昇思量子计算系列教程-龙算法

从运行的结果看到，我们成功地搜索出 ∣ 5 ⟩ |5\rangle ∣5⟩和 ∣ 11 ⟩ |11\rangle ∣11⟩态。

至此，我们介绍了Grover搜索算法的基本原理，以及通过两个具体的小例子来展示如何利用MindSpore Quantum实现该算法！赶紧动手体验一下量子编程的乐趣吧！

龙算法

除了在规模为4的数据库中找1个数据的场景，Grover算法不能够精确的搜索出所标记态。清华大学龙桂鲁教授在Grover算法基础之上提出量子精确搜索算法龙算法[3]，能够以准确率为1的概率在所有场景中搜索出目标态。其主要思想是将Grover算子改写为如下的算子，

L = − H ⊗ n R 0 H ⊗ n R τ L = -H^{\otimes n} R_0 H^{\otimes n} R_\tau L=−H⊗nR0H⊗nRτ

其中： R 0 = ( I + ( e i θ − 1 ) ∣ 0 > < 0 ∣ ) R_0 = (I+(e^{i\theta}-1)\left|0\right>\left<0\right|) R0=(I+(eiθ−1)∣0⟩⟨0∣)， R τ = ( I + ( e i θ − 1 ) ∣ τ > < τ ∣ ) R_\tau = (I+(e^{i\theta}-1)\left|\tau\right>\left<\tau\right|) Rτ=(I+(eiθ−1)∣τ⟩⟨τ∣)。在满足相位匹配条件时，

θ = 2 arcsin ⁡ ( sin ⁡ β sin ⁡ ( π 4 J s + 6 ) ) \theta = 2\arcsin\left(\sin\beta\sin\left(\frac{\pi}{4J_s+6}\right)\right) θ=2arcsin(sinβsin(4Js+6π))

我们只需作用 J s + 1 J_s+1 Js+1次龙算子，就可以以概率1找到目标态，这里 β = arcsin ⁡ M / N \beta=\arcsin{\sqrt{M/N}} β=arcsinM/N ， M M M为标记态个数， N N N为数据库大小， J s > = [ ( ( π / 2 ) − β ) / β ] J_s>=[((\pi/2)-\beta)/\beta] Js>=[((π/2)−β)/β]。下面我们用MindSpore Quantum来实现。

一般角度相位转动线路

借助于辅助比特，我们搭建某个计算基矢一般角度相位转动线路。

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from mindquantum.core.gates import X, PhaseShift
from mindquantum.core.circuit import Circuit
def change_phase_with_anclia(which, n_qubits, phase):
    c = Circuit()
    which_bit = bin(which)[2:].zfill(n_qubits)[::-1]
    polarity_circ = Circuit()
    for idx, bit in enumerate(which_bit):
        if bit == "0":
            polarity_circ += X.on(idx)
    c += polarity_circ
    c += PhaseShift(phase).on(n_qubits, list(range(n_qubits)))
    c += polarity_circ
    return c

搭建龙算子

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from mindquantum.core.gates import BARRIER, Z

def L(which, n_qubits, theta, phi):
    U = UN(H, n_qubits)
    R0 = change_phase_with_anclia(0, n_qubits, theta)
    R_t = change_phase_with_anclia(which, n_qubits, phi)
    g_ops = R_t + BARRIER + U + BARRIER + R0 + BARRIER + U + BARRIER
    g_ops += Z.on(n_qubits)
    return g_ops

完成量子精确搜索算法：龙算法

这里我们以3比特数据库中搜索 ∣ 2 > \left|2\right> ∣2⟩态为例，完成龙算法。

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import numpy as np
from mindquantum.core.gates import H
from mindquantum.core.circuit import UN
n_qubits = 3
will_find = 2
beta = np.arcsin(np.sqrt(1 / 2**n_qubits))
Js = int((np.pi / 2 - beta) / 2 / beta)
theta = 2 * np.arcsin(np.sin(np.pi / (4 * Js + 6)) / np.sin(beta))
phi = theta

g = L(will_find, n_qubits, theta, phi)            # 构建用于精确搜索的龙算子

circ = UN(H, n_qubits) + X.on(n_qubits)
for i in range(Js + 1):
    circ += g
circ.svg()

接下来，我们计算线路的量子态。发现，除去相位，我们可以精确的得到目标态。通过采样，我们也可以得到如下类似的结果。

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from mindquantum.simulator import Simulator
from mindquantum.core.gates import Measure

sim = Simulator('mqvector', circ.n_qubits)
res = sim.sampling(circ + UN(Measure(), circ.n_qubits), shots=100)
res.svg()

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from mindquantum.utils.show_info import InfoTable

InfoTable('mindquantum', 'scipy', 'numpy')
`
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