【线性代数】【第一章】行列式习题

文章目录

• [一. 重要定理](#一. 重要定理)
• • [1. 代数余子式](#1. 代数余子式)
  • [2. 主要公式](#2. 主要公式)
  • [3. 方阵的行列式](#3. 方阵的行列式)
  • [4. 克拉默法则](#4. 克拉默法则)
• [三. 典型例题](#三. 典型例题)
• • [1. 行列式计算](#1. 行列式计算)
  • • [1.1. 数字型行列式](#1.1. 数字型行列式)
    • • 题型一：代数余子式降阶、拉普拉斯
      • 题型二：逐行消元，化为上三角式
    • 1.2.抽象行列式（考察行列式的性质）
    • • [题型一. |A+B| 型的计算](#题型一. |A+B| 型的计算)
      • [题型二. 使用特征值，使用相似](#题型二. 使用特征值，使用相似)
      • [题型三. 矩阵运算](#题型三. 矩阵运算)
  • [2. 行列式的应用](#2. 行列式的应用)
  • • [2.1. 特征多项式](#2.1. 特征多项式)
    • [2.2. 克拉默法则](#2.2. 克拉默法则)
    • [2.3. 矩阵秩的概念](#2.3. 矩阵秩的概念)
  • [3. 关于|A|=0的判断](#3. 关于|A|=0的判断)
  • [4. 代数余子式之和](#4. 代数余子式之和)

一. 重要定理

1. 代数余子式

代数余子式之和

代数余子式怎么求：

不同行同列的代数余子式=0

2. 主要公式

主对角线行列式
副对角线行列式
拉普拉斯展开式
范德蒙

3. 方阵的行列式

4. 克拉默法则

三. 典型例题

1. 行列式计算

1.1. 数字型行列式

题型一：代数余子式降阶、拉普拉斯

1. 通过代数余子式降阶求行列式

代数余子式降阶

代数余子式降阶+对角线公式。

拉普拉斯：

先换行在换列，然后再使用拉普拉斯

消元、代数余子式、局部下三角。

简化逻辑：消元。

（看到局部行列式）逐行相加消元。

去除一边的爪。

题型二：逐行消元，化为上三角式

逐行（上一行的结果用于下一行）消元，变成三角式行列式。

逐行消元，化为上三角式。

代数余子式化简，然后观察x三次方的系数。

1.2.抽象行列式（考察行列式的性质）

题型一. |A+B| 型的计算

利用行列式的性质：提行列式系数 、行列式拆开

题型二. 使用特征值，使用相似

题型三. 矩阵运算

2. 行列式的应用

2.1. 特征多项式

凑因式是求解本题型最佳方式。

简化成上三角，进而凑因式。

找公因式是做题思路

2.2. 克拉默法则

直接公式。

化成齐次方程组、非零矩阵=>非零解，A不是满秩。

2.3. 矩阵秩的概念

3. 关于|A|=0的判断

4. 代数余子式之和

1. 同行不同列，两个不同的列，代数余子式相乘=0。
2. 因为代数余子式与第三行无关，所以重新构建第三行。

方法1：直接求各个元素的代数余子式

方法2：分块矩阵求逆

求逆：初等变换法求逆A:E+分块求逆的公式。