Lucas带你手撕机器学习——套索回归

好的，下面我将详细介绍套索回归的背景、理论基础、实现细节以及在实践中的应用，同时还会讨论其优缺点和一些常见问题。

套索回归（Lasso Regression）

1. 背景与动机

在机器学习和统计学中，模型的复杂性通常会影响其在新数据上的泛化能力。特别是当特征数量多于样本数量时，模型容易过拟合，导致性能下降。为了解决这个问题，引入了正则化技术，以限制模型的复杂性。套索回归就是一种结合了线性回归与L1正则化的回归方法，具有以下特点：

特征选择：由于L1正则化的特性，套索回归能够将一些特征的系数压缩为零，从而实现特征选择。这使得模型更简单、更易解释。
提高泛化能力：通过减少特征数量，套索回归有助于提高模型的泛化能力，尤其在高维数据中表现更好。

2. 理论基础

2.1. 损失函数

套索回归的目标是最小化以下损失函数：

其中：

是目标变量与预测值之间的均方误差。

是L1正则化项，即模型参数的绝对值之和，𝜆 是正则化强度的超参数。

L1正则化会增加较大的惩罚，使得某些特征的系数可能被完全压缩为零，从而实现特征选择。

2.2. 优化算法

由于套索回归的损失函数是非光滑的（L1范数不连续），可以使用次梯度法、坐标下降法或其他优化方法来求解最优参数。坐标下降法是套索回归中一种常用且高效的优化算法。

3. 优缺点

3.1. 优点

特征选择：能够自动选择重要特征，减少不必要的噪声，提高模型的可解释性。
简化模型：减少模型的复杂性，降低过拟合的风险。
适应高维数据：在特征数量远大于样本数量时，仍能有效工作。

3.2. 缺点

可能丢失重要信息：如果正则化参数选择不当，可能会丢失对结果有影响的特征。
对特征标准化敏感：套索回归对特征的尺度非常敏感，通常需要对特征进行标准化处理。
在特征间高度相关时的局限性：在特征高度相关的情况下，套索回归可能随机选择其中一个特征，而忽略其他重要特征。

4. 实践中的应用

套索回归广泛应用于以下场景：

金融风险建模：在预测信用评分或贷款违约的模型中，能够选择对结果影响最大的特征。
生物医学：在基因选择和疾病预测等应用中，通过特征选择来提高模型的可解释性。
文本分类：在文本特征提取中，通过选择重要的单词或短语来构建简化模型。

5. 使用 `scikit-learn` 和 `PyTorch` 实现套索回归

5.1. `scikit-learn` 实现

python 复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import Lasso
from sklearn.datasets import make_regression

# 生成示例数据
X, y, coef = make_regression(n_samples=100, n_features=10, noise=0.1, coef=True, random_state=42)

# 划分数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 创建套索回归模型
lasso_model = Lasso(alpha=1.0)  # alpha是正则化强度

# 训练模型
lasso_model.fit(X_train, y_train)

# 进行预测
y_pred = lasso_model.predict(X_test)

# 输出模型系数
print("模型系数:", lasso_model.coef_)
print("模型截距:", lasso_model.intercept_)

# 可视化真实值与预测值
plt.scatter(y_test, y_pred)
plt.xlabel("真实值")
plt.ylabel("预测值")
plt.title("真实值与预测值的比较")
plt.plot([y.min(), y.max()], [y.min(), y.max()], '--', color='red')  # 对角线
plt.show()

5.2. `PyTorch` 实现