Leetcode 不同路径

重要的一点在于:只能向右或向下移动。

这段代码的算法思想是使用**动态规划(Dynamic Programming, DP)**来解决问题。其核心思想是通过将问题分解成更小的子问题,并用一个二维数组来保存这些子问题的解,从而避免重复计算,达到优化时间复杂度的目的。

算法步骤:

  1. 创建二维数组 dp

    • dp[i][j] 表示从起点(左上角)走到网格中位置 (i, j) 的不同路径数量。
    • 首先,定义一个大小为 m x n 的二维数组 dp,用于存储每个位置的路径数量。
  2. 初始化第一行和第一列:

    • 对于第一行的每个位置 (0, j),机器人只能从左侧位置走过来,因此到达这些位置的路径数量只能为 1。
    • 同理,对于第一列的每个位置 (i, 0),机器人只能从上方位置走过来,因此到达这些位置的路径数量也只能为 1。
    • 这一步初始化了 dp 数组的边界条件,表示当只能往一个方向(右或下)走时的情况。
  3. 填充 dp 数组:

    • 对于网格中任意位置 (i, j),机器人可以从上方 (i-1, j) 或左侧 (i, j-1) 走过来。
    • 因此,当前位置的路径数量为其上方位置和左侧位置的路径数量之和,即:
      d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j − 1 ] dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]
    • 通过这个递推公式,逐步计算出每个位置的路径数量。
  4. 返回结果:

    • 最终的结果是右下角位置 dp[m-1][n-1] 的值,它表示从左上角到右下角的不同路径数量。

算法思想简要总结:

  • 动态规划的核心思想是将一个大问题拆解成若干小问题,利用之前已经计算过的子问题的解来构建新的解,从而避免了重复计算。
  • 在本题中,利用二维数组 dp 记录每一步的结果,通过从上到下、从左到右的遍历,逐步得到最终的解。

时间复杂度与空间复杂度:

  • 时间复杂度O(m * n),我们需要遍历整个 m x n 的网格,计算每个位置的路径数量。
  • 空间复杂度O(m * n),我们使用了一个 m x n 的二维数组来存储每个位置的路径数量。

这个算法非常高效,通过动态规划将问题的复杂度降低到了一个可以接受的范围。如果你对任何细节还有疑问,随时告诉我!

java 复制代码
class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        for(int i = 0; i < m; ++i) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < m; ++i) {
            for(int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}
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