U U U（最后一个矩阵）的对角线，当 2 2 2 和 3 2 \displaystyle\frac{3}{2} 23 和 4 3 \displaystyle\frac{4}{3} 34 和 5 4 \displaystyle\frac{5}{4} 45 乘起来，分数消去，则 4 × 4 4\times4 4×4 矩阵的行列是 5 5 5， 3 × 3 3\times3 3×3 矩阵的行列式是 4 4 4。 n × n n\times n n×n 矩阵的行列式是 n + 1 n+1 n+1： − 1 , 2 , − 1 矩阵 det A = ( 2 ) ( 3 2 ) ( 4 3 ) ⋯ ( n + 1 n ) = n + 1 \pmb{-1,2,-1\,矩阵}\kern 15pt\det A=(\pmb2)(\pmb{\frac{3}{2}})(\pmb{\frac{4}{3}})\cdots(\pmb{\frac{n+1}{n}})=\pmb{n+1} −1,2,−1矩阵detA=(2)(23)(34)⋯(nn+1)=n+1重点：前面的主元仅和原始矩阵 A A A 的左上角有关。这条规则适用于所有不需要行交换的矩阵。
前 k 个主元来自于 A 左上角的 k × k 矩阵 A k 。 左上角子矩阵 A k 的行列式是 d 1 d 2 ⋯ d k ( 前 k 个主元 ) 。 前\,k\,个主元来自于A\,左上角的\,k\times k\,矩阵A_k。\\\pmb{左上角子矩阵A_k的行列式是\,d_1d_2\cdots d_k(前\,k\,个主元)。} 前k个主元来自于A左上角的k×k矩阵Ak。左上角子矩阵Ak的行列式是d1d2⋯dk(前k个主元)。 1 × 1 1\times1 1×1 的矩阵 A 1 A_1 A1 仅包含第一个主元 d 1 d_1 d1，就是 det A 1 \det A_1 detA1；左上角 2 × 2 2\times 2 2×2 的矩阵有 det A 2 = d 1 d 2 \det A_2=d_1d_2 detA2=d1d2；最终 n × n n\times n n×n 的行列式就是所有主元相乘。
当开始处理整个矩阵时，我们对左上角的矩阵 A k A_k Ak 进行消元，假设没有行交换 ------ 则 A = L U A=LU A=LU 且 A k = L k U k A_k=L_kU_k Ak=LkUk。一个行列式除以前一个行列式（ A k A_k Ak 除以 A k − 1 A_{k-1} Ak−1）可以消去除最后一个主元 d k d_k dk 以外的所有主元。每个主元都是行列式的比值：
从行列式得到主元 第 k 个主元是 d k = d 1 d 2 ⋯ d k d 1 d 2 ⋯ d k − 1 = det A k det A k − 1 ( 5.2.3 ) \pmb{从行列式得到主元}\kern 15pt第\,k\,个主元是\,\pmb{d_k}=\frac{d_1d_2\cdots d_k}{d_1d_2\cdots d_{k-1}}={\color{blue}\frac{\det A_k}{\det A_{k-1}}}\kern 15pt(5.2.3) 从行列式得到主元第k个主元是dk=d1d2⋯dk−1d1d2⋯dk=detAk−1detAk(5.2.3)
当所有左上角的子矩阵都有 det A k ≠ 0 \det A_k\neq0 detAk=0，则就不需要行交换。
三、行列式的大公式
主元很好计算，它们有能够求出行列式的足够多的信息。但是它很难和原始的 a i j a_{ij} aij 联系起来。我们回到规则 1 − 2 − 3 1-2-3 1−2−3，线性、符号反转和 det I = 1 \det I=1 detI=1 就能够让这一问题变得清晰起来。我们要推导出一个确切的行列式公式，它直接由元素 a i j a_{ij} aij 得来。
这个公式有 n ! n! n! 项 。项数会增加的非常快，因为 n ! = 1 , 2 , 6 , 24 , 120 , ⋯ n!=1,2,6,24,120,\cdots n!=1,2,6,24,120,⋯，若 n = 11 n=11 n=11 那么会有接近四千万项。 n = 2 n=2 n=2 时，这两项分别是 a d ad ad 和 b c bc bc，半数的项是负号（如 − b c -bc −bc），半数的项是正数（如 a b ab ab）。当 n = 3 n=3 n=3 时，则有 3 ! = ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) = 6 3!=(3)(2)(1)=6 3!=(3)(2)(1)=6 项，这六项如下：
3 × 3 行列式 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = + a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 ( 5.2.4 ) 3\times3\,行列式\kern 20pt\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}={\color{blue}\begin{matrix}+a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\end{matrix}}\kern 15pt(5.2.4) 3×3行列式 a11a21a31a12a22a32a13a23a33 =+a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31(5.2.4)
注意这个模式，每个乘积如 a 11 a 23 a 32 a_{11}a_{23}a_{32} a11a23a32 有来自每一行的一个元素 ，也有来自每一列的一个元素 。列的顺序 1 , 3 , 2 1,3,2 1,3,2 表示这个特定的项符号是负号， a 13 a 21 a 32 a_{13}a_{21}a_{32} a13a21a32 的列序 3 , 1 , 2 3,1,2 3,1,2 则为正号。由这种 "排列" 顺序可以得到符号。
