【新智元导读】最近，陶哲轩向广大网友和数学爱好者发起了挑战：大众数学爱好者、证明助理、自动化助手和 AI 联合起来，是否可以证明扩展几个数量级的数学问题？
想参加陶哲轩发起的「众包」数学研究项目吗？
机会来了！
AI 辅助证明数学研究，越来越可行了
在传统上，一个数学研究项目通常是由 1 到 5 名数学专家来完成的。
他们每个人都对项目的各方面都足够熟悉，可以验证彼此的贡献。
但如果要组织起更大规模的数学研究项目，特别是涉及公众贡献的项目，就麻烦多了。
原因在于，很难验证所有人的贡献。
2023 年底，陶哲轩宣布：将多项式 Freiman-Ruzsa 猜想的证明形式化的 Lean4 项目，在三周后取得了成功（图为最新状态）
要知道，在数学论证某个部分中的单个错误，可能就会使整个项目失败。
而且，以一个典型数学项目的复杂程度来说，期待具有本科数学教育水平的公众做出有意义的贡献，也是不现实的。
由此我们也可以知道，把 AI 工具纳入到数学研究项目中，也是极有挑战性的。
因为 AI 会生成看似合理但实际上毫无意义的论证，因此需要额外验证，才能将 AI 生成的部分添加到项目中。
好在，证明辅助语言（比如 Lean）提供了潜在的方法，能够克服这些障碍，并且让专业数学家、广大公众和 AI 工具的合作成为可能。
这种方法的前提是，项目可以以模块化的方式分解成更小的部分，这些部分可以在不必理解整个项目的情况下就能完成。
目前的例子主要有将现有数学结果形式化的项目（比如对 Marton 最近证明的 PFR 猜想的形式化）。
这些形式化工作，主要是通过众包方式由人类贡献者（包括专业数学家和感兴趣的公众）完成的。
同时，还有一些新兴的尝试，试图引入更多的自动化工具来完成，后者包括传统的自动定理证明器，以及更现代的基于 AI 的工具。
探索全新数学问题，成为可能
并且，陶哲轩还认为，这种全新范式不仅可以用于形式化现有的数学，还可以用来探索全新的数学！
过去，他曾经和继任组织过一个在线协作「Polymath」的项目，就是一个很好的例子。
不过，这个项目没有将证明辅助语言纳入工作流，贡献就必须由人类主持人管理和验证，这项工作非常耗时，也限制了将这些项目进一步扩大。
现在，陶哲轩希望，添加证明辅助语言能突破这个瓶颈。
而他尤其感兴趣的，就是是否可能使用这些现代工具同时探索一类数学问题，而不是一次只关注一两个问题。
本质上，这种方法是可模块化的重复任务，如果有适当的平台来严格协调所有贡献，众包和自动化工具可能会尤其有用。
如果用以前的方法，这种数学问题类型是无法扩大规模的。除非在多年时间里，随着个别论文慢慢地一次探索一个数据点，直到对这类问题获得合理的直觉。
此外，如果有一个大型问题数据集，可能有助于对各种自动化工具进行性能评估，并且比较不同工作流程的效率。
在今年 7 月，第五个忙碌海狸数被证实为是 47,176,870。
一些更早的众包计算项目，比如「互联网梅森素数大搜索」（Great Internet Mersenne Prime Search， GIMPS），在内在精神上跟这些项目也有些类似，尽管它们使用的是更传统的工作量证明机制，而不是证明辅助语言。
陶哲轩表示，很想知道是否还有其他现存的众包项目探索数学空间的例子，以及是否有可用的经验教训。
陶哲轩提出新项目
为此，陶哲轩自己也提出了一个项目，来进一步测试这一范式。
这个项目受到去年 MathOverflow 问题的启发。
不久后，陶哲轩在自己的 Mathstodon 上，对它进行了进一步讨论。
这个问题属于泛代数（universal algebra）领域，涉及对原群（magma）的简单等式理论的中等规模探索。
原群是一个配备了二元运算的集合 G。
最初，这个运算 o 没有附加任何额外的公理，因此原群本身是较为简单的结构。
当然，通过添加额外的公理，如恒等公理或结合律公理，我们可以得到更熟悉的数学对象，例如群、半群或幺半群。
在这里，我们感兴趣的是（无常数的）等式公理。这些公理涉及由运算 o 和 G 中的一个或多个未知变量构建的表达式的相等性。
此类公理的两个熟悉的例子，是交换律 x o y = y o x 和结合律 (x o y) o z = x o (y o z)。
其中 x，y，z 是原群 G 中的未知变量。
另一方面，（左）恒等公理 e o x = x 在这里不被视为等式公理（equational axiom），因为它涉及一个常数 e ∈ G。这类涉及常数的公理在本研究中不予讨论。
