线性代数基础知识

行列式基础知识

一、行列式的定义

行列式是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A |。行列式可以看作是一般欧氏空间中有向面积或体积概念的推广。在n维欧氏空间中，行列式描述了一个线性变换对"体积"的影响。

二、排序

• n阶排列：由1, 2, ..., n这n个不同的自然数按一定顺序排成的一个有序数组称为一个n阶排列。例如，123、231、312等都是3阶排列。
• 自然顺序：按照递增顺序排列的n阶排列，即123...n，称为自然顺序排列。

三、逆序与逆序数

• 逆序：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这两个数构成一个逆序。
• 逆序数：一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。逆序数是判断排列奇偶性的关键。

四、奇排列与偶排列

• 奇排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列。
• 偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列。自然顺序排列是一个偶排列，因为其逆序数为0。

五、对换与排列的奇偶性

• 对换：把一个排列中某两个数的位置互换，其余的数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为一个对换。
• 对换与奇偶性：定理指出，对换会改变排列的奇偶性。即，奇排列经过一次对换变成偶排列，偶排列经过一次对换变成奇排列。

六、行列式的性质

1. 行列式与其转置行列式相等

   • 性质说明：对于任意n阶方阵A，其行列式det(A)等于其转置矩阵AT)。
   • 重要性：这一性质表明行列式的计算与矩阵的行和列是对称的。

2. 行列式对行（列）的线性性质

   • 性质说明：行列式关于其行（或列）具有线性性质，即如果某一行（或列）是两组数的和，那么行列式可以拆分为两个行列式之和。
   • 重要性：这一性质是行列式计算中常用的拆分法的基础。

3. 交换行（列）变号

   • 性质说明：如果交换行列式中的两行（或列），行列式的值将改变符号。
   • 重要性：这一性质表明行列式的计算对行（列）的顺序是敏感的。

4. 公因子提取

   • 性质说明：行列式中的某一行（或列）的公因子可以提到行列式符号的外边来。
   • 重要性：这一性质简化了行列式的计算过程，特别是当行列式中有大量公因子时。

5. 零行（列）性质

   • 性质说明：如果行列式中有一行（或列）全为零，则行列式的值为零。
   • 重要性：这一性质表明行列式的计算与矩阵的秩有密切关系。

6. 比例行（列）性质

   • 性质说明：如果行列式中有两行（或列）成比例，则行列式的值为零。
   • 重要性：这一性质是判断行列式是否为零的快速方法。

7. 倍加行（列）不变性

   • 性质说明：将行列式某一行的元素乘以一个数后加到另一行的对应元素上，行列式的值不变。
   • 重要性：这一性质是行列式计算中常用的初等变换之一，有助于将行列式化简为更易计算的形式。

8. 行列式的值等于其任意一行（列）的代数余子式的和

   • 性质说明：行列式的值等于其任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
   • 重要性：这一性质提供了行列式计算的另一种方法，即按行（列）展开法。

9. 行列式的值等于其特征值的乘积

   • 性质说明：对于n阶方阵A，其行列式的值等于A的所有特征值的乘积。
   • 重要性：这一性质建立了行列式与矩阵特征值之间的联系，有助于通过特征值来求解行列式。

10. 三角矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积

    • 性质说明：对于上三角矩阵或下三角矩阵，其行列式的值等于其主对角线元素的乘积。
    • 重要性：这一性质简化了三角矩阵行列式的计算过程。

七、代数余子式

在n阶行列式中，把元素aij（其中i为行号，j为列号）所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij。将余子式Mij再乘以-1的i+j次幂，即(-1)^(i+j)Mij，所得的结果称为元素aij的代数余子式，记作Aij。

1. 与元素本身无关：代数余子式只与元素在行列式中的位置（即行号和列号）有关，而与元素本身的数值无关。这一性质是代数余子式定义的基础。
2. 计算行列式：行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分别与其所对应的代数余子式乘积之和。这一性质是拉普拉斯展开定理的基础，也是计算行列式的一种有效方法。
3. 符号规律：代数余子式的符号由元素的位置决定，具体为(-1)^(i+j)。这意味着，当行号与列号之和为偶数时，代数余子式为正；当行号与列号之和为奇数时，代数余子式为负。

八、克莱姆法则

1.定义与背景

• 定义：克莱姆法则是用于求解变量和方程数目相等的线性方程组的一种方法。它利用系数矩阵的行列式来计算方程组的解。
• 背景：该法则由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）于1750年首次发表在他的《线性代数分析导言》中。克莱姆法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的基本定理。

2.适用条件

• 克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组。
• 当方程组的方程个数与未知数的个数不一致，或者方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。