下一步（ n = 4 n=4 n=4）有 4 ! = 24 4!=24 4!=24 项，因为有 24 24 24 种方式从每一行和每一列选择一个元素。沿着主对角线， a 11 a 22 a 33 a 44 a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} a11a22a33a44 的列序 1 , 2 , 3 , 4 1,2,3,4 1,2,3,4 总是正号，这是单位排列（identity permutation）。
我们从 n = 2 n=2 n=2 开始推导大公式（big formula），目的是用系统的方法得到 a d − b c ad-bc ad−bc。将每一行分成两个简单的行： [ a b ] = [ a 0 ] + [ 0 b ] ， [ c d ] = [ c 0 ] + [ 0 d ] \begin{bmatrix}a &b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&b\end{bmatrix}，\kern 10pt\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&d\end{bmatrix} [ab]=[a0]+[0b]，[cd]=[c0]+[0d]现在利用线性性质，首先用在第 1 1 1 行（第 2 2 2 行固定），然后用在第 2 2 2 行（第 1 1 1 行固定）： ∣ a b c d ∣ = ∣ a 0 c d ∣ + ∣ 0 b c d ∣ ( 分解第 1 行 ) = ∣ a 0 c 0 ∣ + ∣ a 0 0 d ∣ + ∣ 0 b c 0 ∣ + ∣ 0 b 0 d ∣ ( 分解第 2 行 ) ( 5.2.5 ) \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&d\end{vmatrix}\kern 106pt(分解第\,1\,行)\kern 83pt\\=\begin{vmatrix}a&0\\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\0&d\end{vmatrix}\kern 20pt(分解第\,2\,行)\kern 20pt(5.2.5) acbd = ac0d + 0cbd (分解第1行)= ac00 + a00d + 0cb0 + 00bd (分解第2行)(5.2.5)最后一行有 2 2 = 4 2^2=4 22=4 个行列式，第一个和第四个都是零，因为其中一行是另一行的倍数，最后剩下 2 ! = 2 2!=2 2!=2 个行列式需要计算： ∣ a 0 0 d ∣ + ∣ 0 b c 0 ∣ = a d ∣ 1 0 0 1 ∣ + b c ∣ 0 1 1 0 ∣ = a d − b c \begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}=ad\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}+bc\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=ad-bc a00d + 0cb0 =ad 1001 +bc 0110 =ad−bc最后得到置换矩阵，它们的行列式提供正号或负号，置换矩阵可以看出列序。上述列序就是 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 和 ( 2 , 1 ) (2,1) (2,1)。
下面试一下 n = 3 n=3 n=3 的情况。每一行都分成 3 3 3 个简单的行，例如 [ a 11 0 0 ] \begin{bmatrix}a_{11}&0&0\end{bmatrix} [a1100]。再利用每一行的线性，可以将 det A \det A detA 分成 3 3 = 27 3^3=27 33=27 个简单的行列式。如果列的选择重复了，例如又选择了一行 [ a 21 0 0 ] \begin{bmatrix}a_{21}&0&0\end{bmatrix} [a2100]，那么这个行列式就为零。
我们只需要注意元素 a i j a_{ij} aij 是来自于不同列 的情况，如 ( 3 , 1 , 2 ) (3,1,2) (3,1,2)：
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 a 22 a 33 ∣ + ∣ a 12 a 23 a 31 ∣ + ∣ a 13 a 21 a 32 ∣ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\color{blue}\begin{vmatrix}a_{11}&&\\&a_{22}&\\&&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}&a_{12}&\\&&a_{23}\\a_{31}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}&&a_{13}\\a_{21}\\&a_{32}\end{vmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33 = a11a22a33 + a31a12a23 + a21a32a13 六项 + ∣ a 11 a 23 a 32 ∣ + ∣ a 12 a 21 a 33 ∣ + ∣ a 13 a 22 a 31 ∣ \pmb{六项}\kern 56pt\color{blue}+\begin{vmatrix}a_{11}\\&&a_{23}\\&a_{32}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}&a_{12}\\a_{21}\\&&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}&&a_{13}\\&a_{22}\\a_{31}\end{vmatrix} 六项+ a11a32a23 + a21a12a33 + a31a22a13
