什么是AVL树
AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的
左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，
通过控制⾼度差去控制平衡。
简单的来说AVL树就是可以控制自身高度差的搜索二叉树
AVL树通过什么来控制平衡
AVL树实现平衡这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何
结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，
AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，
就像⼀个指向标⼀样。通过平衡因子我们可以更加直观的去判断AVL树到底是不是平衡的
为什么要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢 0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0
我们可以来画图看看
AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 ，那么增删查改的效率也可
以控制在 ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。避免了像搜索二叉树出现的一些极端情况，比如说一直插入一个比根节点小的树，就一直往左边插入，这样搜索效率就会变得很差
AVL树的插入
AVL树大致可以分为一下插入过程
1.插入和搜索二叉树一样，都是通过插入节点和当前节点进行比较小的往左走，大的往右走。
-
新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新
从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可
以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
-
更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
-
更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树
的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。
平衡因子的更新
更新规则
平衡因子 = 右子树的高度-左子树的高度
只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦
插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在
parent的左⼦树，parent平衡因⼦--
parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新
更新结果
这里要分三种情况
如果更新完成之后parent是0则说明更新前子树的高度是-1或者1，说明原来的子树不平衡，一边高一边低，更新后变成0说明新插入的节点插入在低的那一边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会
影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说
明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所
在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上
更新
更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说
明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼
了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把
parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不
需要继续往上更新，插⼊结束。
这个旋转等下会详细说明，下面来看看AVL树的插入的实现代码
AVL树的插入
在看插入之前，我们先看看AVL树的每个节点的构造
cpp
template<class key,class value>
struct avl_node
{
int _bf;
pair<key, value>_kv;
avl_node<key, value>* _left;
avl_node<key, value>* _right;
avl_node<key, value>* _pre_node;
avl_node(const pair<key,value>& kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_bf(0)
,_pre_node(nullptr)
{}
};这里我们有三个指针，一个指向当前节点的左边，一个指向当前节点的右边，一个指向当前节点的上一个节点（父节点），然后我们用了一个pair键值对来存放key,value的值
cpp
template<class key,class value>
class AVLtree
{
typedef avl_node<key, value> node;
public:
AVLtree()
:_root(nullptr)
{}
bool insert(const pair<key, value>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new node(kv);
return true;
}
node* cur = _root;
node* parent = nullptr;
while (cur != nullptr)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if(cur->_kv.first<kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_pre_node = parent;
while (parent != nullptr)//回溯跟新
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;//插入在左边--
}
else
{
parent->_bf++;//插入在右边++
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//快不平衡了
{
cur = parent;
parent = parent->_pre_node;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)//更新节点
{
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
rotetR(parent);//这些调整下面会详细说明
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
rotetL(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
rotetRL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
rotetLR(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}这里插入逻辑还是和搜索二叉树一样，我们依次比较大小，当找到位置的时候，就需要向上更新平衡因子
好了接下来来说说旋转
AVL树的旋转
旋转的规则
-
保持搜索树的规则**(这是很重要的)**
-
让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
rotetR右单旋转
首先我们来画图看看，什么情况需要进行右旋转
这里我们用a,b,c来代表一个抽象的子树，这样的好处是可以一张图片概括所有的右单旋转的所有场景
下面就需要开始旋转了
具体步骤说明
在b⼦树中插⼊⼀个新结点，导致b⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平
衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要
往右边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核⼼步骤，因为5 < c⼦树的值 < 10，将c变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新
的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2(加2是把5和10加进去算的），符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
下面来带入具体的数字来说明一下
情况1插入之前 a/b/c的高度是0
情况2插入之前a/b/c的高度是1
好了下面我们来看看代码是怎么实现的
右旋代码
这里面其实有很多的坑，不要看着简单，实际上要注意的点有点多，首先我们需要记录三个节点第一个是subl节点（以不平衡的节点为主的左边节点），然后sublr节点也就是subl的右边节点，pparent也就是（以不平衡节点为主的上一个节点)
其实不难发现旋转时要动的节点就那三个
cpp
void rotetR(node* parent)
{
node* subl = parent->_left;
node* sublr = subl->_right;
node* Pparent = parent->_pre_node;
首先我们让parent的左边指向sublr
parent->_left = sublr;
为什么这里需要判断一下sublr是不是为空呢，这是因为有可能出现一种情况一直插入的
比根小，一直往左边插入，这时候就会形成一条像"/"形状的二叉树，这时sublr是空的，所以需要判断一下
if (sublr != nullptr)
{
不为空就sublr的上一个节点就是parent
sublr->_pre_node = parent;
}
旋转完成之后subl就是新的根了，需要把右边->panrent
subl->_right = parent;
parent->_pre_node = subl;同理，向上更新
到这里就旋转完成了
下面就需要判断旋转的点到底是不是root节点
if (parent == _root)
{
_root = subl;
subl->_pre_node = nullptr;如果是就把上一个节点置为空
}
else
{
这里就体现了我们pparent的用法了
if (Pparent->_left == parent)
{
Pparent->_left = subl;
}
else
{
Pparent->_right = subl;
}
subl->_pre_node = Pparent;
}
更新节点完成之后更新相应改变的平衡因子
subl->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}这就是右旋
左旋代码
同理右旋
cpp
void rotetL(node* parent)
{
node* subr = parent->_right;
node* subrl = subr->_left;
node* pparent = parent->_pre_node;
parent->_right = subrl;
if (subrl != nullptr)
{
subrl->_pre_node = parent;
}
subr->_left = parent;
parent->_pre_node = subr;
if (parent == _root)
{
_root = subr;
subr->_pre_node = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = subr;
}
else
{
pparent->_right = subr;
}
subr->_pre_node = pparent;
}
subr->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}左右双旋
通过下面的图可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变
成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边
⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边
⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树
这棵树就平衡了。
下面是a/b/c高度是0的情况
我们来看看旋转的过程
这样这颗树就平衡了
