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前言
常见的时间序列分析方法有很多，之前介绍了一个稍微新颖的 Prophet 时间序列分析法，这个方法的好处是可以综合考虑节假日 的影响（节假日可能导致异常值的出现），并站在不同的时间跨度上考量周际 ( T = 7 d ) (T=7\mathrm d) (T=7d)、月际 ( T = 30 d ) (T=30\mathrm d) (T=30d)、年际 ( T = 365 d ) (T=365\mathrm d) (T=365d) 的周期性及其影响。Prophet 还能考虑外生变量 的影响，这是它的突出特点。详情请看博客：Python 数学建模------Prophet 时间序列预测_多变量prophet-CSDN博客。
但是 Prophet 的缺点也很多，例如当时间序列不是"日期"的序列时，Prophet 将稍显逊色。本篇博客我们将介绍一个新的时间序列分析方法------ARMA 时间序列分析的使用方法。
ARMA 的具体原理可以参考其他博客，本篇博客主要介绍 ARMA 的使用方法 和 Python 实现。
使用前提
ARMA 模型进行时间序列分析，适合用于平稳非白噪声序列 。对于非平稳序列 应该使用 ARIMA 模型（即使用差分等方法，后面会稍作介绍），或者取对数等方式，转化为平稳序列进行分析。
基于这个适用前提，任何一个时间序列在使用 ARMA 之前，都必须进行平稳性检验 和白噪声检验。
平稳性检验
检验一个时间序列的平稳性，有 3 3 3 种可行的检验方式。下面将逐一介绍。其中第三种 基于假设检验的定量方法很好地摈弃了主观性 ，因此应该是平稳性检验的最佳选择 。前两种方式可以用于数据可视化，带来有关平稳性的直接视觉冲击。
- 从时间序列上来看，有明显上升、明显下降趋势 的为非平稳序列，稳定在一定范围附近的为平稳序列。
- 从自相关图、偏自相关图上看，具有较强长期相关性（即大部分自相关系数的绝对值都较大，或者说远离0）的是非平稳序列，比如下面最左边的那张图。相对而言自相关系数的绝对值没那么大的，就具有短期相关性，是平稳序列，如下图右边两张图。
图片来自于参考文献。可以看到最左边图，阴影部分达到了 ± 0.75 \pm0.75 ±0.75，自相关系数的绝对值已经很大、严重偏离 0 0 0 了，说明后期的数据严重依赖于前期的数据 ，具有比较长期的相关性，不适合使用 ARMA。然而中间这张图，阴影部分在 ± 0.4 \pm0.4 ±0.4 范围左右，则可以认为没有长期相关性。右边这张图也是没有长期相关性。
- 基于假设检验的平稳性检验方法，或者说是单位根检验。Python 库提供的基于假设检验的方法
statsmodels.tsa.stattools.adfuller，对一个时间序列给出 p p p 值，若 p < 0.05 p<0.05 p<0.05，则接受"序列是平稳序列"的原假设。
白噪声检验
白噪声检验也是直接调用 Python 库提供的statsmodels.stats.diagnostic.acorr_ljungbox方法。这个方法基于假设检验给出一个 p p p 值，当 p < 0.05 p<0.05 p<0.05 时接受"序列是非白噪声数据"的原假设。
用法
ARMA 模型有两个参数 p , q p,q p,q，要确定参数，考虑下面的两个指标：
- AIC：赤池信息量准则（Akaike information criterion） ，定义为 A I C = n ln σ ^ ε 2 + 2 ( p + q + 1 ) \mathrm{AIC}=n{{\ln{\hat{\sigma }}}_{\varepsilon }^{2}}+2(p+q+1) AIC=nlnσ^ε2+2(p+q+1)
- BIC：贝叶斯信息量准则（Bayesian information criterion） ，定义为 B I C = n ln σ ^ ε 2 + ( p + q ) ln n \mathrm{BIC}=n{{\ln{\hat{\sigma }}}_{\varepsilon }^{2}}+(p+q)\ln{n} BIC=nlnσ^ε2+(p+q)lnn
这两个指标都是关于 p , q p,q p,q 的函数，它们是研究者针对 ARMA 模型复杂度设计的惩罚项，用于避免过拟合问题。好的参数 p , q p,q p,q 应该要使得上面两个指标尽可能小 。
确定参数是可以只用 AIC/BIC 其中一个，也可以混合起来用，实际操作中通过穷举一些 ( p , q ) (p,q) (p,q) 值，从中挑选最佳参数。即 ( p , q ) = argmin p , q A I C ( p , q ) (p,q)=\operatorname{argmin}\limits_{p,q}\mathrm{AIC}(p,q) (p,q)=argminp,qAIC(p,q)，或者 ( p , q ) = argmin p , q B I C ( p , q ) (p,q)=\operatorname{argmin}\limits_{p,q}\mathrm{BIC}(p,q) (p,q)=argminp,qBIC(p,q)
代码实例
有一份太阳黑子数据，展示了从 1700 1700 1700 到 1988 1988 1988 年每年太阳黑子的观测数量。部分如下所示：
| year | count |
