《线性代数》常用公式定理总结

文章目录

[1 行列式](#1 行列式)
- [1.1 克拉默法则](#1.1 克拉默法则)
- [1.2 基本性质](#1.2 基本性质)
- [1.3 余子式 M i j M_{ij} Mij](#1.3 余子式 M i j M_{ij} Mij)
- [1.4 代数余子式 A i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} Aij=(−1)i+j⋅Mij](#1.4 代数余子式 A i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} Aij=(−1)i+j⋅Mij)
- [1.5 具体型行列式计算（化为基本型）](#1.5 具体型行列式计算（化为基本型）)
- - [1.5.1 主对角线行列式：主对角元素相乘](#1.5.1 主对角线行列式：主对角元素相乘)
  - [1.5.2 副对角线行列式：副对角元素相乘并判断正负号](#1.5.2 副对角线行列式：副对角元素相乘并判断正负号)
  - [1.5.3 拉普拉斯展开式](#1.5.3 拉普拉斯展开式)
  - [1.5.4 范德蒙德行列式：只看第二行，右减左，全都减，减完乘起来](#1.5.4 范德蒙德行列式：只看第二行，右减左，全都减，减完乘起来)
  - [1.5.5 加边法：没有明显的公共规律，自己补一个公共规律](#1.5.5 加边法：没有明显的公共规律，自己补一个公共规律)
  - [1.5.6 递推法（适用于计算异爪型行列式）：高阶→低阶](#1.5.6 递推法（适用于计算异爪型行列式）：高阶→低阶)
  - [1.5.7 数学归纳法（适用于证明题）：低阶→高阶](#1.5.7 数学归纳法（适用于证明题）：低阶→高阶)
  - [1.5.8 一些处理手段](#1.5.8 一些处理手段)
- [1.6 抽象型行列式的计算： a i j a_{ij} aij未给出](#1.6 抽象型行列式的计算： a i j a_{ij} aij未给出)
- - [1.6.1 用行列式性质](#1.6.1 用行列式性质)
  - [1.6.2 用矩阵知识](#1.6.2 用矩阵知识)
  - [1.6.3 用相似理论](#1.6.3 用相似理论)
[2 矩阵](#2 矩阵)
- [2.1 转置、逆、伴随的一些关系式](#2.1 转置、逆、伴随的一些关系式)
- [2.2 求 A n A^n An](#2.2 求 A n A^n An)
- - [2.2.1 A为方阵，且r(A)=1](#2.2.1 A为方阵，且r(A)=1)
  - [2.2.2 试算 A 2 A^2 A2（或 A 3 A^3 A3），找规律【归纳法→探索、研究精神！】](#2.2.2 试算 A 2 A^2 A2（或 A 3 A^3 A3），找规律【归纳法→探索、研究精神！】)
  - [2.2.3 A=B+C用二项展开式](#2.2.3 A=B+C用二项展开式)
  - [2.2.4 用相似理论](#2.2.4 用相似理论)
- [2.3 矩阵的伴随](#2.3 矩阵的伴随)
- - 求法
- [2.4 矩阵的逆](#2.4 矩阵的逆)
- [2.5 矩阵的转置](#2.5 矩阵的转置)
- [2.6 初等矩阵（左行右列）](#2.6 初等矩阵（左行右列）)
- [2.7 分块矩阵](#2.7 分块矩阵)
- [2.8 矩阵方程（含未知矩阵X）](#2.8 矩阵方程（含未知矩阵X）)
- [2.9 矩阵方程求解](#2.9 矩阵方程求解)
- [2.10 秩](#2.10 秩)
- [2.11 行向量组等价（两方程组同解问题）](#2.11 行向量组等价（两方程组同解问题）)
- [2.12 维数与向量的关系](#2.12 维数与向量的关系)
[3 齐次线性方程组](#3 齐次线性方程组)
[4 非齐次线性方程组](#4 非齐次线性方程组)
[5 公共解问题](#5 公共解问题)
[6 同解问题](#6 同解问题)
[7 抽象型方程组](#7 抽象型方程组)
- [7.1 矩阵A各行元素之和均为0](#7.1 矩阵A各行元素之和均为0)
- [7.2 方程组解的个数与秩的关系](#7.2 方程组解的个数与秩的关系)
- [7.3 选择题常考](#7.3 选择题常考)
- [7.4 证线性无关](#7.4 证线性无关)
- [7.5 证线性相关](#7.5 证线性相关)
- [7.6 线性方程组的几何意义](#7.6 线性方程组的几何意义)
- [7.7 线性表出](#7.7 线性表出)
[8 向量空间](#8 向量空间)
- [8.1 向量空间中的坐标](#8.1 向量空间中的坐标)
- [8.2 过渡矩阵](#8.2 过渡矩阵)
- [8.3 坐标变换](#8.3 坐标变换)
[9 特征值特征向量](#9 特征值特征向量)
- [9.1 施密特正交化](#9.1 施密特正交化)
- [9.2 用特征值和特征向量求A](#9.2 用特征值和特征向量求A)
[10 相似](#10 相似)
- [10.1 相似的五个性质](#10.1 相似的五个性质)
- [10.2 相似的结论](#10.2 相似的结论)
- [10.3 相似对角化](#10.3 相似对角化)
[11 实对称矩阵（必能相似对角化）](#11 实对称矩阵（必能相似对角化）)
[12 正交矩阵](#12 正交矩阵)
[13 二次型](#13 二次型)
- [13.1 惯性定理](#13.1 惯性定理)
- [13.2 配方法](#13.2 配方法)
- [13.3 正交变换法](#13.3 正交变换法)
- - [13.3.1 常规计算](#13.3.1 常规计算)
  - [13.3.2 反求参数，A或（f）](#13.3.2 反求参数，A或（f）)
  - [13.3.3 最值问题](#13.3.3 最值问题)
  - [13.3.4 几何应用](#13.3.4 几何应用)
[14 合同](#14 合同)
- [14.1 实对称矩阵的合同](#14.1 实对称矩阵的合同)
[15 正定二次型（正定矩阵）](#15 正定二次型（正定矩阵）)
[16 反对称矩阵](#16 反对称矩阵)

