2024ICPC网络赛第一场C. Permutation Counting 4（线性代数）

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题目大意：给你n个范围 l i , r i l_i,r_i li,ri，每个位置可以在这个范围中选择一个数，然后形成排列1到n的排列p。问p的所有情况的个数的奇偶性。

一个很妙的行列式转化，纯纯的线性代数。

首先，我们把p的总数表示出来。设矩阵 a i , j a_{i,j} ai,j，表示的是第 i 个 i个 i个位置的是否可以表示 j j j。则p的所有可能为 ∑ p Π i = 1 n a i , P i \sum\limits_{p}\mathop{\Pi}\limits_{i=1}^{n}a_{i,Pi} p∑i=1Πnai,Pi

其中p表示所有排列方式的总和。发现这是近似于矩阵a的行列式的值，不过去掉了其正负号。（在取模2的影响下，综合的加减没有影响）也就是说，只要我们求矩阵 a a a的行列式的值 m o d 2 mod\ 2 mod 2，就可以解出最终解。

根据矩阵的性质，矩阵的行列式 m o d 2 mod\ 2 mod 2为 0 0 0，等价于该矩阵 m o d 2 mod\ 2 mod 2下不可逆，也等价于该矩阵 m o d 2 mod\ 2 mod 2下的每一行的向量存在线性相关，也就是存在其中一个向量可以被其它向量表示。

至此，我们终于该题从看不懂的样子转化成了看起来像人话的子问题了。让我们解决这个子问题。每一个位置的向量 l i , r i l_i,r_i li,ri我们可以通过 r i − ( l i − 1 ) r_i-(l_{i}-1) ri−(li−1)表示，然后通过并查集判断出该向量能否通过其它向量表示。

int n,m;

int pre[1000005];

int find (int x){
    if(pre[x]==x)return x;
    else return pre[x]=find(pre[x]);
}

void icealsoheat(){
    
    cin>>n;

    for(int i=0;i<=n;i++)pre[i]=i;

    int ans=1;

    for(int i=1;i<=n;i++){
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        l=find(l-1);
        r=find(r);

        if(l==r){
            ans=0;
            // break;
        }
        else{
            pre[l]=r;
        }
    }

    cout<<ans<<"\n";

}