现在我们来看看a/b/c高度是1的情况
有了以上详细的例子我们来看看抽象的把a/b/c抽象成一个子树
下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，
引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引
发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋
转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。
像下面这样
首先我们讨论情况1
旋转完成之后，我们发现10的平衡因子是1(左边低右边高)
再来看看情况2
这时5的平衡因子是-1（右边低左边高）
最后一种情况类似于上面这种，就不做过多解释了
下面来看看代码
cpp
void rotetLR(node* parent)
{
node* subl = parent->_left;
node* sublr = subl->_right;
int bf = sublr->_bf;
rotetL(parent->_left);
rotetR(parent);
if (bf == 0)//对应第三种
{
parent->_bf = 0;
subl->_bf = 0;
sublr->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//对应第一种
{
subl->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
sublr->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)//对应第二种
{
parent->_bf = 1;
subl->_bf = 0;
sublr->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}右左双旋
逻辑和上面一样
cpp
void rotetRL(node* parent)
{
node* subr = parent->_right;
node* subrl = subr->_left;
int bf = subrl->_bf;
rotetR(parent->_right);
rotetL(parent);
if (bf == 1)
{
subr->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subrl->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subrl->_bf = 0;
subr->_bf = 1;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subrl->_bf = 0;
subr->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}AVL树的中序遍历
和普通搜索二叉树一样
cpp
void _InOrder(node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}怎么判断是不是AVL树
这里可以采用递归的方法来判断
先从根节点去递归检查高度，用高度差和平衡因子来检查，以此类推
cpp
int heigh(node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int lef = heigh(root->_left);
int rig = heigh(root->_right);
return lef > rig ? lef + 1 : rig + 1;
}
bool cheak_AVL(node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int lef = heigh(root->_left);
int rig = heigh(root->_right);
int diff =rig-lef;
if (abs(diff) >= 2)
{
printf("高度异常");
return false;
}
if (root->_bf != diff)
{
printf("平衡因子异常");
return false;
}
return cheak_AVL(root->_left) && cheak_AVL(root->_right);
}源码
cpp
#pragma once
#include <utility>
#include<assert.h>
# include<iostream>
using namespace std;
template<class key,class value>
struct avl_node
{
int _bf;
pair<key, value>_kv;
avl_node<key, value>* _left;
avl_node<key, value>* _right;
avl_node<key, value>* _pre_node;
avl_node(const pair<key,value>& kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_bf(0)
,_pre_node(nullptr)
{}
};
template<class key,class value>
class AVLtree
{
typedef avl_node<key, value> node;
public:
AVLtree()
:_root(nullptr)
{}
bool insert(const pair<key, value>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new node(kv);
return true;
}
node* cur = _root;
node* parent = nullptr;
while (cur != nullptr)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if(cur->_kv.first<kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_pre_node = parent;
while (parent != nullptr)//回溯
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_pre_node;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)//更新节点
{
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
rotetR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
rotetL(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
rotetRL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
rotetLR(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
void rotetR(node* parent)
{
node* subl = parent->_left;
node* sublr = subl->_right;
node* Pparent = parent->_pre_node;
parent->_left = sublr;
if (sublr != nullptr)
{
sublr->_pre_node = parent;
}
subl->_right = parent;
parent->_pre_node = subl;
if (parent == _root)
{
_root = subl;
subl->_pre_node = nullptr;
}
else
{
if (Pparent->_left == parent)
{
Pparent->_left = subl;
}
else
{
Pparent->_right = subl;
}
subl->_pre_node = Pparent;
}
subl->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
void rotetL(node* parent)
{
node* subr = parent->_right;
node* subrl = subr->_left;
node* pparent = parent->_pre_node;
parent->_right = subrl;
if (subrl != nullptr)
{
subrl->_pre_node = parent;
}
subr->_left = parent;
parent->_pre_node = subr;
if (parent == _root)
{
_root = subr;
subr->_pre_node = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = subr;
}
else
{
pparent->_right = subr;
}
subr->_pre_node = pparent;
}
subr->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
void rotetLR(node* parent)
{
node* subl = parent->_left;
node* sublr = subl->_right;
int bf = sublr->_bf;
rotetL(parent->_left);
rotetR(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subl->_bf = 0;
sublr->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subl->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
sublr->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subl->_bf = 0;
sublr->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void rotetRL(node* parent)
{
node* subr = parent->_right;
node* subrl = subr->_left;
int bf = subrl->_bf;
rotetR(parent->_right);
rotetL(parent);
if (bf == 1)
{
subr->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subrl->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subrl->_bf = 0;
subr->_bf = 1;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subrl->_bf = 0;
subr->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void inoder()
{
_InOrder(_root);
}
bool ck()
{
return cheak_AVL(_root);
}
private:
void _InOrder(node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
int heigh(node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int lef = heigh(root->_left);
int rig = heigh(root->_right);
return lef > rig ? lef + 1 : rig + 1;
}
bool cheak_AVL(node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int lef = heigh(root->_left);
int rig = heigh(root->_right);
int diff =rig-lef;
if (abs(diff) >= 2)
{
printf("高度异常");
return false;
}
if (root->_bf != diff)
{
printf("平衡因子异常");
return false;
}
return cheak_AVL(root->_left) && cheak_AVL(root->_right);
}
node* _root;
};