数据结构：二叉树

1.树的概念：

树是一种非线性数据结构，用于表示层次关系。树由节点组成，每个节点包含一个值和指向其子节点的指针。树的特点是每个节点只能有一个父节点，但可以有多个子节点。

树的基本术语：

1. 节点（Node）：树的基本单位，可以存储数据。（下图中的圆圈代表一个节点）
2. 根节点（Root）：树的最顶层节点，没有父节点。
3. 子节点 ：一个节点向下直接连接的所有节点，都是该节点的子节点。（直接连接：中间没有其他节点）
4. 叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点。
5. 深度（Depth）：从根节点到该节点的边数。
6. 高度（Height）：从该节点到最远叶子节点的边数。（下图的这棵树高度为3）
7. 子树（Subtree）：树的任一节点及其后代构成的树。
8. **节点的度：**该节点的子节点的个数。

这里的树与现实生活中的树相比，更像是一棵"倒过来的树"

一棵树的子节点与子节点之间不能直接连接，否则不能称作树，是非树，如图：

2.二叉树

二叉树是指，在一棵树中，如果每个节点最有两个子节点 ，这棵树就叫做二叉树

换一种说法，一棵树所有节点 最大的度是2，这棵树就是二叉树

这样的一棵树就是二叉树，而且是满二叉树，那么，什么是满二叉树？

2.1满二叉树

每个节点都有两个子节点，并且所有叶子节点在同一层。如图，D、E、F、G节点是叶子节点并且在同一层

或者说，一棵二叉树的每一个叶子节点以外的节点都有两个子节点，这些节点都"满了"，即为满二叉树

2.2完全二叉树

除了最后一层，其余每一层的节点都已满，最后一层的节点从左到右排列。满二叉树是完全二叉树的一种

但是如果最后一层的节点从左往右有空，就不是完全二叉树

3.顺序二叉树

顺序二叉树是使用数组来存储节点

优点：连续存储、快速随机访问

缺点：空间浪费

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* _a;
	int _size;
	int _capacity;
}Heap;

不难看出，顺序二叉树的数据是一层一层、连续存放在数组中的，意味着顺序二叉树必定是完全二叉树

并且父节点与子节点与数组的下标有固定的逻辑关系：若父节点的下标为i

左子节点下标：2 * i + 1

右子节点下标：2 * i + 2

而根据这个关系，可以对这棵树进行遍历 和 排序

如果将这棵树排序，使得每个父节点都比其子节点大，就形成了堆，并且是大堆

相反，如果每个父节点都比其子节点小，就形成了小堆

大堆小堆只是父节点与子节点的关系，与层无关

上图大堆第三层的 46 比第二层的 25 大，但是不影响这是一个大堆，因为75 > 52 >46,满足大堆的条件

堆的性质：

大堆的根节点的值，是这个堆的最大值

小堆的根节点的值，是这个堆的最小值

堆相关的接口

头文件：

#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* _a;
	int _size;
	int _capacity;
}Heap;

//交换
void swap(int* a, int* b);

//向下调整建堆
void AdjustDown(int* a, int parent, int n);
//向上调整建堆
void AdjustUp(int* a, int child, int n);

// 堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 计算数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

源文件 ：

void swap(int* a, int* b)
{
	int tmp = *a;
	*a = *b;
	*b = tmp;
}

void AdjustUp(int* a, int child, int n)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void AdjustDown(int* a, int parent, int n)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])
		{
			++child;
		}
		if (a[child] > a[parent])
		{
			swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = (parent * 2) + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

// 堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	hp->_a = NULL;
	hp->_capacity = hp->_size = 0;
}
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	hp->_size = hp->_capacity = 0;
	free(hp);
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
	assert(hp);
	if (hp->_size == hp->_capacity)
	{
		HPDataType newcapacity = hp->_capacity == 0 ? 4 : 2 * hp->_capacity;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}
		hp->_a = tmp;
		hp->_capacity = newcapacity;
	}
	hp->_a[hp->_size] = x;
	++hp->_size;
	AdjustUp(hp->_a, hp->_size - 1, hp->_size);
}
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(hp->_size > 0);
	swap(&hp->_a[hp->_size - 1], &hp->_a[0]);
	--hp->_size;
	AdjustDown(hp->_a, 0, hp->_size);
}
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(hp->_size > 0);
	return hp->_a[0];
}
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->_size;
}

// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->_size == 0 ? 1 : 0;
}

堆排序：

堆排序是一种比较高效的排序 时间复杂度为 O(log2 n) 以2为底，n的对数

//堆排序
void HeapSort(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{
	assert(hp);
	hp->_a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (hp->_a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		hp->_a[i] = a[i];
	}
	hp->_size = hp->_capacity = n;
	for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(hp->_a, i, hp->_size);
	}
}