1 行列式

1.1 克拉默法则

1.2 基本性质

交换性质：

行列式的行列互换，行列式的值不变。
对角矩阵的行列式：

对于对角矩阵（或更一般的上三角矩阵或下三角矩阵），行列式等于对角线上元素的乘积。 ∣ a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} a110⋮00a22⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮ann =a11a22⋯ann
矩阵乘积的行列式：

两个矩阵相乘的行列式等于它们行列式的乘积。

det ⁡ ( A B ) = det ⁡ ( A ) det ⁡ ( B ) \det(AB) = \det(A) \det(B) det(AB)=det(A)det(B)
行列互换的行列式：

交换矩阵的两行（或两列），行列式取相反数。

det ⁡ ( A ) = − det ⁡ ( B ) \det(A) = -\det(B) det(A)=−det(B)
相同行（或列）的行列式：

如果矩阵的两行（或两列）相同，则该行列式为零。
比例行（或列）的行列式：

如果矩阵的两行（或两列）成比例，则该行列式为零。
加法性质：

如果矩阵的某一行（或某一列）是两行（或两列）的和，则行列式等于这两行（或两列）分别替换的行列式之和。
行列式的行数与列数：

行列式仅对方阵（行数等于列数的矩阵）定义。
行列式与矩阵的转置：

矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。

det ⁡ ( A ) = det ⁡ ( A T ) \det(A) = \det(A^T) det(A)=det(AT)
单位矩阵的行列式：

单位矩阵的行列式为1。

det ⁡ ( E ) = 1 \det(E) = 1 det(E)=1
矩阵的行（或列）倍加法不变性：

对矩阵的某一行（或列）进行倍加（即将该行（或列）加上另一行（或列）的某个倍数）操作，行列式不变。
矩阵的数乘：

如果将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个数 c c c，那么行列式等于原行列式乘以 c c c。

det ⁡ ( c A ) = c n det ⁡ ( A ) \det(cA) = c^n \det(A) det(cA)=cndet(A)

