Matlab 频谱分析 (Spectral Analysis)

文章目录

- [1. 信号预处理 - 去直流分量](#1. 信号预处理 - 去直流分量)
- [2. 快速傅里叶变换（FFT）](#2. 快速傅里叶变换（FFT）)
- [3. 功率谱密度（PSD）计算](#3. 功率谱密度（PSD）计算)
- [4. 主频率检测](#4. 主频率检测)
- [5. 谱质心计算](#5. 谱质心计算)
- [6. 对数谱显示](#6. 对数谱显示)
- 完整的信号处理流程
- 实际应用示例

1. 信号预处理 - 去直流分量

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data = data - mean(data);

数学原理：

去除信号的直流分量（DC offset），即：
x c e n t e r e d $n$ = x $n$ − μ x_{centered} $n$ = x $n$ - \mu xcentered $n$ =x $n$ −μ

其中：

μ = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x $n$ \mu = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} x $n$ μ=N1∑n=0N−1x $n$ 是信号均值
N N N 是信号长度

作用： 去除0Hz分量，避免在频谱图中出现很大的直流峰值，影响其他频率成分的观察。

2. 快速傅里叶变换（FFT）

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Y = fft(data, nfft);
f = (0:nfft-1) * fs / nfft;

数学原理：

离散傅里叶变换（DFT）公式：
X $k$ = ∑ n = 0 N − 1 x $n$ ⋅ e − j 2 π k n / N X $k$ = \sum_{n=0}^{N-1} x $n$ \cdot e^{-j2\pi kn/N} X $k$ =n=0∑N−1x $n$ ⋅e−j2πkn/N

其中：

k = 0 , 1 , . . . , N − 1 k = 0, 1, ..., N-1 k=0,1,...,N−1 是频率索引
N = n f f t = 2 12 = 4096 N = nfft = 2^{12} = 4096 N=nfft=212=4096 是FFT点数

频率分辨率：
Δ f = f s n f f t \Delta f = \frac{f_s}{nfft} Δf=nfftfs

频率向量计算：
f $k$ = k ⋅ f s n f f t , k = 0 , 1 , . . . , n f f t − 1 f $k$ = k \cdot \frac{f_s}{nfft}, \quad k = 0, 1, ..., nfft-1 f $k$ =k⋅nfftfs,k=0,1,...,nfft−1

3. 功率谱密度（PSD）计算

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PSD = abs(Y).^2 / (fs * nfft);
PSD = PSD(1:nfft/2+1);
f = f(1:nfft/2+1);
PSD(2:end-1) = 2 * PSD(2:end-1);

数学原理：

Step 1: 计算功率谱
P S D $k$ = ∣ X $k$ ∣ 2 f s ⋅ N PSD $k$ = \frac{|X $k$ |^2}{f_s \cdot N} PSD $k$ =fs⋅N∣X $k$ ∣2

这里除以 f s ⋅ N f_s \cdot N fs⋅N 是为了得到功率谱密度（单位：功率/Hz）。

Step 2: 单边谱转换

由于实信号的FFT结果具有共轭对称性：
X $k$ = X ∗ $N - k$ X $k$ = X^* $N-k$ X $k$ =X∗ $N-k$

所以只需要保留前一半频率（0到 f s / 2 f_s/2 fs/2），但要将功率翻倍（除了0Hz和Nyquist频率）：

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PSD(2:end-1) = 2 * PSD(2:end-1);

数学表达：
P S D s i n g l e $k$ = { P S D $k$ , k = 0 或 k = N / 2 2 ⋅ P S D $k$ , 1 ≤ k < N / 2 PSD_{single} $k$ = \begin{cases} PSD $k$ , & k = 0 \text{ 或 } k = N/2 \\ 2 \cdot PSD $k$ , & 1 \leq k < N/2 \end{cases} PSDsingle $k$ ={PSD $k$ ,2⋅PSD $k$ ,k=0 或 k=N/21≤k<N/2

4. 主频率检测

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[~, peak_idx] = max(PSD(2:end));
main_freq = f(peak_idx + 1);

数学原理：

找到功率谱密度的最大值对应的频率：
f m a i n = arg ⁡ max ⁡ f > 0 P S D ( f ) f_{main} = \arg\max_{f > 0} PSD(f) fmain=argf>0maxPSD(f)

注意：从索引2开始是为了排除直流分量（0Hz）。

5. 谱质心计算

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centroid = sum(f_col .* PSD_col) / sum(PSD_col);

数学原理：

谱质心（Spectral Centroid）是频谱的"重心"：
f c e n t r o i d = ∑ k = 0 N / 2 f $k$ ⋅ P S D $k$ ∑ k = 0 N / 2 P S D $k$ f_{centroid} = \frac{\sum_{k=0}^{N/2} f $k$ \cdot PSD $k$ }{\sum_{k=0}^{N/2} PSD $k$ } fcentroid=∑k=0N/2PSD $k$ ∑k=0N/2f $k$ ⋅PSD $k$

这是一个加权平均，权重是各频率的功率。

物理意义：

谱质心反映了信号能量在频域的分布中心
值越大，说明高频成分越多
常用于音频信号分析中表征音色"明亮度"

6. 对数谱显示

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semilogx(f, 10*log10(PSD));

数学原理：

将功率谱密度转换为分贝（dB）单位：
P S D d B = 10 log ⁡ 10 ( P S D ) PSD_{dB} = 10 \log_{10}(PSD) PSDdB=10log10(PSD)

使用对数坐标的原因：

人耳对频率的感知是对数的
可以同时显示大范围的幅值差异
更容易观察低幅值的频率成分

完整的信号处理流程

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原始信号 x[n]
    ↓ (去直流)
中心化信号 x_c[n] = x[n] - μ
    ↓ (FFT)
频域信号 X[k]
    ↓ (功率计算)
双边功率谱 |X[k]|²/(fs·N)
    ↓ (单边谱转换)
单边功率谱密度 PSD[k]
    ↓ (特征提取)
主频率 + 谱质心

实际应用示例

假设采样率 fs = 1000 Hz，信号包含50Hz和120Hz两个正弦波：

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t = 0:1/fs:1;
x = sin(2*pi*50*t) + 0.5*sin(2*pi*120*t);

经过上述处理后：

主频率将是 50 Hz（因为其幅度更大）
谱质心将在 50-120 Hz 之间，偏向50Hz