文章目录
- [一. 重要定理](#一. 重要定理)
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- [1. 代数余子式](#1. 代数余子式)
- [2. 主要公式](#2. 主要公式)
- [3. 方阵的行列式](#3. 方阵的行列式)
- [4. 克拉默法则](#4. 克拉默法则)
- [三. 典型例题](#三. 典型例题)
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- [1. 行列式计算](#1. 行列式计算)
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- [1.1. 数字型行列式](#1.1. 数字型行列式)
- 1.2.抽象行列式（考察行列式的性质）
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- [题型一. |A+B| 型的计算](#题型一. |A+B| 型的计算)
- [题型二. 使用特征值，使用相似](#题型二. 使用特征值，使用相似)
- [题型三. 矩阵运算](#题型三. 矩阵运算)
- [2. 行列式的应用](#2. 行列式的应用)
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- [2.1. 特征多项式](#2.1. 特征多项式)
- [2.2. 克拉默法则](#2.2. 克拉默法则)
- [2.3. 矩阵秩的概念](#2.3. 矩阵秩的概念)
- [3. 关于|A|=0的判断](#3. 关于|A|=0的判断)
- [4. 代数余子式之和](#4. 代数余子式之和)
一. 重要定理
1. 代数余子式
代数余子式之和
代数余子式怎么求：
不同行同列的代数余子式=0
2. 主要公式
| 主对角线行列式 |  |
| 副对角线行列式 |  |
| 拉普拉斯展开式 |  |
| 范德蒙 |  |
3. 方阵的行列式
4. 克拉默法则
三. 典型例题
1. 行列式计算
1.1. 数字型行列式
题型一：代数余子式降阶、拉普拉斯
- 通过代数余子式降阶求行列式
代数余子式降阶
代数余子式降阶+对角线公式。
拉普拉斯：
先换行在换列，然后再使用拉普拉斯
消元、代数余子式、局部下三角。
简化逻辑：消元。
（看到局部行列式）逐行相加消元。
去除一边的爪。
题型二：逐行消元，化为上三角式
逐行（上一行的结果用于下一行）消元，变成三角式行列式。
逐行消元，化为上三角式。
代数余子式化简，然后观察x三次方的系数。
1.2.抽象行列式（考察行列式的性质）
题型一. |A+B| 型的计算
利用行列式的性质：提行列式系数 、行列式拆开
题型二. 使用特征值，使用相似
题型三. 矩阵运算
2. 行列式的应用
2.1. 特征多项式
凑因式是求解本题型最佳方式。
简化成上三角，进而凑因式。
找公因式是做题思路
2.2. 克拉默法则
直接公式。
化成齐次方程组、非零矩阵=>非零解，A不是满秩。
2.3. 矩阵秩的概念
3. 关于|A|=0的判断
4. 代数余子式之和
- 同行不同列，两个不同的列，代数余子式相乘=0。
- 因为代数余子式与第三行无关，所以重新构建第三行。
方法1：直接求各个元素的代数余子式
方法2：分块矩阵求逆
求逆：初等变换法求逆[A:E]+分块求逆的公式。