3.具体内容

对于n元线性方程组：

若系数矩阵A的行列式D不等于0，则方程组有唯一解，其解为：

其中，Di是将D中第i列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。

矩阵基础知识

高等代数中的矩阵是一个核心概念，它不仅是线性代数的主要研究对象，也是数学研究和应用中的重要工具。以下是对高等代数中矩阵的详细解析：

一、矩阵的定义与基本性质

• 定义：矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，通常用大写字母表示，如A、B、C等。矩阵中的元素则用小写字母表示，如a_ij，其中i和j分别代表元素的行号和列号。
• 基本性质：矩阵具有行和列的结构，其运算遵循特定的规则，如加法、减法、数乘、转置、共轭等。矩阵的运算性质包括交换律、结合律、分配律等。

二、矩阵与行列式的区别

1.定义上的区别

• 矩阵：是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早由19世纪英国数学家凯利提出。矩阵是一个表格形式的数据结构，用于表示线性方程组、线性变换等。矩阵的行数和列数可以不同，因此有长方形矩阵和正方形矩阵（即方阵）之分。矩阵中的元素可以是任意实数或复数。
• 行列式：是一个函数，其定义域为方阵（即行数和列数相等的矩阵），取值为一个标量（即一个数）。行列式可以看作是对矩阵进行特定运算后得到的一个数值结果，它描述了矩阵所表示的线性变换对几何图形面积或体积的影响。

2.性质上的区别

• 矩阵：具有多种性质，如矩阵的加法、减法、数乘、乘法等运算规则。矩阵的秩表示矩阵中最大的非零子式的阶数，是矩阵的一个重要属性。矩阵还可以进行转置、求逆等操作。
• 行列式：具有独特的性质，如行列式的值与其转置行列式的值相等；行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零；行列式中两行（列）相等或对应成比例，则行列式为零；行列式中某行（列）元素有公因子k（k≠0），则k可提出行列式外等。

3.运算上的区别

• 矩阵：运算包括加法、减法（要求同型矩阵）、数乘（数乘以矩阵的每个元素）、乘法（需满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数）等。矩阵的运算结果仍然是矩阵。
• 行列式：运算主要是求解其值，可以通过展开法、递归法、代数余子式法等方法实现。行列式的运算结果是一个标量（即一个数）。

三、矩阵的类型与特殊矩阵

1.矩阵的类型

• 根据形状划分

  • 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
  • 长方形矩阵：行数和列数不相等的矩阵称为长方形矩阵。
  • 行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵称为行矩阵，也称为行向量。
  • 列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵称为列矩阵，也称为列向量。

• 根据元素性质划分

  • 实矩阵：元素为实数的矩阵称为实矩阵。
  • 复矩阵：元素为复数的矩阵称为复矩阵。

2.、特殊矩阵

特殊矩阵是指具有某种特殊性质或结构的矩阵，它们在数学、物理学、工程学等领域中有着重要的应用。以下是一些常见的特殊矩阵：

• 对角矩阵

  • 定义：除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵称为对角矩阵。对角矩阵可以表示为diag(a1, a2, ..., an)，其中a1, a2, ..., an是对角线上的元素。
  • 性质：对角矩阵的运算性质非常简单，只需对主对角线上的元素进行相应的运算即可。
  • 应用：对角矩阵在矩阵运算、线性变换、特征值分解等方面有广泛应用。

• 三角矩阵

  • 定义：所有非零元素都位于主对角线及其下方（或上方）的矩阵称为下（或上）三角矩阵。
  • 性质：三角矩阵的行列式等于主对角线上元素的乘积，逆矩阵可以通过主对角线上的元素和次对角线上的元素的代数余子式来求解。
  • 应用：三角矩阵在矩阵运算、线性方程组求解等方面有广泛应用。

• 单位矩阵

  • 定义：主对角线上的元素都为1，其他元素都为0的矩阵称为单位矩阵，通常用I或E表示。
  • 性质：单位矩阵是矩阵乘法的单位元，即任何矩阵与单位矩阵相乘都等于它本身。
  • 应用：单位矩阵在矩阵运算、线性变换、坐标系转换等方面有广泛应用。

• 零矩阵

  • 定义：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵。
  • 性质：零矩阵是矩阵加法的零元，即任何矩阵与零矩阵相加都等于它本身。
  • 应用：零矩阵在矩阵运算、线性方程组求解等方面有广泛应用。

• 对称矩阵

  • 定义：元素关于主对角线对称的矩阵称为对称矩阵，即a_ij = a_ji。
  • 性质：对称矩阵的特征值都是实数，且其特征向量可以正交化。
  • 应用：对称矩阵在二次型、最优化问题、图像处理等方面有广泛应用。

