机器人建模和控制------马克·斯庞
A.
x 1 0 = x 1 ∙ x 0 x^0_1=x_1\bullet x_0 x10=x1∙x0，其实就是：
1） x 1 x_1 x1轴向量在 O 0 O_0 O0系下的坐标
2）在 x 0 x_0 x0轴上的投影
3）坐标变换矩阵的 R 1 0 R_1^0 R10的第一个元素
B.
点p在 o 1 x 1 y 1 z 1 o_1x_1y_1z_1 o1x1y1z1系下的坐标 p 1 p^1 p1可以表示为： p = u x 1 + v y 1 + w z 1 p=ux_1+vy_1+wz_1 p=ux1+vy1+wz1，其在 o 0 x 0 y 0 z 0 o_0x_0y_0z_0 o0x0y0z0系下的坐标是 p p p在其坐标轴上的投影： p x 0 = p 1 ∙ x 0 p^0_x=p^1\bullet x_0 px0=p1∙x0
C.
右乘联体，左乘基的理解
O 0 x 0 y 0 z 0 O_0x_0y_0z_0 O0x0y0z0坐标系相当于基系，方块绕 z 0 z_0 z0旋转，因此左乘。
D.
旋转矩阵的物理意义一般有三种：
1）经过变换后的坐标系相对于固定坐标系的姿态角；
2）点 p p p在不同参考坐标系间的相互变换；
3）在同一坐标系内将向量旋转而得到新向量的操作；
E.
称旋转发生时所围绕的坐标系称为当前坐标系
旋转矩阵 R = [ x 1 0 y 1 0 z 1 0 ] R=\begin{bmatrix}x^0_1&y_1^0&z_1^0\end{bmatrix} R=[x10y10z10]分别代表 x 1 , y 1 , z 1 x_1,y_1,z_1 x1,y1,z1在 o 0 x 0 y 0 z 0 o_0x_0y_0z_0 o0x0y0z0系下的方向矢量
F.
其次变换矩阵 H H H表示了刚体的运动（平移+旋转），表示为：
H = [ R d 0 1 ] H=\begin{bmatrix}R&d\\\\0&1\end{bmatrix} H= R0d1
且由于 R R R是正交矩阵，有：
H − 1 = [ R T − R T d 0 1 ] H^{-1} = \begin{bmatrix}R^T&-R^T d\\\\0&1\end{bmatrix} H−1= RT0−RTd1
G.
对多连杆体而言，每个关节 上都相当于固连了一个坐标系 o i x i y i z i o_ix_iy_iz_i oixiyizi，其可以保证不论机器人怎么运动，连杆 i i i上的点在坐标系 o i x i y i z i o_ix_iy_iz_i oixiyizi中固定不变，且同一根连杆的运动状态保持一致。
那么也就是说，多连杆体只需要考虑：
1）整体在惯性系下的运动：建立整体的坐标系（用头部坐标系代替整体）
2）各连杆坐标系的运动：分析运动学
H.
Lagrange方程的动能中， v v v、 ω \omega ω和 I I I都是在惯性坐标系下计算的量。
值得注意的是，惯性坐标系下的惯性张量：
I i n e r t i a = R I R T I_{inertia}=RIR^T Iinertia=RIRT
联体坐标系中的惯性张量：
I = [ I x x I x y I x z I y x I y y I y z I z x I z y I z z ] I=\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix} I= IxxIyxIzxIxyIyyIzyIxzIyzIzz
连体坐标系中的惯性张量是常值矩阵 ，主对角线元素称主惯性矩 ，非对角线元素称为惯性叉积 ，若物体质量分布关于坐标轴对称 ，则惯性叉积=0。
I.
n连杆机器人系统的势能：
P = Σ m i g T r c i P=\Sigma m_ig^Tr_{ci} P=ΣmigTrci
其中， g g g是惯性系下的重力向量 ， r c i r_{ci} rci是第 i i i个连杆质心的坐标。
值得注意的是，含有柔性关节的情形中，势能还包括了储存在弹性元件内的能量
势能项仅仅是广义坐标的函数，而不是广义坐标导数的函数。
J.
如果角速度都表示在同一个参考坐标系下，如 o 0 x 0 y 0 z 0 o_0x_0y_0z_0 o0x0y0z0中，那么角速度可以叠加，有：
ω 0 , n 0 = ω 0 , 1 0 + R 1 0 ω 1 , 2 1 + R 2 0 ω 2 , 3 2 + R 3 0 ω 3 , 4 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + R n − 1 0 ω n − 1 , n n − 1 = ω 0 , 1 0 + ω 1 , 2 0 + ω 2 , 3 0 + ω 3 , 4 0 + ⋅ ⋅ ⋅ + ω n − 1 , n 0 \begin{aligned}\omega_{0,n}^{0}&=\omega_{0,1}^0+R_1^0\omega_{1,2}^1+R_2^0\omega_{2,3}^2+R_3^0\omega_{3,4}^3+\cdotp\cdotp\cdotp+R_{n-1}^0\omega_{n-1,n}^{n-1}\\&=\omega_{0,1}^0+\omega_{1,2}^0+\omega_{2,3}^0+\omega_{3,4}^0+\cdotp\cdotp\cdotp+\omega_{n-1,n}^0\end{aligned} ω0,n0=ω0,10+R10ω1,21+R20ω2,32+R30ω3,43+⋅⋅⋅+Rn−10ωn−1,nn−1=ω0,10+ω1,20+ω2,30+ω3,40+⋅⋅⋅+ωn−1,n0
其中， ω 1 , 2 1 \omega_{1,2}^1 ω1,21代表对应于 R 2 1 R_2^1 R21变化的坐标系 o 2 x 2 y 2 z 2 o_2x_2y_2z_2 o2x2y2z2的角速度，这个角速度是相对于 o 1 x 1 y 1 z 1 o_1x_1y_1z_1 o1x1y1z1的。