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介绍
灰色关联度分析，可以反映两个序列 X ( k ) X(k) X(k) 和 Y ( k ) Y(k) Y(k) 之间的联系，用 r r r 表征。然而， r r r 的绝对大小并没有过多的意义，它的意义只在不同的 r r r 进行比较 时体现。比如 X ( k ) , Y ( k ) X(k),Y(k) X(k),Y(k) 之间的灰色关联度为 r x y = 0.8 r_{xy}=0.8 rxy=0.8， X ( k ) , Z ( k ) X(k),Z(k) X(k),Z(k) 之间的灰色关联度为 r x z = 0.5 r_{xz}=0.5 rxz=0.5，根据 r x y > r x z r_{xy}>r_{xz} rxy>rxz 判断 X ( k ) , Y ( k ) X(k),Y(k) X(k),Y(k) 之间的关系相比于 X ( k ) , Z ( k ) X(k),Z(k) X(k),Z(k) 更为紧密。
在分析两个 序列的关联性时，灰色关联度分析用处不大，因为不存在"比较"。此时反倒是可以用 Spearman 或者 Pearson 相关系数去衡量关联性，效果更佳。相比于 Pearson/Spearman 相关系数，灰色关联度分析更像是从折线图的形状上，分析两个变量之间的关联程度。
据此，灰色关联度分析往往规定一个母序列 Y ( k ) ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) Y(k)(k=1,2,\cdots,n) Y(k)(k=1,2,⋯,n)，并且设置 m m m 个子序列 X i ( k ) ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ; i = 1 , 2 , ⋯ , m ) {{X}_{i}}(k)(k=1,2,\cdots ,n;i=1,2,\cdots ,m) Xi(k)(k=1,2,⋯,n;i=1,2,⋯,m)，并探讨每个子序列与母序列 关联的紧密程度，依据是每个子序列与母序列之间的灰色关联度。
你可能会产生疑问，灰色关联度分析能做到的，Spearman 和 Pearson 相关系数都可以做到啊，只需将依据改为每个子序列与母序列之间的 Peason/Spearman 相关系数。然而实际情况是，Peason/Spearman 相关系数的区分性太弱了，我将以一个例子说明 Peason/Spearman 相关系数不合适的原因。
例 下表为某地区国内生产总值的统计数据（以百万元计），问该地区从 2000 2000 2000 年到 2005 2005 2005 年之间哪一种产业对 GDP 总量影响最大。
| 年份 | GDP 总量 | 第一产业 | 第二产业 | 第三产业 |
|---|---|---|---|---|
| 2000 2000 2000 | 1988 1988 1988 | 386 386 386 | 839 839 839 | 763 763 763 |
| 2001 2001 2001 | 2061 2061 2061 | 408 408 408 | 846 846 846 | 808 808 808 |
| 2002 2002 2002 | 2335 2335 2335 | 422 422 422 | 960 960 960 | 953 953 953 |
| 2003 2003 2003 | 2750 2750 2750 | 482 482 482 | 1258 1258 1258 | 1010 1010 1010 |
| 2004 2004 2004 | 3356 3356 3356 | 511 511 511 | 1577 1577 1577 | 1268 1268 1268 |
| 2005 2005 2005 | 3806 3806 3806 | 561 561 561 | 1893 1893 1893 | 1352 1352 1352 |
点击下载路径，
Ctrl+S下载上表所示灰色关联度.csv表单。
我们可以很方便地画出折线图，先观察一下趋势，发现都是逐年增加的：
视图计算 Peason/Spearman 相关系数，结果是：
- 国内生产总值分别对三种产业的 Pearson 相关系数是：
[0.98845683 0.99738217 0.98954068] - 国内生产总值分别对三种产业的 Spearman 相关系数是：
[1. 1. 1. ]
显然 Peason/Spearman 相关系数分辨能力太弱，所以不适合运用。
原理
在使用灰色关联度重新解决上面这个问题之前，先介绍一下灰色关联度的计算方法 。在确定母序列 Y ( k ) ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) Y(k)(k=1,2,\cdots,n) Y(k)(k=1,2,⋯,n) 和子序列 X i ( k ) ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ; i = 1 , 2 , ⋯ , m ) {{X}_{i}}(k)(k=1,2,\cdots ,n;i=1,2,\cdots ,m) Xi(k)(k=1,2,⋯,n;i=1,2,⋯,m) 后，还需要进行以下几步：
