c++二叉搜索树

suiyi_freely2024-09-18 11:55

一、概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值

• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值

• 它的左右子树也分别为⼆叉搜索树

• 二叉搜索树中可以支持插⼊相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，

map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不支持插入相等

值，multimap/multiset支持插⼊相等值

二、性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： O (log2 N)

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单支)，其高度为： O ( N )

所以综合而言叉搜索树增删查改时间复杂度为： O (N)

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O (logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

  1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。

  2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数

据。

这里也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三、实现

1、插入

插入的具体过程如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

  2. 树不空，按二叉搜索树性质，插⼊值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位

置，插入新结点。

  1. 如果支持插入 相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插

入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插入相等的值不要⼀会往右走，⼀会往左走）

c++ 复制代码 
	bool Insert(const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if(cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;//相等不插入
			}
		}
		cur = new Node(key);//出来以后判断在左边插还是右边插（插入那边一定为空，上面判断过了）
		if (parent->_key < key)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		return true;
	}

2、查找

  1. 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。

  2. 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

  3. 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回

  4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要

找到1的右孩子的那个3返回

c++ 复制代码 
bool Find(const K& key)
{
	auto cur = root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_key < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return true;
		}
	}
	return false;
}

3、删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

  1. 要删除结点N左右孩子均为空

  2. 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空

  3. 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空

  4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空

对应以上四种情况的解决方案：

  1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样

的）

  1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点

  2. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点

  3. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点

R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的

位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结

点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

c++ 复制代码 
bool earse(const K& key)
{
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			//一个孩子或者没有孩子的情况
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				if (parent == nullptr)//删除根的情况
				{
					root = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}
				delete cur;
				return true;
			}
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (parent == nullptr)
				{
					root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}
				delete cur;
				return true;
			}
			//两个孩子的情况，用右树的最小替换
			else
			{
				Node* right_min_parent = cur;
				Node* right_min = cur->_right;
				while (right_min->_left)
				{
					right_min_parent = right_min;
					right_min = right_min->_left;
				}
				cur->_key = right_min->_key;//赋值过去最后删的是right_min结点
				if (right_min_parent->_left == right_min)
				{
					right_min_parent->_left = right_min->_right;//右边可能还有值
				}
				else
				{
					right_min_parent->_right = right_min->_right;
				}
				delete right_min;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;//没找着
	
}

4、整体代码

c++ 复制代码 
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K>
struct TreeNode
{
	K _key;
	TreeNode<K>* _left;
	TreeNode<K>* _right;
	TreeNode(const K& key)
		:_key(key)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{}
};
template<class K>
class BST
{
	typedef TreeNode<K> Node;
public:
	bool Insert(const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if(cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;//相等不插入
			}
		}
		cur = new Node(key);//出来以后判断在左边插还是右边插（插入那边一定为空，上面判断过了）
		if (parent->_key < key)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		return true;
	}
	bool Find(const K& key)
	{
		auto cur = root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}
		return false;
	}
	bool earse(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				//一个孩子或者没有孩子的情况
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (parent == nullptr)//删除根的情况
					{
						root = cur->_right;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (parent == nullptr)
					{
						root = cur->_left;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				//两个孩子的情况，用右树的最小替换
				else
				{
					Node* right_min_parent = cur;
					Node* right_min = cur->_right;
					while (right_min->_left)
					{
						right_min_parent = right_min;
						right_min = right_min->_left;
					}
					cur->_key = right_min->_key;//赋值过去最后删的是right_min结点
					if (right_min_parent->_left == right_min)
					{
						right_min_parent->_left = right_min->_right;//右边可能还有值
					}
					else
					{
						right_min_parent->_right = right_min->_right;
					}
					delete right_min;
					return true;
				}
			}
		}
		return false;//没找着
		
	}
	void inorder()//private外部访问不到
	{
		_inorder(root);
	}
	

private:
	void _inorder(Node* root)//这可以访问
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_inorder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_inorder(root->_right);
	}
	Node* root = nullptr;
};
		}
					else
					{
						right_min_parent->_right = right_min->_right;
					}
					delete right_min;
					return true;
				}
			}
		}
		return false;//没找着
		
	}
	void inorder()//private外部访问不到
	{
		_inorder(root);
	}
	

private:
	void _inorder(Node* root)//这可以访问
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_inorder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_inorder(root->_right);
	}
	Node* root = nullptr;
};
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