4.链式二叉树

链式二叉树通过指针，将一个一个的节点连接

优点：空间浪费小

缺点：不能随机访问

链式二叉树的节点：

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType _data;
	struct BinaryTreeNode* _left;
	struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;

4.1 二叉树的销毁：

void BinaryTreeDestory(BTNode** root)

{

//后序遍历

if (root == NULL)

{

return;

}

BinaryTreeDestory(&(*root)->_left);

BinaryTreeDestory(&(*root)->_right);

free(*root);

*root == NULL;

return;

}

4.2二叉树节点个数

int BinaryTreeSize(BTNode* root)

{

if (root == NULL)

{

return 0;

}

if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)

{

return 1;

}

return BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right) + 1;

}

4.3二叉树叶子节点个数

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)

{

if (root == NULL)

{

return 0;

}

if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)

{

return 1;

}

return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);

}

4.4二叉树第k层节点个数

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)

{

if (root == NULL)

{

return 0;

}

if (k == 1)

{

return 1;

}

return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root, k - 1);

}

4.5二叉树查找值为x的节点

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)

{

if (root == NULL)

{

return NULL;

}

if (root->_data == x)

{

return root;

}

BTNode* pleft = BinaryTreeFind(root->_left, x);

if (pleft)

return pleft;

BTNode* pright = BinaryTreeFind(root->_right, x);

if (pright)

return pright;

return NULL;

}

4.6 二叉树的前中后序遍历

// 二叉树前序遍历

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)

{

if (root == NULL)

{

return;

}

printf("%d ", root->_data);

BinaryTreePrevOrder(root->_left);

BinaryTreePrevOrder(root->_right);

}

// 二叉树中序遍历

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)

{

if (root == NULL)

{

return;

}

BinaryTreePrevOrder(root->_left);

printf("%d ", root->_data);

BinaryTreePrevOrder(root->_right);

}

// 二叉树后序遍历

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)

{

if (root == NULL)

{

return;

}

BinaryTreePrevOrder(root->_left);

BinaryTreePrevOrder(root->_right);

printf("%d ", root->_data);

}

4.7二叉树的层序遍历

需要使用队列实现

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)

{

Queue qu;

BTNode* cur;

QueueInit(&qu);

QueuePush(&qu, root);

while (!QueueIsEmpty(&qu))

{

cur = QueueTop(&qu);

putchar(cur->_data);

if (cur->_left)

{

QueuePush(&qu, cur->_left);

}

if (cur->_right)

{

QueuePush(&qu, cur->_right);

}

QueuePop(&qu);

}

QueueDestory(&qu);

}

头文件：

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType _data;
	struct BinaryTreeNode* _left;
	struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);

源文件：

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
	//后序遍历
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	BinaryTreeDestory(&(*root)->_left);
	BinaryTreeDestory(&(*root)->_right);
	free(*root);
	*root == NULL;
	return;
}
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)
	{
		return 1;
	}
	return BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right) + 1;
}
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)
	{
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);
}
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root, k - 1);
}
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
	{
		return NULL;
	}
	if (root->_data == x)
	{
		return root;
	}
	BTNode* pleft = BinaryTreeFind(root->_left, x);
	if (pleft)
		return pleft;
	BTNode* pright = BinaryTreeFind(root->_right, x);
	if (pright)
		return pright;
	return NULL;
}
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	printf("%d ", root->_data);
	BinaryTreePrevOrder(root->_left);
	BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	BinaryTreePrevOrder(root->_left);
	printf("%d ", root->_data);
	BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	BinaryTreePrevOrder(root->_left);
	BinaryTreePrevOrder(root->_right);
	printf("%d ", root->_data);
}
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* src, int n, int* pi)
{
	if (*pi >= n || src[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}

	BTNode* cur = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	cur->_data = src[*pi];
	(*pi)++;

	cur->_left = BinaryTreeCreate(src, n, pi);
	cur->_right = BinaryTreeCreate(src, n, pi);

	return cur;
}


void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue qu;
	BTNode* cur;

	QueueInit(&qu);

	QueuePush(&qu, root);

	while (!QueueIsEmpty(&qu))
	{
		cur = QueueTop(&qu);

		putchar(cur->_data);

		if (cur->_left)
		{
			QueuePush(&qu, cur->_left);
		}

		if (cur->_right)
		{
			QueuePush(&qu, cur->_right);
		}

		QueuePop(&qu);
	}

	QueueDestory(&qu);
}