接下来，为了阐明自己发起的研究项目，陶哲轩介绍了十一个关于原群的等式公理例子。
这些等式公理是仅涉及原群运算和未知变量的等式------
因此，举例来说，等式 7 表示交换律公理，而等式 10 表示结合律公理。
常数公理等式 1 是最强的，因为它限制了原群 G 最多只能有一个元素；与之相反，自反公理等式 11 是最弱的，所有原群都满足这一公理。
接下来，我们就可以探讨这些公理之间的推导关系：哪些公理能推出哪些公理？
例如，等式 1 可以推导出这个列表中的所有其他公理，而这些公理又可以推导出等式 11。
等式 8 作为特殊情况可以推导出等式 9，而等式 9 又作为特殊情况可以推导出等式 10。
这些公理之间完整的推导关系可以用以下哈斯图（Hasse diagram）来描述：
这一结果特别回答了数学问答网站 MathOverflow 上的一个问题：是否存在介于常数公理（等式 1）和结合律公理（等式 10）之间的等式公理（equational axioms）。
值得注意的是，这里大多数的蕴含关系都很容易证明。然而，其中存在一个非平凡的蕴含关系。
这个关系是在一个与前述问题密切相关的 MathOverflow 帖子回答中得到的：
命题 1：等式 4 蕴含等式 7
证明：假设 G 满足等式 4，因此
对所有 x,y ∈ G 成立。
特别是，当 y = x o x 时，可以得出 (x o x) o (x o x) = (x o x) o x。
再次应用（1），可以得出 x o x 是幂等的：
现在，在（1）中将 x 替换为 x o x，然后使用（2），可以得出 (x o x) o y = y o (x o x)。
尤其，x o x 与 y o y 是可交换的：
此外，通过两次应用（1），可以得到 (x o x) o (y o y) = (y o y) o x = x o y。
因此，（3）就可以简化为 x o y = y o x，这就是等式 7。
上述论证过程的形式化，可以在 Lean 中找到。
然而值得注意的是，确定一组等式公理是否决定另一组等式公理的一般问题，是不可判定的。
因此，这里的情况有点类似于「忙碌海狸」挑战，即在某个复杂点之后，我们必然会遇到不可判定的问题；但在达到这个阈值之前，我们仍有希望发现有趣的问题和现象。
上面的哈斯图不仅断言了列出的等式公理之间的蕴含关系，还断言了公理之间的非蕴含关系。
例如，如图所示，交换公理等式 7 并不蕴含等式 4 公理 (x + x) + y = y + x。
要证明这一点，只需找出一个满足交换公理等式 7 但不满足等式 4 公理的原群的例子。
比如，在这种情况下，我们可以选择自然数集 N，其运算为 x o y := x+y。
更一般地，该图断言以下非蕴含关系，这些关系（连同已指出的蕴含关系）完整描述了这十一个公理之间蕴含关系的偏序集：
在此，陶哲轩邀请读者提出反例，来完成其中的部分证明。
最难找到的反例，就是等式 9 无法推出等式 8 了。
用 Lean 可以给出解决方案。
另外，陶哲轩还提供了一个 GitHub 存储库，包含了所有上述包含和反包含关系的 Lean 证明。
可以看出，仅仅计算 11 个等式的哈斯图就已经有些繁琐了。
而陶哲轩提出的项目，是尝试将这个哈斯图扩展几个数量级，覆盖更大范围的等式集。
他提议的集合是ε，即最多使用原群运算 o 四次的等式集，直到重新标记和等式的自反性和对称性公理。
这包括了上述十一个等式，但还有更多。
还有多少呢？
回想一下，卡特兰数 C_n 是用二元运算 o（应用于 n+1 个占位符变量）形成表达式的方法数；而给定 m 个占位符变量的字符串，贝尔数 B_m 是为这些变量分配名称的方法数（可以重新标记），其中允许某些占位符被分配相同的名称。
因此，忽略对称性，最多涉及四次运算的等式数量是
左侧和右侧相同的等式数量是
这些都等同于自反公理（等式 11）。
剩下的 9118 个等式由于等式的对称性成对出现，所以ε的总大小是
陶哲轩表示，自己还没有生成这样恒等式的完整列表，但他猜想，使用 Python 就可以轻松完成。
使用 AI 工具，应该能生成大部分所需的代码。
他表示，自己完全不清楚ε的几何结构会是什么样子。
大多数等式会彼此不可比较吗？它会分为「强」公理和「弱」公理吗？
现在，陶哲轩的留言区，已经有了几十条评论。
感兴趣的读者，陶哲轩也向你发出了邀请。
参考资料：