线性代数基础02

目录

1.向量

1.1向量的定义

1.2向量的运算

1.2.1向量加法

1.2.2向量数乘

1.2.3向量点积

1.3矩阵的特征值和特征向量

1.4向量的模

1.4.1向量的模的定义

1.4.2向量的模的几何解释

1.4.3向量的模的性质

1.5向量的内积

1.5.1向量的内积的定义

1.5.2向量的内积的几何解释

1.5.3向量的内积​​​​​​​的性质


1.向量

1.1向量的定义

向量可以用多种方式定义,以下是几种常见的定义:

  • 几何定义:向量是一个有方向和大小的量,通常用箭头表示。向量的起点称为原点,终点称为向量的端点。

  • 代数定义 :向量是一个有序的数组,通常表示为列向量或行向量。

例如,一个 n 维列向量可以表示为:

一个 n 维行向量可以表示为:

其中 v1,v2,...,vn是向量的分量。

行向量和列向量再本质上没有区别。

向量的表示

向量可以用多种方式表示,以下是几种常见的表示方法:

  • 几何表示:在二维或三维空间中,向量通常用箭头表示,箭头的方向表示向量的方向,箭头的长度表示向量的大小。

  • 代数表示:向量可以用列向量或行向量表示,如上所述。

  • 坐标表示 :在二维或三维空间中,向量可以用坐标表示。例如,二维向量 v=(v1,v2)v =(v 1,v2) 表示在 x 轴和 y轴上的分量。

1.2向量的运算

向量有几种基本的运算,包括加法、数乘、点积和叉积。

1.2.1向量加法

向量加法是将两个向量的对应分量相加,得到一个新的向量。例如,两个 n 维向量 u 和 v 的加法为:

1.2.2向量数乘

向量数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量,得到一个新的向量。例如,一个 n 维向量 v 与标量 k 的数乘为:

1.2.3向量点积

向量点积(内积)是将两个向量的对应分量相乘,然后将结果相加,得到一个标量。例如,两个 n 维向量 uv 的点积为:

1.3矩阵的特征值和特征向量

设 A 是一个 n×n 的方阵 。如果存在一个非零列向量 v 和一个标量 λ,使得:

那么 λ 称为矩阵 A的特征值,v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。

注:λ可以为0,而v不能为0,并且v是列向量。因为A是n维矩阵,如果v是行向量,则维数是1xn,不满足矩阵相乘。

将定义中的等式移项,得到:

由于v是非零列向量,相当于求上述方程的非零解,由方程有非零解的充要条件是行列式为0的定理可知:

说明:(A-λE):特征矩阵 ;|A-λE|:特征行列式特征多项式 ;|A-λE|=0:特征方程

结论:

1.λ是A的特征值,v是对应λ的一个特征向量,则cv也是λ的一个特征向量,c为不等于0的标量。

根据定义:

等式两边同乘以c

所以cv也是λ的一个特征向量。

1.4向量的模

1.4.1向量的模的定义

向量 v 的模记作 ∥v∥,计算公式为:

1.4.2向量的模的几何解释

在二维空间中,向量 v=(v1,v2)的模表示从原点到点 (v1,v2)的距离。在三维空间中,向量 v=(v1,v2,v3)的模表示从原点到点 (v1,v2,v3)的距离。

||v||=1,叫做单位向量的模。如:v=(1,0,0)

1.4.3向量的模的性质

  • 非负性

∥v∥≥0,并且 ∥v∥=0 当且仅当 v=0(零向量)。

  • 齐次性

对于任意标量 k,∥kv∥=∣k∣∥v∥。

  • 三角不等式

对于任意向量 u 和 v,∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥。

1.5向量的内积

1.5.1向量的内积的定义

对于两个 n 维向量 a=(a1,a2,...,an) 和 b=(b1,b2,...,bn),它们的内积(点积)表示为 a⋅b,计算公式为:

1.5.2向量的内积​​​​​​​的几何解释

在几何上,内积也可以通过向量的模和它们之间的夹角来表示。具体来说,如果 θ 是向量 a 和 b 之间的夹角,那么内积可以表示为:

其中:

  • ∥a∥ 和 ∥b∥ 分别是向量 a 和 b 的模(长度)。

  • cos⁡(θ)是夹角 θ 的余弦值。

结论:

向量内积的几何解释其实就是余弦相似度算法的公式,当cos⁡(θ)=1时,表示两个向量重合;当cos⁡(θ)=0时,表示两个向量垂直。

如果使用两个向量分别近似表示两个文本或图像

  • 两个向量的cos⁡(θ)越接近1,表示这两个文本内容越相似
  • cos⁡(θ)越接近0,表示这两个文本内容越不相似。

1.5.3向量的内积​​​​​​​的性质

  • 交换律:a⋅b=b⋅a
  • 分配律:a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
  • 数乘结合律:(ka)⋅b=k(a⋅b)=a⋅(kb)
  • 正定性:a⋅a≥0,并且 a⋅a=0 当且仅当 a=0。
相关推荐
luofeiju7 小时前
使用LU分解求解线性方程组
线性代数·算法
FF-Studio14 小时前
【硬核数学 · LLM篇】3.1 Transformer之心:自注意力机制的线性代数解构《从零构建机器学习、深度学习到LLM的数学认知》
人工智能·pytorch·深度学习·线性代数·机器学习·数学建模·transformer
盛寒2 天前
矩阵的定义和运算 线性代数
线性代数
盛寒2 天前
初等变换 线性代数
线性代数
叶子爱分享2 天前
浅谈「线性代数的本质」 - 系列合集
线性代数
luofeiju2 天前
RGB下的色彩变换:用线性代数解构色彩世界
图像处理·人工智能·opencv·线性代数
好开心啊没烦恼2 天前
Python:线性代数,向量内积谐音记忆。
开发语言·python·线性代数·数据挖掘·数据分析
Ven%12 天前
矩阵阶数(线性代数) vs. 张量维度(深度学习):线性代数与深度学习的基石辨析,再也不会被矩阵阶数给混淆了
人工智能·pytorch·深度学习·线性代数·矩阵·tensor·张量
云云32113 天前
Subway Surfers Blast × 亚矩阵云手机:手游矩阵运营的终极变现方案
大数据·人工智能·线性代数·智能手机·矩阵·架构
点云侠14 天前
PCL 点云旋转的轴角表示法
人工智能·线性代数·算法·计算机视觉·矩阵