|---|---|
| 1700 1700 1700 | 5 5 5 |
| 1701 1701 1701 | 11 11 11 |
| 1702 1702 1702 | 16 16 16 |
| 1703 1703 1703 | 23 23 23 |
| 1704 1704 1704 | 36 36 36 |
| 1705 1705 1705 | 58 58 58 |
点击下载路径，
Ctrl+S下载上表所示sunspots.csv表单。
第一步------平稳性分析
这是一个"年份"的时间序列，不适合使用 Prophet 时间预测模型。考虑使用 ARMA，先进行平稳性分析。
方法一
基于方法一，可以画出时间序列，代码如下：
py
import pandas as pd, numpy as np
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pylab as plt
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
plt.rc('axes',unicode_minus=False)
plt.rc('font',family='SimHei'); plt.rc('font',size=16)
d=pd.read_csv('sunspots.csv'); dd=d['counts']
years=d['year'].values.astype(int)
plt.plot(years,dd.values,'-*');
plt.savefig("原始数据折线图.pdf")画出时间序列图如下图所示。肉眼观察图像，认为太阳黑子数量稳定在一定范围附近，没有明显上升或者明显下降的趋势，原序列基本平稳。
方法二
基于方法二，我们还可以画自相关图和偏自相关图。代码如下所示：
py
# 接着上面的代码
ax1=plt.subplot(121); plot_acf(dd,ax=ax1,title='自相关',lags = len(dd) - 1)
ax2=plt.subplot(122); plot_pacf(dd,ax=ax2,title='偏自相关',lags = len(dd) - 1)
plt.savefig("原序列的自相关与偏自相关图.pdf")
# lags 参数是我自己加的，原代码里面没有，其含义应该是相关图横坐标的范围
# 如果不加 lags 参数，自相关、偏自相关图的横坐标就只到 25 左右，很不能说明问题画出结果如下图所示。自相关图蓝色阴影在 ± 0.4 \pm0.4 ±0.4 之内，偏自相关图几乎没有阴影。从而认为原序列没有很长的长期相关性，从而是平稳序列。
方法三
基于方法三，我们可以调库，使用ADF方法得到置信因子 p p p 的值：
py
# 接着上面的代码
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADF
print(ADF(dd))
"""
结果如下，返回值依次为adf、pvalue、usedlag、nobs、critical values、icbest、regresults、resstore
(-2.3842262328920083, 0.1462380194095098, 8, 280, {'1%': -3.453922368485787, '5%': -2.871918329081633, '10%': -2.5723001147959184}, 2267.166855421211)
看出 pvalue = 0.1462380194095098
"""遗憾的是，这个最严谨的方法认为太阳黑子是非平稳序列 ，理论上原数据不适合使用 ARMA 预测 。对于非平稳序列我们的处理手段是：差分，或者取对数。取对数就是将原数据 x i x_i xi 转换为 x ^ i = log x i \hat x_i=\log x_i x^i=logxi，而一阶差分 则是将原数据 x i x_i xi 转换为 x ^ i = x i − x i − 1 \hat x_i = x_i-x_{i-1} x^i=xi−xi−1。
ARIMA 相比于 ARMA 的区别，就是引入了 n n n 阶差分，使得原来的非平稳序列 { x i } \{x_i\} {xi} 转变为平稳序列 { x ^ i } \{\hat x_i\} {x^i}，从而继续使用 ARMA 进行时间序列分析。我们看一下太阳黑子一阶差分数据的平稳性：
py
# 接着上面的代码
print(ADF(dd.diff().dropna()))
"""
(-14.076125927559811, 2.8827295545409215e-26, 7, 280, {'1%': -3.453922368485787, '5%': -2.871918329081633, '10%': -2.5723001147959184}, 2263.2365299490502)
可以看出 pvalue = 2.8827295545409215e-26，相当地平稳
"""结果相当平稳，因此可以使用太阳黑子的一阶差分数据进行时间序列分析，分析结果求前缀和得到原来的太阳黑子数据 。下面我将分别使用原数据dd（虽然不适合用 ARMA，但还是使用着看看）以及它的一阶差分数据dd.diff().dropna()进行时间序列分析，然后对比它们的结果。
第二步------白噪声分析