总共有 3 ! = 6 3!=6 3!=6 种列的顺序，所以有 6 6 6 个行列式 。 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) (1,2,3) 的这 6 6 6 种排列方式包括来自于 P = I P=I P=I 的单位排列 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) (1,2,3)。 列的顺序 = ( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 ) , ( 1 , 3 , 2 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 3 , 2 , 1 ) ( 5.2.6 ) \pmb{列的顺序}=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\kern 20pt(5.2.6) 列的顺序=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)(5.2.6)后三个是奇排列（一次交换），前三个是偶排列（ 0 0 0 或 2 2 2 次交换）。当列序是 ( 3 , 1 , 2 ) (3,1,2) (3,1,2) 时，选择的元素是 a 1 3 a 2 1 a 3 2 a_{1\pmb3}a_{2\pmb1}a_{3\pmb2} a13a21a32，这项特定的列序符号是正号（ 2 2 2 次交换）。现在 A A A 的行列式可以分解成 6 6 6 个简单的行列式，提出因子 a i j a_{ij} aij： det A = a 11 a 22 a 33 ∣ 1 1 1 ∣ + a 12 a 23 a 31 ∣ 1 1 1 ∣ + a 13 a 21 a 32 ∣ 1 1 1 ∣ \det A=a_{11}a_{22}a_{33}\begin{vmatrix}1\\&1\\&&1\end{vmatrix}+a_{12}a_{23}a_{31}\begin{vmatrix}&1\\&&1\\1\end{vmatrix}+a_{13}a_{21}a_{32}\begin{vmatrix}&&1\\1\\&1\end{vmatrix}\kern 70pt detA=a11a22a33 111 +a12a23a31 111 +a13a21a32 111 + a 11 a 23 a 32 ∣ 1 1 1 ∣ + a 12 a 21 a 33 ∣ 1 1 1 ∣ + a 13 a 22 a 31 ∣ 1 1 1 ∣ ( 5.2.7 ) +a_{11}a_{23}a_{32}\begin{vmatrix}1\\&&1\\&1\end{vmatrix}+a_{12}a_{21}a_{33}\begin{vmatrix}&1\\1\\&&1\end{vmatrix}+a_{13}a_{22}a_{31}\begin{vmatrix}&&1\\&1\\1\end{vmatrix}\kern 10pt(5.2.7) +a11a23a32 111 +a12a21a33 111 +a13a22a31 111 (5.2.7)前三个（偶）排列的行列式 det P = + 1 \det P=+1 detP=+1，后三个（奇）排列的行列式 det P = − 1 \det P=-1 detP=−1。我们已经使用系统的方法证明了 3 × 3 3\times3 3×3 的公式。
下面看 n × n n\times n n×n 的公式。列序共有 n ! n! n! 种，列 ( 1 , 2 , 3 , ⋯ , n ) (1,2,3,\cdots,n) (1,2,3,⋯,n) 的每一种可能的顺序 ( α , β , ⋯ , ω ) (\alpha,\beta,\cdots,\omega) (α,β,⋯,ω)，从行 1 1 1 取 a 1 α a_{1\alpha} a1α，从行 2 2 2 取 a 2 β a_{2\beta} a2β，最后从行 n n n 取 a n ω a_{n\omega} anω，行列式包含乘积 a 1 α a 2 β ⋯ a n ω a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots a_{n\omega} a1αa2β⋯anω 乘上 + 1 +1 +1 或 − 1 -1 −1，半数的列序符号是 − 1 -1 −1。
A A A 的行列式是这 n ! n! n! 项简单行列式的和，简单行列式 a 1 α a 2 β ⋯ a n ω a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots a_{n\omega} a1αa2β⋯anω 选择的是来自于每行每列的一个元素 。对于 5 × 5 5\times5 5×5 的情况， a 15 a 22 a 33 a 44 a 51 a_{15}a_{22}a_{33}a_{44}a_{51} a15a22a33a44a51 这一项有 det P = − 1 \det P=-1 detP=−1，仅一次交换 5 5 5 和 1 1 1。