1.3 余子式 M i j M_{ij} Mij

余子式是从一个 n × n n \times n n×n矩阵中，删除某一行和某一列后得到的 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1) \times (n-1) (n−1)×(n−1)矩阵的行列式。

定义：

对于一个矩阵 A A A的元素 a i j a_{ij} aij，其对应的余子式 M i j M_{ij} Mij是指从矩阵 A A A中删除第 i i i行和第 j j j列后得到的子矩阵的行列式。

1.4 代数余子式 A i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} Aij=(−1)i+j⋅Mij

代数余子式是余子式的带符号版本，用于行列式的展开。具体来说，代数余子式 A i j A_{ij} Aij定义为：

A i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} Aij=(−1)i+j⋅Mij
∣ A ∣ = ∑ j = 1 n a i j A i j = ∑ i = 1 n a i j A i j |A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij} ∣A∣=j=1∑naijAij=i=1∑naijAij

注意：代数余子式 A i j A_{ij} Aij就是伴随矩阵 A ∗ A^* A∗的矩阵系数
A ∗ = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) T A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}^T A∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann T

1.5 具体型行列式计算（化为基本型）

1.5.1 主对角线行列式：主对角元素相乘

1.5.2 副对角线行列式：副对角元素相乘并判断正负号

1.5.3 拉普拉斯展开式

1.5.4 范德蒙德行列式：只看第二行，右减左，全都减，减完乘起来

1.5.5 加边法：没有明显的公共规律，自己补一个公共规律

1.5.6 递推法（适用于计算异爪型行列式）：高阶→低阶

建立两阶或三阶之间的关系，且每阶的元素分布规律必须相同

1.5.7 数学归纳法（适用于证明题）：低阶→高阶

第一数学归纳法（验证1个）：验证 n = 1 n=1 n=1时成立，再假设 n = k （ k ≥ 2 ） n=k（k≥2） n=k（k≥2）时成立，最后证明 n = k + 1 n=k+1 n=k+1时成立，由此推出对任意 n n n成立
第二数学归纳法（验证2个）：验证 n = 1 ， n = 2 n=1，n=2 n=1，n=2时成立，再假设 n < k n<k n<k时成立，最后证明 n = k n=k n=k时成立，由此推出对任意 n n n成立

