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前言
DP42 【模板】完全背包
1.状态表示
我们根据经验+题目要求，确定出状态标示：
我们这里的状态标识和01背包是相同的，
我们本道题木解决要考虑价值和体积，所以我们需要一个二维的解决。
dp1[i][j]:前i个物品中，挑选物品的体积不超过j,此时的最大价值。
dp2[i][j]:前i个物品中，挑选物品的体积恰好为j,此时的最大价值。
2.状态转移方程
根据最后一个位置的情况划分问题
首席看一下dp1,最后一个位置就是选或者不选的情况，
🌟如果没有选择，就是dp[i-1][j]
🌟如果选择了，我们有多种选择方式
如果我们选择了一个i号物品，此时和01背包是一样的，此时的dp值就是dp[i-1] [ j-v[ i ] ]再加上w[i].
如果我们选择了两个i号物品，我们这时候要保证j-2v[i]>=0 才可以，我们此时需要在【0，i-1】区间内选择，此时的dp=dp[i-1] [ j-2v[ i ] ]+2w[i] （因为了两个）.
如果我们选择了三个i号物品，我们这时候要保证j-3v[i]>=0 才可以，我们此时需要在【0，i-1】区间内选择，此时的dp=dp[i-1] [ j-3v[ i ] ]+3w[i] （因为了三个）.
依次类推，我们如果满足条件，可以选无数个。
在上面的所有情况中找最大值，最后用这个最大值和dp[i-1][j]比较。
🌟如果选择了多个i位置，我们可以把这些情况用一个状态来表示,就是dp[i][j]=dp[i] [ j-v[ i ] ]+w[i]; ,这里边保证j>=v[i].
🌟二者我们取最大值就可以。
对于dp2,分析思路和dp1相同
🌟挑选的物体中体积恰好等于j，这种情况可能不存在。我们规定，不存在我们把dp表中的内容设置为-1.
🌟如果选择了，我们也要考虑选择了多个的情况，和01背包是一样的，同时要保证前面的位置要存在 ，只需要在上面完全背包的基础上判断dp[i] [ j-v[ i ] ]！=-1即可
3.初始化
对于dp1，我们可以多开一行和多开一列，方便填表和初始化。
🌟第0行表示物品的个数为0，我们要找到最大价值。都没有物品怎末找最大价值，设置为0
🌟第0列我们可以在填表中进行，可以不用初始化
🌟dp[0][0]=0;
对于dp2，我们可以多开一行和多开一列，方便填表和初始化。把不存在的位置设置为-1.
🌟第0行表示物品的个数为0，我们要找到最大价值。没有物品就没有体积，这种情况对于dp2表示是不存在的，设置为-1.
🌟第0列我们可以在填表中进行，可以不用初始化
🌟dp[0][0]=0;
4.填表顺序
填表的顺序是「从上往下，从左往右」
5.返回值是什么
返回dp1【n】【V】的值即可
返回dp2【n】【V】的值即可，返回时进行判断，可能不存在
6.代码编写
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
#include <string.h>
int main()
{
int n=0;int V=0;
cin>>n>>V;
int w[n+1];
int v[n+1];
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
//第一问:
//建表+初始化
int dp[1001][1001]={0};
//填表 下标映射
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=V;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
}
}
//返回值
cout<<dp[n][V]<<endl;
//第二问
//建表
memset(dp,0,sizeof(dp));
//初始化
for(int j=1;j<=V;j++) dp[0][j]=-1;
//填表
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=V;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=v[i]&&dp[i][j-v[i]]!=-1)
{
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
}
}
}
if(dp[n][V]==-1) cout<<0<<endl;
else cout<<dp[n][V]<<endl;
return 0;
}7.优化
我们可以用滚动数组进行优化，变成一维的。
我们要注意填表顺序从左往右
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
#include <string.h>
int main()
{
int n=0;int V=0;
cin>>n>>V;
int w[n+1];
int v[n+1];
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
//第一问:
//建表+初始化
int dp[1001]={0};
//填表 下标映射
for(int i=1;i<=n;i++)
{
//完全背包------》从左往右
for(int j=v[i];j<=V;j++)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
//返回值
cout<<dp[V]<<endl;
//第二问
//建表
memset(dp,0,sizeof(dp));
//初始化
for(int j=1;j<=V;j++) dp[j]=-0x3f3f3f3f;
//填表
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=v[i];j<=V;j++)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
if(dp[V]<=0) cout<<0<<endl;
else cout<<dp[V]<<endl;
return 0;
}总结
以上就是今天要讲的内容，本文仅仅详细介绍了 。希望对大家的学习有所帮助，仅供参考 如有错误请大佬指点我会尽快去改正 欢迎大家来评论~~ 😘 😘 😘