det A = 所有 n ! 个列排列 P = ( α , β , ⋯ , ω ) = ∑ ( det P ) a 1 α a 2 β ⋯ a n ω = BIG FORMULA ( 5.2.8 ) \det A=所有\,n! \,个列排列\,P=(\alpha,\beta,\cdots,\omega)\\={\color{blue}\sum(\det P)a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots a_{n\omega}}=\textrm{\pmb{BIG\,\,FORMULA}}\kern 20pt(5.2.8) detA=所有n!个列排列P=(α,β,⋯,ω)=∑(detP)a1αa2β⋯anω=BIGFORMULA(5.2.8)
这个就是行列式的大公式（Big Formula）。 2 × 2 2\times2 2×2 的情形是 + a 11 a 22 − a 12 a 21 +a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} +a11a22−a12a21（就是 a d − b c ad-bc ad−bc），这里 P P P 是 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 和 ( 2 , 1 ) (2,1) (2,1)。
3 × 3 3\times 3 3×3 的情形有 3 3 3 个 "右斜下"（down to right）的乘积和三个 "左斜下"（down to left）的乘积。警告：这个模式在 4 × 4 4\times4 4×4 的情形是不适用的，这种模式只能选取 8 8 8 项，但是实际是需要 24 24 24 项。
【例3 】（ U U U 的行列式）当 U U U 是上三角， n ! n! n! 个乘积中只有一个不为零，这一项就是对角线的乘积： det U = + u 11 u 22 ⋯ u n n \det U=+u_{11}u_{22}\cdots u_{nn} detU=+u11u22⋯unn。其它的列序至少有一个元素在对角线下方， U U U 的这些元素都是零。例如 u 21 = 0 u_{21}=0 u21=0，由方程（5.1.8）知该项一定为零。
det I = 0 \det I=0 detI=0，唯一非零项是对角线的 + ( 1 ) ( 1 ) ⋯ ( 1 ) +(1)(1)\cdots(1) +(1)(1)⋯(1)。
【例4 】假设 Z Z Z 除了第 3 3 3 列都是单位矩阵，有 Z 的行列式 = ∣ 1 0 a 0 0 1 b 0 0 0 c 0 0 0 d 1 ∣ 是 c ( 5.2.9 ) Z\,的行列式=\begin{vmatrix}1&0&\pmb a&0\\0&1&\pmb b&0\\0&0&\pmb c&0\\0&0&\pmb d&1\end{vmatrix}是\,c\kern 25pt(5.2.9) Z的行列式= 10000100abcd0001 是c(5.2.9)主对角线这一项 ( 1 ) ( 1 ) ( c ) ( 1 ) (1)(1)(c)(1) (1)(1)(c)(1) 符号为正。总共有 4 ! = 24 4!=24 4!=24 项乘积（每行每列选择一个因子），但是其它 23 23 23 项都是零。原因：如果从列 3 3 3 中选择 a , b a,b a,b 或 d d d 的话，则列 3 3 3 已经使用了，那么行 3 3 3 就只剩下 0 0 0 可以使用。
另一个原因：如果 c = 0 c=0 c=0，则 Z Z Z 有一个零行，所以 det Z = c = 0 \det Z=c=0 detZ=c=0。如果 c c c 不为零，利用消元法，从其它行减去乘数乘上行 3 3 3，可以消去 a , b , c a,b,c a,b,c，就只留下一个对角矩阵，有 det Z = c \det Z=c detZ=c。
改变 I I I 的一列可以很容易得到 Z Z Z 的行列式，它仅来自于主对角线。
【例5 】假设 A A A 仅在主对角线的上方和下方都是 1 1 1，这里 n = 4 n=4 n=4： A = [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 ] , P = [ 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ] 的行列式都为 1 A=\begin{bmatrix}0&\pmb1&0&0\\\pmb1&0&\pmb1&0\\0&\pmb1&0&\pmb1\\0&0&\pmb1&0\end{bmatrix},\kern 12ptP=\begin{bmatrix}0&\pmb1&0&0\\\pmb1&0&0&0\\0&0&0&\pmb1\\0&0&\pmb1&0\end{bmatrix}的行列式都为\,1 A= 0100101001010010 ,P= 0100100000010010 的行列式都为1行 1 1 1 非零的选择只能是列 2 2 2，行 4 4 4 非零的选择只能是列 3 3 3，则 行 2 2 2 和行 3 3 3 就只能选择列 1 1 1 和列 4 4 4。换句话说就是 det P = det A \det P=\det A detP=detA。 P P P 的行列式是 + 1 +1 +1（两次行交换得到列序 2 , 1 , 4 , 3 2,1,4,3 2,1,4,3），因此 det A = + 1 \det A=+1 detA=+1。
四、代数余子式求行列式
公式 (5.2.8) 是行列式的直接定义，它一次性给了所有信息 ------ 但是需要将它都理解，毕竟这 n ! n! n! 个和项都需要满足规则 1 − 2 − 3 1-2-3 1−2−3（也就会满足性质 4 − 10 4-10 4−10 了）。最简单的是 det I = 1 \det I=1 detI=1，这个已经验证好了。
当将第一行的因子 a 11 , a 12 a_{11},a_{12} a11,a12 和 a 13 a_{13} a13 提取出来 ，就可以看到线性性质。对于 3 × 3 3\times3 3×3 的矩阵，可以将行列式的 6 6 6 项分成 3 3 3 对：