用数学归纳法证爪型行列式通式：

n = 1 n=1 n=1
n = 2 n=2 n=2
假设 n < k n<k n<k时成立
当 n = k n=k n=k时，按第一列展开得通式形式
得证

1.5.8 一些处理手段

1.6 抽象型行列式的计算： a i j a_{ij} aij未给出

1.6.1 用行列式性质

1.6.2 用矩阵知识

1.6.3 用相似理论

2 矩阵

2.1 转置、逆、伴随的一些关系式

2.2 求 A n A^n An

2.2.1 A为方阵，且r(A)=1

2.2.2 试算 A 2 A^2 A2（或 A 3 A^3 A3），找规律【归纳法→探索、研究精神！】

2.2.3 A=B+C用二项展开式

2.2.4 用相似理论

2.3 矩阵的伴随

求法

简单一点求矩阵的伴随，进而用伴随来求矩阵的逆

2.4 矩阵的逆

2.5 矩阵的转置

2.6 初等矩阵（左行右列）

2.7 分块矩阵

2.8 矩阵方程（含未知矩阵X）

2.9 矩阵方程求解

2.10 秩

矩阵的秩是其行秩和列秩的值，而行秩与列秩总是相等的。秩决定了矩阵的行向量或列向量的线性独立性，也影响了线性方程组的解的情况（如是否有解以及解的数量）

在两个向量组中，被表示的向量组的秩不大于表示它的向量组的秩。（即：两向量组中，被表示的向量组的秩不大）

2.11 行向量组等价（两方程组同解问题）

两个行向量组等价，当且仅当它们能通过一系列初等行变换相互转换。

具体解释

如果矩阵 A A A 和矩阵 B B B 的行向量组等价，这意味着可以通过对 A A A 进行有限次初等行变换，得到 B B B。反之亦然。换句话说， A A A 和 B B B 具有相同的行空间，它们的行向量可以通过相同的线性组合生成。

2.12 维数与向量的关系

维数
- 维数指的是向量中元素的个数。在矩阵中，维数通常指的是向量所在空间的维度。例如，一个在 R m \mathbb{R}^m Rm 空间中的向量有 m m m 个元素。
- 对于一个线性方程组来说，维数指的是系数矩阵的行数，也是方程的个数。
向量个数
- 向量个数指的是列向量的个数，通常是系数矩阵的列数，也代表方程中未知数的个数。
线性相关性
- 如果矩阵的列数大于行数（向量个数 > 维数），则这些列向量必定线性相关。

假设有一个矩阵 A A A 为 3 × 4 3 \times 4 3×4 矩阵（ 3 3 3 行， 4 4 4 列）：

向量的维数是 3 3 3，因为每个列向量有 3 3 3 个元素。
向量的个数是 4 4 4，因为矩阵有 4 4 4 列。
因为 4 > 3 4 > 3 4>3，根据线性代数定理， A A A 的列向量必定是线性相关的。

3 齐次线性方程组

4 非齐次线性方程组

5 公共解问题

6 同解问题

行向量组等价是两个方程组同解的充要条件。如果两个线性方程组的增广矩阵的行向量组是等价的（即通过初等行变换可以互相转换），那么这两个方程组一定有相同的解集。这是因为初等行变换不会改变线性方程组的解。
如果矩阵 A A A 和 B B B 行等价，则存在一个可逆矩阵 P P P 使得 P A = B PA = B PA=B 。这表明可以通过对 A A A 进行初等行变换得到 B B B，而这些初等行变换可以表示为一个可逆矩阵 P P P 作用在 A A A 上。
一个行向量代表一个方程，行向量组的一次初等行变换相当于对方程组做了一次同解变形。由于初等行变换不会改变线性方程组的解集，所以两个增广矩阵行向量组等价，意味着它们对应的方程组有相同的解。
列向量的关系则与方程组是否有解密切相关。
若两个方程组互为线性组合，则两个方程组等价。等价的两个方程组一定同解，但同解的两个方程组不一定等价。

7 抽象型方程组

7.1 矩阵A各行元素之和均为0

7.2 方程组解的个数与秩的关系

7.3 选择题常考

7.4 证线性无关

7.5 证线性相关

要证线性相关，那么只需要证得有一个系数不为0就能使等式成立即可。

7.6 线性方程组的几何意义

有解情况 \mathbf{有解情况} 有解情况

几何意义	代数表达
三平面相交于一点（唯一解）	r ( A ) = r ( A ‾ ) = 3 r(A)=r(\overline{A})=3 r(A)=r(A)=3法向量两两正交
三平面相交于一条线	r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 r(A)=r(\overline{A})=2 r(A)=r(A)=2且 β 1 , β 2 , β 3 β_1,β_2,β_3 β1,β2,β3两两线性无关（任何两面都不重合）
两平面重合，第三平面与之相交	r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 r(A)=r(\overline{A})=2 r(A)=r(A)=2且 β 1 , β 2 , β 3 β_1,β_2,β_3 β1,β2,β3中有两个向量线性相关（存在两个面重合）
三平面重合	r ( A ) = r ( A ‾ ) = 1 r(A)=r(\overline{A})=1 r(A)=r(A)=1