使用下面的代码，分别对原数据、一阶差分数据进行白噪声分析。结果显示，它们都不是白噪声数据。光看着一点，它们都符合 ARMA 使用条件。
py
# 接着上面的代码
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
print(acorr_ljungbox(dd,lags=1)) # 原数据
# 结果 (array([193.5490947]), array([5.34166945e-44]))
# 其中 pvalue = 5.34166945e-44 < 0.05，确定为非白噪声数据
print(acorr_ljungbox(dd.diff().dropna(),lags=1)) # 一阶差分数据
# 结果 (array([80.51235627]), array([2.88892777e-19]))
# 其中 pvalue = 2.88892777e-19 < 0.05，确定为非白噪声数据第三步------确定参数
需要确定参数 p , q p,q p,q。按照参考文献中的说法，我们需要把满足 0 ≤ p , q ≤ ⌊ n / 10 ⌋ 0\le p,q\le ⌊n/10⌋ 0≤p,q≤⌊n/10⌋ 的参数全部尝试一遍，在这之中找出最好的参数对 ( p , q ) (p,q) (p,q) 。但是我们的数据横跨 289 289 289 年， ⌊ n / 10 ⌋ = 28 ⌊n/10⌋ = 28 ⌊n/10⌋=28，这样时间开销太大了，程序会跑得很慢。
实际上， ( p , q ) (p,q) (p,q) 太大就没必要尝试下去了。为了更快地跑出结果，我这里尝试 0 ≤ p , q < 6 0\le p,q<6 0≤p,q<6 的所有参数（也跑了很久），并且只使用 BIC 指标 。
先确定原数据的参数：
py
# 接着上面的代码
bic_matrix = [] # BIC矩阵
for p in range(6):
tmp = []
for q in range(6):
try: # 存在部分报错，所以用try来跳过报错。
tmp.append(sm.tsa.ARMA(dd, (p, q)).fit().bic)
except:
tmp.append(float("inf"))
bic_matrix.append(tmp)
print(np.argmin(np.array(bic_matrix)))
# 结果为 26，即 p = 4,q = 2再试一试一阶差分数据的参数：
py
# 接着上面的代码
bic_matrix = [] # BIC矩阵
for p in range(6):
tmp = []
for q in range(6):
try: # 存在部分报错，所以用try来跳过报错。
tmp.append(sm.tsa.ARMA(dd, (p, q)).fit().bic)
except:
tmp.append(float("inf"))
bic_matrix.append(tmp)
print(np.argmin(np.array(bic_matrix)))
# 结果为 14，即 p = 2,q = 2至此，确定原数据 ARMA 的参数 p = 4 , q = 2 p=4,q=2 p=4,q=2，一阶差分数据的参数 p = 2 , q = 2 p=2,q=2 p=2,q=2。
第四步------模型构建与检验
检验模型效果
按照下面的代码训练模型：
py
# 接着上面的代码
################ 获取原数据的预测值 ################
zmd=sm.tsa.ARMA(dd,(4,2)).fit()
dhat=list(zmd.predict())
#################################################
############## 获取一阶差分数据的预测值 ##############
zmd2=sm.tsa.ARMA(dd.diff.dropna(),(2,2)).fit()
dhat2=list(zmd2.predict())
# 进行前缀和操作，恢复为原数据
dhat2.insert(0,dhat[0])
from itertools import accumulate
dhat2 = list(accumulate(dhat2))
##################################################上面获取的数据，是对已知的 1700 − 1988 1700-1988 1700−1988 年数据的拟合，用于检验模型的正确性的。实际上，在获取zmd对象后，可以调用zmd.summary()对此次 ARMA 模型训练结果进行总结。比如print(zmd.summary())的结果就是：
ARMA Model Results
==============================================================================
Dep. Variable: counts No. Observations: 289
Model: ARMA(4, 2) Log Likelihood -1197.676
Method: css-mle S.D. of innovations 15.159
Date: Sat, 14 Sep 2024 AIC 2411.353
Time: 15:20:12 BIC 2440.684