det A = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) + a 12 ( a 23 a 31 − a 21 a 33 ) + a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) ( 5.2.10 ) \det A=\pmb{a_{11}}{\color{blue}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})}+\pmb{a_{12}}{\color{blue}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33})}+\pmb{a_{13}}{\color{blue}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})}\kern 15pt(5.2.10) detA=a11(a22a33−a23a32)+a12(a23a31−a21a33)+a13(a21a32−a22a31)(5.2.10)
括号中的 3 3 3 项称为 "代数余子式"（cofactor），注意这里前面不需要加 algebra，余子式的英文是 minor。这 3 3 3 项代数余子式都是来自 2 2 2 行与 3 3 3 行的 2 × 2 2\times2 2×2 的行列式 ，第一行提供了因子 a 11 , a 12 , a 13 a_{11},a_{12},a_{13} a11,a12,a13，下面的行贡献了代数余子式 C 11 , C 12 , C 13 C_{11},C_{12},C_{13} C11,C12,C13。当然行列式 a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} a11C11+a12C12+a13C13 与 a 11 , a 12 , a 13 a_{11},a_{12},a_{13} a11,a12,a13 有线性关系，这就是规则 3 3 3。
a 11 a_{11} a11 的代数余子式是 C 11 = a 22 a 33 − a 23 a 32 C_{11}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} C11=a22a33−a23a32，从下面的分解中就可以看出来代数余子式： ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ + ∣ a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + ∣ a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}\\&a_{22}&a_{23}\\&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}&a_{12}\\a_{21}&&a_{23}\\a_{31}&&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}&&a_{13}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33 = a11a22a32a23a33 + a21a31a12a23a33 + a21a31a22a32a13 我们仍然可以选择来自于每一行每一列的一个元素 ，因为 a 11 a_{11} a11 使用了第 1 1 1 行和第 1 1 1 列，所以就剩下一个 2 × 2 2\times2 2×2 的行列式当它的代数余子式。
行列式中需要一直关注符号，跟着 a 12 a_{12} a12 的 2 × 2 2\times 2 2×2 的行列式虽说看起来是 a 21 a 33 − a 23 a 31 a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31} a21a33−a23a31，但是它的代数余子式 C 12 C_{12} C12 与这个行列式的符号相反， a 12 C 12 a_{12}C_{12} a12C12 才是正确的 3 × 3 3\times3 3×3 行列式。代数余子式的符号沿着第一行的模式是 "正-负-正-负"。划掉第 1 1 1 行和第 j j j 列得到一个大小是 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1)\times(n-1) (n−1)×(n−1) 的子矩阵 M 1 j M_{1j} M1j ，它的行列式乘上符号 ( − 1 ) 1 + j (-1)^{1+j} (−1)1+j 就得到代数余子式： 行 1 的代数余子式是 C 1 j = ( − 1 ) 1 + j det M 1 j 行\,1\,的代数余子式是\,C_{1j}=(-1)^{1+j}\det M_{1j} 行1的代数余子式是C1j=(−1)1+jdetM1j 代数余子式扩展是 det A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + ⋯ + a 1 n C 1 n ( 5.2.11 ) \pmb{代数余子式扩展是\det A=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}}\kern 15pt(5.2.11) 代数余子式扩展是detA=a11C11+a12C12+⋯+a1nC1n(5.2.11)在大公式（5.2.8）中， a 11 a_{11} a11 乘上一些项的组合 C 11 = det M 11 C_{11}=\det M_{11} C11=detM11，它的符号是 ( − 1 ) 1 + 1 (-1)^{1+1} (−1)1+1，即是正号。式 （5.2.11）是式（5.2.8）和（5.2.10）的另一种形式，来自第 1 1 1 行的因子乘上只用到其它行的代数余子式。