如果三个平面的法向量两两正交，那么对应的线性方程组有唯一解；若此时引入第四个平面，当且仅当第四个平面与前三个平面相交于同一个点时，方程组有唯一解，除此之外无解。

无解情况 \mathbf{无解情况} 无解情况

几何意义	代数表达
三平面两两相交 \mathbf{相交} 相交，且交线相互平行	r ( A ) = 2 ， r ( A ‾ ) = 3 r(A)=2，r(\overline{A})=3 r(A)=2，r(A)=3且 n 1 , n 2 , n 3 n_1,n_2,n_3 n1,n2,n3两两线性无关（任何两个面都不相交）
两平面平行，第三张平面与它们相交 \mathbf{相交} 相交	r ( A ) = 2 ， r ( A ‾ ) = 3 r(A)=2，r(\overline{A})=3 r(A)=2，r(A)=3且 n 1 , n 2 , n 3 n_1,n_2,n_3 n1,n2,n3中有两个向量线性相关（存在两个面平行但不重合）
三张平面相互平行但不重合	r ( A ) = 1 ， r ( A ‾ ) = 2 r(A)=1，r(\overline{A})=2 r(A)=1，r(A)=2且 β 1 , β 2 , β 3 β_1,β_2,β_3 β1,β2,β3两两线性无关（任何两个面都不重合）
两张平面重合，第三张平面与它们平行但不重合	r ( A ) = 1 ， r ( A ‾ ) = 2 r(A)=1，r(\overline{A})=2 r(A)=1，r(A)=2且 β 1 , β 2 , β 3 β_1,β_2,β_3 β1,β2,β3中有两个向量线性相关（存在两个面重合）

7.7 线性表出

8 向量空间

8.1 向量空间中的坐标

题型1：要求一个非零向量 b \mathbf{b} b，使得它在两个不同基 { a 1 , a 2 , a 3 } \{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\} {a1,a2,a3} 和 { β 1 , β 2 , β 3 } \{\mathbf{β}_1, \mathbf{β}_2, \mathbf{β}_3\} {β1,β2,β3} 下的坐标相同。设 b \mathbf{b} b 在这两个基下的坐标为 ( x 1 , x 2 , x 3 ) (x_1, x_2, x_3) (x1,x2,x3)，即：
b = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 \mathbf{b} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + x_3\mathbf{a}_3 b=x1a1+x2a2+x3a3
b = x 1 β 1 + x 2 β 2 + x 3 β 3 \mathbf{b} = x_1\mathbf{β}_1 + x_2\mathbf{β}_2 + x_3\mathbf{β}_3 b=x1β1+x2β2+x3β3

两式相减，得到
x 1 ( a 1 − β 1 ) + x 2 ( a 2 − β 2 ) + x 3 ( a 3 − β 3 ) = 0 x_1(\mathbf{a}_1 - \mathbf{β}_1) + x_2(\mathbf{a}_2 - \mathbf{β}_2) + x_3(\mathbf{a}_3 - \mathbf{β}_3) = 0 x1(a1−β1)+x2(a2−β2)+x3(a3−β3)=0

为了满足上述等式，并且因为 b \mathbf{b} b 是非零向量，所以 x 1 , x 2 , x 3 x_1, x_2, x_3 x1,x2,x3 至少有一个不为零。这表明 a 1 − β 1 \mathbf{a}_1 - \mathbf{β}_1 a1−β1， a 2 − β 2 \mathbf{a}_2 - \mathbf{β}_2 a2−β2， a 3 − β 3 \mathbf{a}_3 - \mathbf{β}_3 a3−β3 必须是线性相关的。

解齐次方程组
( a 1 − β 1 a 2 − β 2 a 3 − β 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 0 0 0 ) \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 - \mathbf{β}_1 & \mathbf{a}_2 - \mathbf{β}_2 & \mathbf{a}_3 - \mathbf{β}_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} (a1−β1a2−β2a3−β3) x1x2x3 = 000