- 无量纲化处理 。从下面两种不同的方式中选择一种即可：
- 初值化处理： x i ( k ) = x i ( k ) x i ( 1 ) ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ; i = 1 , 2 , ⋯ , m ) {{x}{i}}(k)=\cfrac{{{x}{i}}(k)}{{{x}_{i}}(1)}\quad(k=1,2,\cdots ,n;i=1,2,\cdots ,m) xi(k)=xi(1)xi(k)(k=1,2,⋯,n;i=1,2,⋯,m)
- 均值化处理： x i ( k ) = x i ( k ) x ‾ i ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ; i = 1 , 2 , ⋯ , m ) {{x}{i}}(k)=\cfrac{{{x}{i}}(k)}{\overline{x}_i}\quad(k=1,2,\cdots ,n;i=1,2,\cdots ,m) xi(k)=xixi(k)(k=1,2,⋯,n;i=1,2,⋯,m)
- 计算关联系数 ：
ξ i ( k ) = min i min k ∣ y ( k ) − x i ( k ) ∣ + ρ max i max k ∣ y ( k ) − x i ( k ) ∣ ∣ y ( k ) − x i ( k ) ∣ + ρ max i max k ∣ y ( k ) − x i ( k ) ∣ {{ξ}{i}}(k)=\frac{{\min{i}{\min_{k}|}}y(k)-{{x}{i}}(k)|+\rho {\max{i}{\max_{k}|}}y(k)-{{x}{i}}(k)|}{|y(k)-{{x}{i}}(k)|+\rho {\max_{i}{\max_{k}|}}y(k)-{{x}_{i}}(k)|} ξi(k)=∣y(k)−xi(k)∣+ρmaximaxk∣y(k)−xi(k)∣minimink∣y(k)−xi(k)∣+ρmaximaxk∣y(k)−xi(k)∣其中分辨系数 ρ ∈ ( 0 , + ∞ ) \rho\in(0,+\infty) ρ∈(0,+∞)，值越小分辨能力越大，一般在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 内取值。当 ρ < 0.5463 \rho<0.5463 ρ<0.5463 时，分辨能力最好。一般取 ρ = 0.5 \rho=0.5 ρ=0.5。 - 计算关联度 。因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示： r i = 1 n ∑ k = 1 n ξ i ( k ) i = 1 , 2 , ⋯ , m {{r}{i}}=\frac{1}{n}\sum{k=1}^{n}{{{ξ}_{i}}}(k)\quad i=1,2,\cdots ,m ri=n1k=1∑nξi(k)i=1,2,⋯,m
- 关联度排序 。根据 r i r_i ri 进行排序，就可以得到母序列和各个子序列的关联程度大小。
代码实例
介绍完灰色关联度 r r r 的计算方法后，我们就用灰色关联度重新解决上面的例子，数据存储在灰色关联度.csv文件中。这里取 ρ = 0.5 \rho=0.5 ρ=0.5，并且无量纲化处理时使用均值化处理。
py
import pandas as pd
x = pd.read_csv('灰色关联度.csv')
x = x.iloc[:, 1:].T
# 1、数据均值化处理
x_mean = x.mean(axis=1)
for i in range(x.index.size):
x.iloc[i, :] = x.iloc[i, :] / x_mean[i]
# 2、提取参考队列和比较队列
ck = x.iloc[0, :]
cp = x.iloc[1:, :]
# 比较队列与参考队列相减
t = pd.DataFrame()
for j in range(cp.index.size):
temp = pd.Series(cp.iloc[j, :] - ck)
t = t.append(temp, ignore_index=True)
# 求最大差和最小差
mmax = t.abs().max().max()
mmin = t.abs().min().min()
rho = 0.5
# 3、求关联系数
ksi = ((mmin + rho * mmax) / (abs(t) + rho * mmax))
# 4、求关联度
r = ksi.sum(axis=1) / ksi.columns.size
# 5、关联度排序，得到结果r3>r2>r1
result = r.sort_values(ascending=False)
print(result)
"""
关联度
r3 = 0.757300 （第三季度）
r2 = 0.624296 （第二季度）
r1 = 0.508432 （第一季度）
""" 尝试了 ρ ∈ ( 0 , 2 ) \rho\in(0,2) ρ∈(0,2) 的一些情况，结果都是第三季度的关联度最大，如左图。右图是无量纲化处理改为初值化处理的结果。