Sample: 0 HQIC 2423.106
================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
--------------------------------------------------------------------------------
const 49.7380 6.211 8.009 0.000 37.566 61.910
ar.L1.counts 2.8101 0.086 32.694 0.000 2.642 2.979
ar.L2.counts -3.1179 0.218 -14.294 0.000 -3.545 -2.690
ar.L3.counts 1.5248 0.213 7.165 0.000 1.108 1.942
ar.L4.counts -0.2366 0.080 -2.954 0.003 -0.394 -0.080
ma.L1.counts -1.6480 0.057 -29.016 0.000 -1.759 -1.537
ma.L2.counts 0.7885 0.055 14.396 0.000 0.681 0.896
Roots
=============================================================================
Real Imaginary Modulus Frequency
-----------------------------------------------------------------------------
AR.1 0.8639 -0.5664j 1.0330 -0.0924
AR.2 0.8639 +0.5664j 1.0330 0.0924
AR.3 1.0928 -0.0000j 1.0928 -0.0000
AR.4 3.6248 -0.0000j 3.6248 -0.0000
MA.1 1.0450 -0.4197j 1.1262 -0.0608
MA.2 1.0450 +0.4197j 1.1262 0.0608
-----------------------------------------------------------------------------
这里面可能有一些比较重要的信息。接下来我们就原数据，原数据的预测数据、一阶差分数据的预测数据进行作图：
py
# 接着上面的代码
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(years,dd,'-')
plt.plot(years,dhat,'--')
plt.plot(years,dhat2,'--')
plt.rcParams['font.family'] = 'KaiTi'
plt.legend(('原始观测值','原数据预测值','一阶差分数据预测值'))
plt.grid()
plt.show()作图结果如下所示。本不适合 ARMA 预测的原数据，预测后与原始观测值非常符合；而适合 ARMA 预测的一阶差分数据，进行前缀和操作后，预测结果反而非常糟糕。这并不是因为一阶差分数据拟合效果太差，而是它在通过前缀和操作变回原数据的过程中，误差不断积累变大，最终导致结果产生严重的偏离。
手动差分数据不可取，要想对非平稳数据进行时间序列分析，还应用 ARIMA 模型合适。
经过尝试，对于原数据 { x i } \{x_i\} {xi}，使用 x ^ i = ln ( x + 0.02 ) \hat x_i=\ln(x+0.02) x^i=ln(x+0.02) （因为原数据中含有 0 0 0 值，不可直接取对数，故加 0.02 0.02 0.02）会通过平稳性分析 （ p = 0.03817 < 0.05 p=0.03817<0.05 p=0.03817<0.05）和白噪声分析，获取最佳参数 p = 2 , q = 4 p=2,q=4 p=2,q=4 且获取比较良好的拟合效果，有兴趣的读者可以尝试一下。使用这样的 { x ^ i } \{\hat x_i\} {x^i} 进行预测的结果如下图所示：
预测未来数据
若要预测接下来的数据，可以用下面的代码（二选一，都行）：
py
# 从已知数据的后一天开始预测
begin = d.shape[0]
# 预测 5 天
end = begin + 5
dnext = zmd.predict(begin, end)
print(dnext) #显示预测值
"""结果如下：
289 139.440487
290 153.467594
291 143.350740
292 114.224154
293 76.024077
294 40.746472
"""或者可以这样：
py
# 预测后面 5 天的数据
dnext = zmd.forecast(5)
print(dnext[0]) #显示预测值
"""结果如下：
[139.44048728 153.46759385 143.35074018 114.22415414 76.02407734]
"""这里的zmd.forecast得到的数据分别是预测结果、标准误差、置信区间。dnext[0]只打印预测结果。
原理和代码参考文献：python之时间序列算法(ARMA)_python arma-CSDN博客