408 10——42题

题目：

设将n(n>1)个整数存放到一维数组R中。试设计一个在时间和空间两方面都尽可能高效的算法。将R中保存的序列循环左移p(0<p<n)个位置，即将R中的数据由 口X00X1...Xn-1口变换为

口Xp口Xp+1...Xn-10X00X1...Xp-1口

。要求:

(1)给出算法的基本设计思想。

(2)根据设计思想，采用C或C++或JAVA语言描述算法，关键之处给出注释，

(3)说明你所设计算法的时间复杂度和空间复杂度。

答案：

(1) 算法的基本设计思想

将数组中的元素循环左移 p 位，即把数组的前 p 个元素移动到数组的最后，将后面的元素依次向前移动。例如，给定数组 X0 X1 ... Xn-1，循环左移 p 位后的结果是 Xp Xp+1 ... Xn-1 X0 X1 ... Xp-1。

常见的方法包括：

1. 三步反转法：这是一种空间效率较高的方法，利用数组反转来实现元素的循环左移。具体步骤如下：

   • 先将数组的前 p 个元素（即 X0 到 Xp-1）反转。
   • 再将数组的后 n-p 个元素（即 Xp 到 Xn-1）反转。
   • 最后，将整个数组反转。

   通过三次反转操作，数组的顺序会按照题目要求正确排列。

(2) 算法的 C 实现

#include <stdio.h>

void reverse(int arr[], int start, int end) {
    while (start < end) {
        int temp = arr[start];
        arr[start] = arr[end];
        arr[end] = temp;
        start++;
        end--;
    }
}

void leftRotate(int arr[], int n, int p) {
    // 反转前 p 个元素
    reverse(arr, 0, p - 1);
    // 反转剩余的 n-p 个元素
    reverse(arr, p, n - 1);
    // 反转整个数组
    reverse(arr, 0, n - 1);
}

void printArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main() {
    int arr[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    int p = 3;
    
    leftRotate(arr, n, p);
    printArray(arr, n);

    return 0;
}

(3) 时间复杂度和空间复杂度

• 时间复杂度 ：该算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。反转操作的时间复杂度为 O(1)，每次反转操作都对数组的一个区间进行遍历，整体的时间复杂度是线性的。

• 空间复杂度 ：该算法的空间复杂度为 O(1)，因为它只使用了常数空间进行反转操作，没有使用额外的数组或数据结构。

知识点：

1. 数组的循环左移操作

• 数组循环左移是常见的数组操作之一，考查的是如何有效地调整数组元素的位置，保持数组的顺序性。具体的要求是将前面的元素移到数组的末尾，后面的元素依次向前移动。
• 该操作可以通过多种方式实现，常见的有借助辅助数组的方式、逐个移动的方式、以及使用反转法的方式。反转法是一种高效的解决方案，具有较好的时间和空间性能。

2. 三步反转法

• 三步反转法是一种优化的算法设计思想，用来解决数组循环移动问题，具有较低的空间复杂度。其核心思想是通过三次局部反转来调整数组顺序。具体步骤如下：
  • 第一步：将前 p 个元素反转；
  • 第二步：将剩余的 n-p 个元素反转；
  • 第三步：将整个数组反转。
• 该算法的时间复杂度为 O(n)，且只需要常数的额外空间，因此空间复杂度为 O(1)。

3. 时间复杂度与空间复杂度

• 时间复杂度 ：题目要求设计时间效率尽可能高的算法。常规的逐个移动数组元素的方法时间复杂度为 O(n * p)，即每次都移动一个元素，重复 p 次，这样效率较低。使用三步反转法后，时间复杂度降为 O(n)，因为每次反转的操作复杂度为 O(n)，总共进行三次反转，整体仍为 O(n)。
• 空间复杂度 ：题目要求设计空间效率尽可能高的算法，三步反转法只使用了常量的额外空间（指针、临时变量），因此空间复杂度为 O(1)，符合题目要求。

4. 数组的操作与指针

• 该题还考查了数组的基础操作，特别是数组的遍历、反转操作。这需要熟练掌握数组的基本操作方式，比如如何通过下标访问数组元素、如何在指定范围内反转数组等。
• 在 C 语言等低级编程语言中，数组通常与指针紧密相关，理解如何操作数组指针能够提高程序的效率。

5. 算法设计思维

• 题目要求在"时间"和"空间"两个方面优化算法，因此涉及到算法设计中的时间复杂度 与空间复杂度分析。这是算法设计中的重要知识点，设计一个算法不仅要考虑其功能正确性，还要考虑其运行效率，特别是当数据规模较大时，时间和空间效率的影响就非常重要。

6. 代码实现及注释

• 题目还要求使用 C 或 C++ 或 Java 语言实现算法并给出注释，这说明编程语言的选择和具体实现是考点之一。实现一个算法需要清晰的逻辑步骤和正确的语法表达，这考察了编程能力和对语言特性的理解。
• 同时，要求注释关键代码部分，反映了注释的重要性。写清楚关键步骤的注释有助于代码的可读性和维护性，特别是在复杂算法的实现中，注释能够帮助读者理解算法的核心思想和操作细节。