线性代数书中求解齐次线性方程组、非齐次线性方程组方法的特点和缺陷(附实例讲解)

目录

一、克拉默法则

[1. 方法概述](#1. 方法概述)

[2. 例16(1) P45](#2. 例16(1) P45)

[3. 特点](#3. 特点)

[(1) 只适用于系数矩阵是方阵](#(1) 只适用于系数矩阵是方阵)

[(2) 只适用于行列式非零](#(2) 只适用于行列式非零)

[(3) 只适用于唯一解的情况](#(3) 只适用于唯一解的情况)

[(4) 只适用于非齐次线性方程组](#(4) 只适用于非齐次线性方程组)

二、逆矩阵

[1. 方法概述](#1. 方法概述)

[2. 例16(2) P45](#2. 例16(2) P45)

[3. 特点](#3. 特点)

[(1) 只适用于系数矩阵必须是方阵且可逆](#(1) 只适用于系数矩阵必须是方阵且可逆)

[(2) 只适用于唯一解的情况](#(2) 只适用于唯一解的情况)

[(3) 只适用于非齐次线性方程组](#(3) 只适用于非齐次线性方程组)

三、高斯-约旦消元法

[1. 方法概述](#1. 方法概述)

[2. 例14 P65](#2. 例14 P65)

[3. 特点](#3. 特点)

[(1) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组](#(1) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组)

四、高斯-约旦消元法+定理3

[1. 定理3](#1. 定理3)

[​2. 方法概述](#2. 方法概述)

[3. 例13(解法一) P75](#3. 例13(解法一) P75)

[3. 特点](#3. 特点)

[(1) 适用于系数或者常数中含有未知数的情况](#(1) 适用于系数或者常数中含有未知数的情况)

[(2) 可根据定理3判断解的情况](#(2) 可根据定理3判断解的情况)

[(3) 对于无穷多解的情况,可给出通解](#(3) 对于无穷多解的情况,可给出通解)

[(4) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组](#(4) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组)

五、行列式法+定理3

[1. 方法概述](#1. 方法概述)

[2. 例13(解法二) P75](#2. 例13(解法二) P75)

[3. 特点](#3. 特点)

[(1) 只适用于系数矩阵为方阵的情况](#(1) 只适用于系数矩阵为方阵的情况)

[(2) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组](#(2) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组)

[(3) 先得出惟一解的情况,再求得无解和无穷多解的情况](#(3) 先得出惟一解的情况,再求得无解和无穷多解的情况)

参考资料


方法不分先后,按书中顺序给出:

首先,书上对于齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解题方法有以下:

克拉默法则

逆矩阵

高斯-约旦消元法

高斯-约旦消元法+定理3

行列式法+定理3

一、克拉默法则

1. 方法概述

2. 例16(1) P45

3. 特点

(1) 只适用于系数矩阵是方阵

因为克拉默法则先要判断系数矩阵的行列式是否为0,行列式必须是方阵,所以说如果系数矩阵不是方阵,无法适用克拉默法则。

(2) 只适用于行列式非零

(3) 只适用于唯一解的情况

(4) 只适用于非齐次线性方程组

克拉默法则需要用常数列替换系数方阵列,如果常数项全为0,那么替换得到的行列式全为0,再除以|A|得到的解全是0,无意义。

二、逆矩阵

1. 方法概述

2. 例16(2) P45

3. 特点

(1) 只适用于系数矩阵必须是方阵且可逆

因为先要用|A|是否为0来判断A是否可逆,才能进行左乘A逆的操作。

(2) 只适用于唯一解的情况

由于可逆矩阵的唯一性

(3) 只适用于非齐次线性方程组

如果常数项矩阵全为0,求出来的全为0解,无意义。

三、高斯-约旦消元法

1. 方法概述

2. 例14 P65

3. 特点

(1) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组

四、高斯-约旦消元法+定理3

1. 定理3

  1. 方法概述

高斯-约旦消元法化简增广矩阵(A,b),定理3判断解的情况

3. 例13(解法一) P75

虽然解法一中要求的是化为行阶梯形矩阵,但就我做过的题来看,能化到多简就化到简。

3. 特点

(1) 适用于系数或者常数中含有未知数的情况

(2) 可根据定理3判断解的情况

(3) 对于无穷多解的情况,可给出通解

**(4)**同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组

五、行列式法+定理3

1. 方法概述

用系数矩阵的方阵的行列式不等于0的情况求出未知数的解,系数方阵的行列式不等于0的情况本身就是惟一解的情况(逆矩阵的唯一性),其余的情况就是无解和无穷多解,结合定理3验证即可。

2. 例13(解法二) P75

3. 特点

(1) 只适用于系数矩阵为方阵的情况

(2) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组

(3) 先得出惟一解的情况,再求得无解和无穷多解的情况

参考资料

同济大学数学系. 工程数学 线性代数 第六版. 高等教育出版社. 2014
高斯-若尔当消元法_百度百科

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