得解坐标 x 1 , x 2 , x 3 x_1, x_2, x_3 x1,x2,x3，从而得到向量 b \mathbf{b} b：
b = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 \mathbf{b} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + x_3\mathbf{a}_3 b=x1a1+x2a2+x3a3

8.2 过渡矩阵

8.3 坐标变换

9 特征值特征向量

注意：方程组可以有零解，但特征向量决不能是零向量！注意：方程组可以有零解，但特征向量决不能是零向量！注意：方程组可以有零解，但特征向量决不能是零向量！
A ∗ 、 A k ( k ≠ − 1 ) 的特征向量不一定是 A 的特征向量 \boldsymbol{A^*}、\boldsymbol{A^k}(k≠-1)的特征向量不一定是\boldsymbol{A}的特征向量 A∗、Ak(k=−1)的特征向量不一定是A的特征向量
A − 1 、 k A ( k ≠ 0 ) 的特征向量一定是 A 的特征向量 \boldsymbol{A^{-1}}、\boldsymbol{kA}(k≠0)的特征向量一定是\boldsymbol{A}的特征向量 A−1、kA(k=0)的特征向量一定是A的特征向量

矩阵	特征值	对应特征向量
A \boldsymbol{A} A	λ \boldsymbol{λ} λ	α \boldsymbol{α} α
A T \boldsymbol{A^T} AT	λ \boldsymbol{λ} λ	重新计算 \boldsymbol{重新计算} 重新计算
将 A 对称化得到 B = A + A T 2 \boldsymbol{将A对称化得到B=\frac{A+A^T}{2}} 将A对称化得到B=2A+AT	重新计算 \boldsymbol{重新计算} 重新计算	重新计算 \boldsymbol{重新计算} 重新计算
k A \boldsymbol{kA} kA	k λ \boldsymbol{kλ} kλ	α \boldsymbol{α} α
A k \boldsymbol{A^k} Ak	λ k \boldsymbol{λ^k} λk	α \boldsymbol{α} α
f ( A ) \boldsymbol{f(A)} f(A)	f ( λ ) \boldsymbol{f(λ)} f(λ)	α \boldsymbol{α} α
A − 1 \boldsymbol{A^{-1}} A−1	1 λ \boldsymbol{\frac{1}{λ}} λ1	α \boldsymbol{α} α
A ∗ \boldsymbol{A^*} A∗	∣ A ∣ λ \boldsymbol{\frac{\|A\|}{λ}} λ∣A∣	α \boldsymbol{α} α
P − 1 A P = B \boldsymbol{P^{-1}AP=B} P−1AP=B	λ \boldsymbol{λ} λ	P − 1 α \boldsymbol{P^{-1}α} P−1α
P − 1 f ( A ) P = f ( B ) \boldsymbol{P^{-1}f(A)P=f(B)} P−1f(A)P=f(B)	f ( λ ) \boldsymbol{f(λ)} f(λ)	P − 1 α \boldsymbol{P^{-1}α} P−1α

9.1 施密特正交化

9.2 用特征值和特征向量求A

10 相似

10.1 相似的五个性质

10.2 相似的结论

10.3 相似对角化

11 实对称矩阵（必能相似对角化）

如果矩阵 A A A 不是实对称矩阵，则不同特征值对应的特征向量不一定相互正交。

12 正交矩阵

13 二次型

13.1 惯性定理

13.2 配方法

13.3 正交变换法

13.3.1 常规计算

13.3.2 反求参数，A或（f）

13.3.3 最值问题

13.3.4 几何应用

二次曲面 f = x T A x = 1 f=x^TAx=1 f=xTAx=1的类型

λ 1 , λ 2 , , λ 3 的符号 λ_1,λ_2,,λ_3的符号 λ1,λ2,,λ3的符号	f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 f(x_1,x_2,x_3)=1 f(x1,x2,x3)=1
3正	椭球面
2正1负	单页双曲面
1正2负	双叶双曲面 f = 0 时为锥面 f=0时为锥面 f=0时为锥面
2正1零	椭圆柱面
1正1负1零	双曲柱面

