傅里叶变换及其应用笔记

傅里叶变换

预备知识

学习路线

从傅里叶级数,过度到傅里叶变换

扼要描述

傅里叶级数(Fourier series),几乎等同于周期性现象的学习

傅里叶变化(Fourier transform),可作为傅里叶级数的极限情况,是对非周期现象的数学分析。

两者之间的共同点:

分析(analysis),分解一个信号(函数),把它拆分成一系列组成部分,并希望这些组成部分比复杂信号(函数)简单

合成(synthesis),把基本的组成部分重组成信号本身。

分析与合成总是成对出现,我们把复杂的信号分离成简单信号,然后进行我们需要的处理,最后再组合成原始信号。

线性运算

傅里叶分析和合成是由线性运算完成的,线性运算包含有积分和序列。傅里叶分析经常被认为是线性分析的一部分。

周期性现象

周期性现象有两种:

时间上的周期性

空间上的周期性

对称性与周期性的关系

例:圆环上的热量分布:

这个例子认为温度不受时间影响,温度与圆环的位置有关。

我们从圆环上的某点A测试圆环的温度,然后沿着顺时针方向一直测试,最终又会回到A点继续顺时针测试温度,这样我们就能得到呈现周期性的温度值。

初步结果:

目标(圆环)重复---->目标对称------>相关值的周期性

这里引出一个论点:傅里叶分析通常与具有对称性问题相关。

周期性







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