注： 行 1 1 1 是这样，那么行 i i i 也一样。某一行的元素 a i j a_{ij} aij 也有代数余子式 C i j C_{ij} Cij，它们是 ( − 1 ) i + j (-1)^{i+j} (−1)i+j 乘上 n − 1 n-1 n−1 阶的行列式，因为 a i j a_{ij} aij 使用了行 i i i 和列 j j j，子矩阵 M i j M_{ij} Mij 会移除行 i i i 和列 j j j 。下面展示 a 43 a_{43} a43 和 M 43 M_{43} M43（行 4 4 4 和列 3 3 3 被移掉了），符号 ( − 1 ) 4 + 3 (-1)^{4+3} (−1)4+3 乘上行列式 M 43 M_{43} M43 得到 C 43 C_{43} C43，符号矩阵展示了 ± ± ± 号的模式： A = [ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ a 43 ] 符号 ( − 1 ) i + j = [ + − + − − + − + + − + − − + − + ] A=\begin{bmatrix}\bullet&\bullet&&\bullet\\\bullet&\bullet&&\bullet\\\bullet&\bullet&&\bullet\\&&a_{43}\end{bmatrix}\kern 15pt符号\kern 5pt(-1)^{i+j}=\begin{bmatrix}+&-&+&-\\-&+&-&+\\+&-&+&-\\-&+&-&+\end{bmatrix} A= ∙∙∙∙∙∙a43∙∙∙ 符号(−1)i+j= +−+−−+−++−+−−+−+
行列式是 A A A 的任意行 i i i 与其它行的代数余子式的点积： 代数余子式公式 COFACTOR FORMULA det A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + ⋯ + a i n C i n ( 5.2.12 ) \pmb{代数余子式公式\kern 3pt\textrm{COFACTOR\,\,\,FORMULA}}\kern 15pt{\color{blue}\det A=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}}\kern 14pt(5.2.12) 代数余子式公式COFACTORFORMULAdetA=ai1Ci1+ai2Ci2+⋯+ainCin(5.2.12)每个代数余子式 C i j C_{ij} Cij（阶数是 n − 1 n-1 n−1，去除掉行 i i i 和列 j j j）包含它正确的符号： 代数余子式 Cofactor C i j = ( − 1 ) i + j det M i j \pmb{代数余子式\kern 4pt\textrm{Cofactor}}\kern 10pt{\color{blue}C_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ij}} 代数余子式CofactorCij=(−1)i+jdetMij
一个 n n n 阶行列式是 n − 1 n-1 n−1 阶行列式的组合，继续递归下去，每个子行列式再分解成 n − 2 n-2 n−2 阶行列式的组合。通过式（5.2.12）我们可以定义所有的行列式，这个规则从阶数 n n n 到 n − 1 n-1 n−1 到 n − 2 n-2 n−2 最终到阶数 1 1 1，定义 1 × 1 1\times1 1×1 的行列式 ∣ a ∣ |a| ∣a∣ 是数字 a a a，则使用代数余子式的方法定义行列式就完成了。
我们更偏向于从行列式的性质来构建 A A A（线性，符号反转， det I = 1 \det I=1 detI=1），大公式（5.2.8）和代数余子式公式（5.2.10）--（5.2.12）也遵循这些性质。使用规则得到的最后一个公式 det A = det A T \det A=\det A^T detA=detAT，我们也可以使用代数余子式将它扩展，此时是沿着一列而不是一行。沿着列 j j j 的元素是 a 1 j a_{1j} a1j 到 a n j a_{nj} anj，代数余子式是 C 1 j C_{1j} C1j 到 C n j C_{nj} Cnj，行列式就是下面的点积： 沿着列 j 的代数余子式： det A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + ⋯ + a n j C n j ( 5.2.13 ) \pmb{沿着列\,j\,的代数余子式：}\kern 13pt\det A=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}\kern 13pt(5.2.13) 沿着列j的代数余子式：detA=a1jC1j+a2jC2j+⋯+anjCnj(5.2.13)当矩阵有很多零时，代数余子式很有用 ------ 如下例子：
【例6 】 − 1 , 2 , − 1 -1,2,-1 −1,2,−1 矩阵在第一行仅有两个非零值，所以仅有两个和行列式相关的代数余子式 C 11 C_{11} C11 和 C 12 C_{12} C12，下面会将 C 12 C_{12} C12 加粗： ∣ 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ = 2 ∣ 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ − ( − 1 ) ∣ − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ ( 5.2.14 ) \begin{vmatrix}\kern 7pt2&-1\\\pmb{-1}&\kern 7pt2&\pmb{-1}\\&-1&\kern 7pt\pmb2&\pmb{-1}\\&&\pmb{-1}&\kern 