高等代数笔记(2)————(弱/强)数学归纳法

数学归纳法的引入情景其实很简单,就是多米诺骨牌。

推倒所有多米诺骨牌的关键就是推倒第一块,以及确保第一块倒下后会带动第二块,第二块带动第三块,以此类推,也就是可以递推。由此我们可以归纳出所有的多米诺骨牌都可以被推倒。

所以简单来说数学归纳法的两个条件就是第一项成立和可递推,可递推用数学语言表示就是第k项可以使第k+1项成立。

由此,我们就可以正式引入(弱)数学归纳法的定义。

对于一个和正整数n有关的命题P(n),若满足:

(1)命题P(n0)(n0∈N*)成立

(2)假设命题P(k) (k≥n0,k∈N*) 成立,可以推出命题P(k+1)成立。

那么对于所有的n≥n0且n∈N*都有P(n)成立。

这种证明方法就叫数学归纳法。(其实是弱归纳法,或者说是弱数学归纳法)

书写格式就是:

1.证明命题P(n0)(n0∈N)成立

(比如第一项时n=1,那就证明P(1)成立,如果是n=0,那就证明P(0)成立)

2.假设n=k (k≥n0,k∈N) 时命题成立,证明 n=k+1 时命题成立。

3.因此,由数学归纳法知,对任意n∈N,都有...成立("..."为要证明的命题)

(命题的范围要看清时N*还是N,必要时要相应的做一些符号上的调整)

只有当两个步骤都可行时才能使用弱归纳法证明出来。

而且弱归纳法的适用范围是给定命题在整个或局部自然数中成立。

(也就是n=0的时候也可以用。)

举个例子:

证明:

(1)n=1时,显然命题成立

(2)假设n=k时成立

(3)综上,命题成立

而强归纳法和弱归纳法的区别在于弱归纳法递推出第k+1项只用了第k项,但是强归纳法可以使用所有n≤k的情况来证明第k+1项,比如有前两项递推出后一项的情况弱归纳法就无法使用,但是强归纳法就可以。

强归纳法就是说n=0时成立,对任意n∈N*,如果n≤k成立,可推得n=k+1时也成立,那么就可以证明对所有n∈N成立。

强归纳法的证明步骤非常相像:

1.证明命题P(n0)(n0∈N)成立

2.假设n≤k (k≥n0,k∈N) 时命题均成立,证明 n=k+1 时命题成立。

3.因此,由强数学归纳法知,对任意n∈N,都有...成立("..."为要证明的命题)

其实数学归纳法还是比较模板化的,只要满足对应的条件就可以直接套用。

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