• 正交矩阵

  • 定义：行向量和列向量都是单位向量且两两正交的矩阵称为正交矩阵。
  • 性质：正交矩阵的行列式为1或-1，逆矩阵等于其转置矩阵。
  • 应用：正交矩阵在矩阵分解、数据压缩、图像处理等方面有广泛应用。

• 稀疏矩阵

  • 定义：非零元素个数极少的矩阵称为稀疏矩阵。
  • 性质：稀疏矩阵在存储和计算上具有很大的优势，可以大大减少存储空间和计算时间。
  • 应用：稀疏矩阵在网络分析、数值分析、图论等领域有广泛应用。

四、矩阵运算

1.矩阵的基本运算

1. 加法与减法

   • 规则：只有当两个矩阵的行数和列数都相同时，才能进行加法或减法运算。运算时，对应位置的元素相加减。
   • 示例：设有矩阵A和B，均为2x2矩阵，则A+B（或A-B）的结果也是一个2x2矩阵，其元素为A和B对应位置元素的和（或差）。

2. 数乘

   • 规则：一个数（标量）与矩阵相乘，等于该数乘以矩阵的每一个元素。
   • 示例：设有矩阵A和数k，则kA的结果是一个与A同型的矩阵，其元素为A对应位置的元素乘以k。

3. 乘法

   • 规则：矩阵乘法需要满足前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。运算结果是一个新的矩阵，其元素由前一个矩阵的行与后一个矩阵的列按规则相乘并求和得到。
   • 示例：设有矩阵A（2x3矩阵）和B（3x2矩阵），则AB的结果是一个2x2矩阵，其元素由A的行与B的列对应元素相乘后求和得到。

2.矩阵的特殊运算

1. 转置

   • 定义：将矩阵的行与列互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
   • 示例：设有矩阵A，则A的转置记为AT的元素为A对应位置的元素的转置（即行变列，列变行）。

2. 求逆

   • 定义：对于方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记为A^(-1)。
   • 规则：并非所有方阵都有逆矩阵，只有行列式不为零的方阵才存在逆矩阵。
   • 示例：设有方阵A，其逆矩阵为A(-1)相乘的结果为单位矩阵E。

五、矩阵的初等变换

1.初等变换的定义

矩阵的初等变换包括三种基本类型：

1. 交换矩阵的两行（或两列）：

   • 选择矩阵中的任意两行（或两列），将它们的位置互换。这种变换记作R_i \leftrightarrow R_j（行交换）或C_i \leftrightarrow C_j（列交换）。

2. 用非零常数乘以矩阵的某一行（或某一列）：

   • 选择矩阵中的任意一行（或一列），将该行（或列）的每个元素乘以同一个非零常数。这种变换记作kR_i（行乘以k）或kC_i（列乘以k），其中k是非零常数。

3. 将矩阵的某一行（或某一列）的倍数加到另一行（或另一列）上：

   • 选择矩阵中的任意两行（或两列），将其中一行的每个元素乘以一个常数后加到另一行上（或一列的每个元素乘以一个常数后加到另一列上）。这种变换记作R_i + kR_j（行变换）或C_i + kC_j（列变换），其中k是常数。

2.初等变换的性质

1. 保持矩阵的秩不变：初等变换不会增加或减少矩阵的行空间或列空间的维度。

2. 保持矩阵的解空间不变：对于线性方程组，初等变换不会改变其解集。

3. 保持矩阵的零空间不变：初等变换不会改变矩阵的零空间，即不会改变那些使得矩阵乘以向量得到零向量的向量集合。

4. 保持矩阵的行空间和列空间不变：初等变换不会改变矩阵的行空间和列空间的基。

5. 可逆性：每一种初等变换都是可逆的，可以通过另一种初等变换来抵消其效果。

6. 组合性：多个初等变换可以组合起来使用，其效果等同于单个初等变换。

7. 等价性：两个矩阵如果可以通过一系列初等变换相互转换，则它们是等价的，即它们有相同的秩和解空间。

3.初等变换的应用

矩阵的初等变换在线性代数、方程组求解、特征值分析等领域都具有重要的应用价值，具体包括：

1. 线性方程组的求解：

   • 通过对增广矩阵进行初等变换，将线性方程组化简为最简形式，从而求得方程组的解。

2. 矩阵的求逆：

   • 通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵或对角矩阵，从而求得原矩阵的逆矩阵。

3. 矩阵的标准形式：

   • 利用初等变换将矩阵化为标准形式，如行阶梯形矩阵或最简行阶梯形矩阵，便于进一步的研究和计算。

4. 特征值和特征向量的求解：

   • 通过初等变换将矩阵转化为对角矩阵，从而求得矩阵的特征值和特征向量。

5. 线性空间的基变换：

   • 在线性代数中，可以通过初等变换将一组向量变换为线性空间的一组基，从而简化问题的处理。