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一、矩阵(下)
1、伴随矩阵
设 A 是一个 n×n 的方阵,其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵,其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji,即:
其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式,即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。
步骤:
- 先按行求出每个元素的代数余子式,
- 将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵,该矩阵就是伴随矩阵。
性质
2、逆矩阵
对于一个 n×n 的方阵 A,如果存在另一个 n×n的方阵 B,使得 AB=BA=E,其中 E 是 n×n 的单位矩阵,那么 B 称为 A 的逆矩阵,记作 。
存在条件
一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的,即 det(A)≠0。如果 det(A)=0,则 A 是奇异矩阵,没有逆矩阵。
性质
- n阶方阵A可逆的充要条件为 且当A可逆时,
- 设A、B 和 C 是 n×n 的可逆矩阵,那么它们的乘积 ABC的逆矩阵为:
3、初等变换
初等变换一般可以分为两种类型:行变换、列变换。
初等行变换:
- 交换两行:将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置
- 某一行乘以非零常数:将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k
- 某一行加上另一行的倍数:将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍
初等列变换
- 交换两列:将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
- 某一列乘以非零常数:将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
- 某一列加上另一列的倍数:将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍
4、矩阵的标准形
常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。
4.1行阶梯形矩阵
特征
- 非零行在零行之上:所有非零行都在零行之上。
- 主元:每一行的第一个非零元素(主元)在上一行主元的右边。
- 主元下方元素为零:每一行的主元下方元素都为零。
e.g.
4.2简化行阶梯型矩阵
特征
- 非零行在零行之上:所有非零行都在零行之上。
- 主元为 1:每一行的第一个非零元素(主元)为 1。
- 主元下方元素为零:每一行的主元下方元素都为零。
- 主元上方元素为零:每一行的主元上方元素都为零。
二、向量
1、定义
-
几何定义:向量是一个有方向和大小的量,通常用箭头表示。向量的起点称为原点,终点称为向量的端点。
-
代数定义 :向量是一个有序的数组,通常表示为列向量或行向量。
例如,一个 n 维列向量可以表示为:
一个 n 维行向量可以表示为:
其中 v1,v2,...,vn是向量的分量,行向量和列向量在本质上没有区别。
向量表示
- 几何表示:在二维或三维空间中,向量通常用箭头表示,箭头的方向表示向量的方向,箭头的长度表示向量的大小。
- 代数表示:向量可以用列向量或行向量表示,如上所述。
- 坐标表示 :在二维或三维空间中,向量可以用坐标表示。例如,二维向量 v=(v1,v2)v =(v 1,v2) 表示在 x 轴和 y 轴上的分量。
2、向量的运算
向量有几种基本的运算,包括加法、数乘、点积和叉积。
加法
向量加法是将两个向量的对应分量相加,得到一个新的向量。例如,两个 n 维向量 u 和 v 的加法为:
数乘
向量数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量,得到一个新的向量。例如,一个 n 维向量 v 与标量 k 的数乘为:
点积
向量点积(内积)是将两个向量的对应分量相乘,然后将结果相加,得到一个标量。例如,两个 n 维向量 u 和 v 的点积为:
3、矩阵的特征值和特征向量
定义
设 A 是一个 n×n 的方阵。如果存在一个非零列向量 v 和一个标量 λ,使得:
那么 λ 称为矩阵 A的特征值,v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。
说明
- λ可以为0,而v不能为0,并且v是列向量。因为A是n维矩阵,如果v是行向量,则维数是1xn,不满足矩阵相乘。
- (A-λE):特征矩阵;|A-λE|:特征行列式或特征多项式;|A-λE|=0:特征方程。
- λ是A的特征值,v是对应λ的一个特征向量,则cv也是λ的一个特征向量,c为不等于0的标量。
4、向量的模
定义
向量 v 的模记作 ∥v∥,计算公式为:
几何解释
在二维空间中,向量 v=(v1,v2)的模表示从原点到点 (v1,v2)的距离。在三维空间中,向量 v=(v1,v2,v3)的模表示从原点到点 (v1,v2,v3)的距离。
||v||=1,叫做单位向量的模。如:v=(1,0,0)
性质
-
非负性:∥v∥≥0,并且 ∥v∥=0 当且仅当 v=0(零向量)。
-
齐次性:对于任意标量 k,∥kv∥=∣k∣∥v∥。
-
三角不等式:对于任意向量 u 和 v,∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥。
5、向量的内积
定义
对于两个 n 维向量 a=(a1,a2,...,an) 和 b=(b1,b2,...,bn),它们的内积(点积)表示为 a⋅b,计算公式为:
几何解释
在几何上,内积也可以通过向量的模和它们之间的夹角来表示。具体来说,如果 θ 是向量 a 和 b 之间的夹角,那么内积可以表示为:
其中:
-
∥a∥ 和 ∥b∥ 分别是向量 a 和 b 的模(长度)。
-
cos(θ)是夹角 θ 的余弦值。
性质
-
交换律:a⋅b=b⋅a
-
分配律:a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
-
数乘结合律:(ka)⋅b=k(a⋅b)=a⋅(kb)(,其中 k 是标量。
-
正定性:a⋅a≥0,并且 a⋅a=0 当且仅当 a=0。