7pt\pmb{2}\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}\kern 7pt2&-1\\-1&\kern 7pt2&-1\\&-1&\kern 7pt2\end{vmatrix}-(-1)\begin{vmatrix}\pmb{-1}&\pmb{-1}\\&\kern 7pt\pmb2&\pmb{-1}\\&\pmb{-1}&\kern 7pt\pmb2\end{vmatrix}\kern 12pt(5.2.14) 2−1−12−1−12−1−12 =2 2−1−12−1−12 −(−1) −1−12−1−12 (5.2.14)右侧的第一项是 2 2 2 乘上 C 11 C_{11} C11， C 11 C_{11} C11 移除了第 1 1 1 行和第 1 1 1 列，代数余子式 C 11 C_{11} C11 与原始矩阵 A A A 有着相同的 − 1 , 2 , − 1 -1,2,-1 −1,2,−1 的模式，它仅大小变小了一阶。
要计算上面加粗的代数余子式 C 12 C_{12} C12，沿着第一列使用代数余子式，最上面的是唯一一个非零数，这里又得到了另外一个 ( − 1 ) (-1) (−1)（所以前面要加上负号），它的代数余子式是一个 2 × 2 2\times2 2×2 的 − 1 , 2 , − 1 -1,2,-1 −1,2,−1 行列式，比原始的 A A A 小了二阶。
总结：每个 n n n 阶行列式 D n D_n Dn 都可由 D n − 1 D_{n-1} Dn−1 和 D n − 2 D_{n-2} Dn−2 得到 ： D 4 = 2 D 3 − D 2 一般式 D n = 2 D n − 1 − D n − 2 ( 5.2.15 ) D_4=2D_3-D_2\kern 11pt一般式\kern 5pt{\color{blue}D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}}\kern 12pt(5.2.15) D4=2D3−D2一般式Dn=2Dn−1−Dn−2(5.2.15)直接计算 D 2 = 3 D_2=3 D2=3， D 3 = 4 D_{3}=4 D3=4，所以式（5.2.14）有 D 4 = 2 ( 4 ) − 3 = 5 D_4=2(4)-3=5 D4=2(4)−3=5，行列式 3 , 4 , 5 3,4,5 3,4,5 符合公式 D n = n + 1 D_{n}=n+1 Dn=n+1，则 D n = 2 n − ( n − 1 ) D_n=2n-(n-1) Dn=2n−(n−1)。这种 "特殊三对角答案"（special tridiagonal answer）用例 2 的主元乘积也可以得到。
【例7 】下面这个矩阵，除了第一个元素（左上角）是 1 1 1，其它和例 6 6 6 一样： B 4 = [ 1 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ] B_4=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&-1\\-1&\kern 7pt2&-1\\&-1&\kern 7pt2&-1\\&&-1&\kern 7pt2\end{bmatrix} B4= 1−1−12−1−12−1−12 这个矩阵的所有主元都是 1 1 1，所以行列式是 1 1 1。那么如何用代数余子式计算呢？将其沿第一行展开，所有的代数余子式都和例 6 6 6 一致，仅仅是 a 11 = 2 a_{11}=2 a11=2 变成了 b 11 = 1 b_{11}=1 b11=1： det B 4 = D 3 − D 2 而不是 det A 4 = 2 D 3 − D 2 \det B_4=D_3-D_2\kern 11pt而不是\kern 11pt\det A_4=2D_3-D_2 detB4=D3−D2而不是detA4=2D3−D2 B 4 B_4 B4 的行列式是 4 − 3 = 1 4-3=1 4−3=1，每个 B n = n − ( n − 1 ) = 1 B_n=n-(n-1)=1 Bn=n−(n−1)=1。
如果将最后一个 2 2 2 改成 1 1 1，则 det = 0 \det =0 det=0。
五、主要内容总结
- 如果没有行交换， det A = ( 主元的乘积 ) \det A=(主元的乘积) detA=(主元的乘积)，在 A A A 的左上角， det A k = ( 前 k 个主元的乘积 ) \det A_k=(前\,k\,个主元的乘积) detAk=(前k个主元的乘积)。
- 大公式（5.2.8）中的每一项使用每行每列一次。 n ! n! n! 个项中的一半符号是正（此时 det P = + 1 \det P=+1 detP=+1），一半的符号是负。
- 代数余子式 C i j C_{ij} Cij 是 ( − 1 ) i + j (-1)^{i+j} (−1)i+j 乘上去掉 i i i 行 j j j 列的小一点的行列式（因为 a i j a_{ij} aij 使用了这一行和这一列）。
- A A A 的行列式是它任意行与该行的代数余子式的点积。如果 A A A 有很多零的话，则只需要很少的代数余子式。
六、例题
