完全背包（C++）

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前言
[DP42 【模板】完全背包](#DP42 【模板】完全背包)
总结

前言

DP42 【模板】完全背包

1.状态表示

我们根据经验+题目要求，确定出状态标示：

我们这里的状态标识和01背包是相同的，

我们本道题木解决要考虑价值和体积，所以我们需要一个二维的解决。

dp1 $i$ $j$ :前i个物品中，挑选物品的体积不超过j,此时的最大价值。

dp2 $i$ $j$ :前i个物品中，挑选物品的体积恰好为j,此时的最大价值。

2.状态转移方程

根据最后一个位置的情况划分问题

首席看一下dp1,最后一个位置就是选或者不选的情况，

🌟如果没有选择，就是dp $i-1$ $j$

🌟如果选择了，我们有多种选择方式

如果我们选择了一个i号物品，此时和01背包是一样的，此时的dp值就是dp $i-1$ $j-v\[ i$ ]再加上w $i$ .

如果我们选择了两个i号物品，我们这时候要保证j-2v $i$ >=0 才可以，我们此时需要在【0，i-1】区间内选择，此时的dp=dp $i-1$ $j-2v\[ i$ ]+2w $i$ （因为了两个）.

如果我们选择了三个i号物品，我们这时候要保证j-3v $i$ >=0 才可以，我们此时需要在【0，i-1】区间内选择，此时的dp=dp $i-1$ $j-3v\[ i$ ]+3w $i$ （因为了三个）.

依次类推，我们如果满足条件，可以选无数个。

在上面的所有情况中找最大值，最后用这个最大值和dp $i-1$ $j$ 比较。

🌟如果选择了多个i位置，我们可以把这些情况用一个状态来表示,就是dp $i$ $j$ =dp $i$ $j-v\[ i$ ]+w $i$ ; ,这里边保证j>=v $i$ .

🌟二者我们取最大值就可以。

对于dp2,分析思路和dp1相同

🌟挑选的物体中体积恰好等于j，这种情况可能不存在。我们规定，不存在我们把dp表中的内容设置为-1.

🌟如果选择了，我们也要考虑选择了多个的情况，和01背包是一样的，同时要保证前面的位置要存在 ，只需要在上面完全背包的基础上判断dp $i$ $j-v\[ i$ ]！=-1即可

3.初始化

对于dp1，我们可以多开一行和多开一列，方便填表和初始化。

🌟第0行表示物品的个数为0，我们要找到最大价值。都没有物品怎末找最大价值，设置为0

🌟第0列我们可以在填表中进行，可以不用初始化

🌟dp $0$ $0$ =0;

对于dp2，我们可以多开一行和多开一列，方便填表和初始化。把不存在的位置设置为-1.

🌟第0行表示物品的个数为0，我们要找到最大价值。没有物品就没有体积，这种情况对于dp2表示是不存在的，设置为-1.

🌟第0列我们可以在填表中进行，可以不用初始化

🌟dp $0$ $0$ =0;

4.填表顺序

填表的顺序是「从上往下，从左往右」

5.返回值是什么

返回dp1【n】【V】的值即可

返回dp2【n】【V】的值即可，返回时进行判断，可能不存在

6.代码编写

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;
#include <string.h>
int main()
{
    int n=0;int V=0;
    cin>>n>>V;
    int w[n+1];
    int v[n+1];
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];

    //第一问:
    //建表+初始化
    int dp[1001][1001]={0};
    //填表 下标映射
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=V;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
        
    }
    //返回值
    cout<<dp[n][V]<<endl;

    //第二问
    //建表
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    //初始化
    for(int j=1;j<=V;j++) dp[0][j]=-1;
    //填表
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=V;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=v[i]&&dp[i][j-v[i]]!=-1)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    if(dp[n][V]==-1) cout<<0<<endl;
    else cout<<dp[n][V]<<endl;
    return 0;
}

7.优化

我们可以用滚动数组进行优化，变成一维的。

我们要注意填表顺序从左往右

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;
#include <string.h>
int main()
{
    int n=0;int V=0;
    cin>>n>>V;
    int w[n+1];
    int v[n+1];
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];

    //第一问:
    //建表+初始化
    int dp[1001]={0};
    //填表 下标映射
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        //完全背包------》从左往右
        for(int j=v[i];j<=V;j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
        
    }
    //返回值
    cout<<dp[V]<<endl;

    //第二问
    //建表
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    //初始化
    for(int j=1;j<=V;j++) dp[j]=-0x3f3f3f3f;
    //填表
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=v[i];j<=V;j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    if(dp[V]<=0) cout<<0<<endl;
    else cout<<dp[V]<<endl;
    return 0;
}

总结

以上就是今天要讲的内容，本文仅仅详细介绍了。希望对大家的学习有所帮助，仅供参考如有错误请大佬指点我会尽快去改正欢迎大家来评论~~ 😘 😘 😘