14 合同

对于任意的 n × n n \times n n×n 矩阵 A A A 和 B B B，如果存在一个可逆矩阵 C C C 使得：

C T A C = B C^TAC = B CTAC=B

则称矩阵 A A A 和 B B B 是合同矩阵，并且这个变换叫做合同变换。

变换特点

行列同步：合同变换中的行变换和列变换可同步进行。
不改变矩阵的秩：合同变换保持矩阵的秩。
二次型化简：合同变换常用于二次型的化简，使得原矩阵的结构得到简化，同时保持二次型的性质。

14.1 实对称矩阵的合同

两个实对称矩阵 A A A 和 B B B 如果是合同的，即存在一个可逆矩阵 C C C 使得 C T A C = B C^TAC = B CTAC=B，那么它们的惯性指数（正惯性指数、负惯性指数和零惯性指数的个数）必须相同。

15 正定二次型（正定矩阵）

正定矩阵：

定义：正定矩阵是一个对称矩阵，并且对于任意非零向量 x \mathbf{x} x，有 x T A x > 0 \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0 xTAx>0。
性质：正定矩阵的特征值都是正数，通常用于优化问题，表示能量最小化等场景。能量最小化通常与目标函数的最小化相关联。比如在机器学习中的损失函数或在经济学中的成本函数，这些函数的最小值往往代表最佳解。正定矩阵在这种场景中非常重要，因为它对应的二次型函数如果是正定的，那么优化问题的目标函数就有一个唯一的最小值。这个最小值就是能量最小化的解。

二次型矩阵：

定义：二次型矩阵是描述二次型函数的对称矩阵，形式为 f = x T A x f= \mathbf{x}^T A \mathbf{x} f=xTAx，其中 A A A 是对称矩阵。
性质：二次型矩阵可以是正定的、半正定的、负定的或不定的，具体取决于函数 f f f 的符号情况。

两者的区别：

范围不同：正定矩阵是特定类型的二次型矩阵，即二次型矩阵中的一种特殊情况。
判别标准：正定矩阵要求对于所有非零向量 x \mathbf{x} x， x T A x \mathbf{x}^T A \mathbf{x} xTAx 必须大于零；而二次型矩阵可以根据其对应二次型的符号不同，具有不同的性质。

16 反对称矩阵

反对称矩阵（也称为斜对称矩阵）是一类特殊的矩阵，其定义是矩阵的转置等于其负矩阵，即对于矩阵 ( A ) 来说，反对称条件为：

A T = − A A^T = -A AT=−A

具体来说，矩阵中的元素满足：
a i j = − a j i a_{ij} = -a_{ji} aij=−aji

这意味着矩阵的对角线元素必须为零（即 a i i = 0 a_{ii} = 0 aii=0），因为 a i i = − a i i a_{ii} = -a_{ii} aii=−aii，这只有在 a i i = 0 a_{ii} = 0 aii=0 时成立。例如：一个 3 × 3 3×3 3×3 的反对称矩阵为：
A = ( 0 a 12 a 13 − a 12 0 a 23 − a 13 − a 23 0 ) A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 \end{pmatrix} A= 0−a12−a13a120−a23a13a230

反对称矩阵的性质：

对角线元素为零：反对称矩阵的对角线元素必须为零。
特征值性质：反对称矩阵的特征值要么是零，要么是纯虚数（对于实数反对称矩阵）。
奇数维度的行列式为零：如果反对称矩阵的维度是奇数，那么其行列式为零。这是因为反对称矩阵在奇数维度下的非零特征值成对出现，每对特征值互为相反数，导致行列式为零。