【例8 】海森堡矩阵（Hessenberg matrix）是一个多了一个对角线的三角矩阵。对第 1 1 1 行使用代数余子式证明 4 × 4 4\times4 4×4 的行列式满足斐波那契（Fibonacci）规则 ∣ H 4 ∣ = ∣ H 3 ∣ + ∣ H 2 ∣ |H_4|=|H_3|+|H_2| ∣H4∣=∣H3∣+∣H2∣。相同的规则适用于所有的大小， ∣ H n ∣ = ∣ H n − 1 ∣ + ∣ H n − 2 ∣ |H_n|=|H_{n-1}|+|H_{n-2}| ∣Hn∣=∣Hn−1∣+∣Hn−2∣。 ∣ H n ∣ |H_n| ∣Hn∣ 等于哪个斐波那契数呢？ H 2 = [ 2 1 1 2 ] H 3 = [ 2 1 1 2 1 1 1 2 ] H 4 = [ 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ] H_2=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\kern 10ptH_3=\begin{bmatrix}2&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}\kern 10ptH_4=\begin{bmatrix}2&1\\1&2&1\\1&1&2&1\\1&1&1&2\end{bmatrix} H2=[2112]H3= 21112112 H4= 2111121112112 解： H 4 H_4 H4 的代数余子式 C 11 C_{11} C11 是行列式 ∣ H 3 ∣ |H_3| ∣H3∣，还需要一个代数余子式 C 12 C_{12} C12： C 12 = − ∣ 1 1 0 1 2 1 1 1 2 ∣ = − ∣ 2 1 0 1 2 1 1 1 2 ∣ + ∣ 1 0 0 1 2 1 1 1 2 ∣ C_{12}=-\begin{vmatrix}\pmb1&\pmb1&\pmb0\\\pmb1&\pmb2&\pmb1\\\pmb1&\pmb1&\pmb2\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&0&0\\1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix} C12=− 111121012 =− 211121012 + 111021012 保持第 2 2 2 行和第 3 3 3 行不变，使用了第 1 1 1 行的线性性质。右侧的两个行列式是 − ∣ H 3 ∣ -|H_3| −∣H3∣ 和 + ∣ H 2 ∣ +|H_2| +∣H2∣。所以 4 × 4 4\times4 4×4 的行列式就是 ∣ H 4 ∣ = 2 C 11 + 1 C 12 = 2 ∣ H 3 ∣ − ∣ H 3 ∣ + ∣ H 2 ∣ = ∣ H 3 ∣ + ∣ H 2 ∣ |H_4|=2C_{11}+1C_{12}=2|H_3|-|H_3|+|H_2|=|H_3|+|H_2| ∣H4∣=2C11+1C12=2∣H3∣−∣H3∣+∣H2∣=∣H3∣+∣H2∣实际数字 ∣ H 1 ∣ = 2 |H_1|=2 ∣H1∣=2， ∣ H 2 ∣ = 3 |H_2|=3 ∣H2∣=3， ∣ H 3 ∣ = 5 |H_3|=5 ∣H3∣=5， ∣ H 5 ∣ = 8 |H_5|=8 ∣H5∣=8。因为 ∣ H n ∣ = 2 , 3 , 5 , 8 , ⋯ |H_n|=2,3,5,8,\cdots ∣Hn∣=2,3,5,8,⋯ 遵循斐波那契规则 ∣ H n − 1 ∣ + ∣ H n − 2 ∣ |H_{n-1}|+|H_{n-2}| ∣Hn−1∣+∣Hn−2∣，则必有 ∣ H n ∣ = F n + 2 |H_n|=F_{n+2} ∣Hn∣=Fn+2。
【例9 】下面的问题是关于 det A \det A detA 的大公式里的 ± ± ± 号（ P P P 是奇数还是偶数）：
- 如果 A A A 是 10 × 10 10\times10 10×10 的全 1 1 1 矩阵，用大公式如何得到 det A = 0 ？ \det A=0？ detA=0？
- 如果所有 n ! n! n! 个排列乘在一起得到一个 P P P，那么 P P P 是奇数还是偶数 ? ? ?
- 如果每一项 a i j a_{ij} aij 都乘以分数 i / j i/j i/j，为什么 det A \det A detA 不变？
解：
- 由于所有的 a i j = 1 a_{ij}=1 aij=1，所以大公式（5.2.8）中所有的乘积都是 1 1 1，而半数符号是正，半数符号是负，它们加起来后都会消去，所以 det A = 0 \det A=0 detA=0。（如果 n > 1 n>1 n>1，则所有全 1 1 1 矩阵都是奇异的。）
- 乘积 [ 1 0 0 1 ] [ 0 1 1 0 ] \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} [1001][0110] 是一个奇排列，对于 3 × 3 3\times 3 3×3 的情形， 3 3 3 个奇排列乘在一起还是奇排列（顺序无关）。但是对于 n > 3 n>3 n>3 的情形，所有奇排列的乘积是偶数。这是因为有 n ! / 2 n!/2 n!/2 个奇排列，因为 n ! n! n! 是 4 4 4 的倍数，所以这些奇排列的乘积会是一个偶数。
- 每个 a i j a_{ij} aij 乘上分数 i / j i/j i/j，所以大公式中的每个乘积 a 1 α a 2 β ⋯ a n ω a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots a_{n\omega} a1αa2β⋯anω 会乘上所有的行数字 i = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n 然后除以所有的列数字 j = 1 , 2 , ⋯ , n j=1,2,\cdots,n j=1,2,⋯,n（这个列序是某种排列）。这样每个乘积都不变所以 det A \det A detA 也不会变。
另一种方法：要 i i i 乘上行 i i i，相当于对角矩阵 D = diag ( 1 : n ) D=\textrm{\pmb{diag}}(1:n) D=diag(1:n) 乘上矩阵 A A A；同样列 j j j 除以 j j j，相当于右乘 D − 1 D^{-1} D−1。根据行列式的乘积规则， det D A D − 1 = det A \det DAD^{-1}=\det A detDAD−1=detA。