- 卡诺图是一种逻辑化简工具，用来在布尔函数的最小项和形式中，找到冗余项并实现逻辑化简。也可用于HDL中竞争和冒险的判断。
最小项
- 任何一个逻辑函数都能化简为最小项的和的形式
- 对于 n 个变量的布尔表达式，每个变量都必须以原变量 （如A）或非变量 （即否定的形式A'）出现，且在每个最小项中只能出现一次。每个最小项代表一个特定的输入组合。
- 例：假设有两个变量 A A A 和 B B B，则最小项可以表示为：
A ′ B ′ : 对应 ( A , B ) = ( 0 , 0 ) A'B' : \text{对应 } (A, B) = (0, 0) A′B′:对应 (A,B)=(0,0)
A ′ B : 对应 ( A , B ) = ( 0 , 1 ) A'B : \text{对应 } (A, B) = (0, 1) A′B:对应 (A,B)=(0,1)
A B ′ : 对应 ( A , B ) = ( 1 , 0 ) AB' : \text{对应 } (A, B) = (1, 0) AB′:对应 (A,B)=(1,0)
A B : 对应 ( A , B ) = ( 1 , 1 ) AB : \text{对应 } (A, B) = (1, 1) AB:对应 (A,B)=(1,1)
格雷码
格雷码 （Gray Code）是一种特殊的二进制编码，每相邻两个数之间只有一个位发生变化。格雷码的这种特性在某些应用中可以减少误差和干扰，因此被广泛用于数字电路设计、编码器、存储器地址生成、错误校验等领域。
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格雷码可以
循环排列，即从最大值到最小值过渡时也只有一个位变化。 -
n 位的格雷码可以通过以下递归方式生成：
- 0 位格雷码： G ( 0 ) = [ 0 ] \text{G}(0) = [0] G(0)=[0]
- 1 位格雷码： G ( 1 ) = [ 0 , 1 ] \text{G}(1) = [0, 1] G(1)=[0,1]
- n 位格雷码：将 n-1 位格雷码的所有数按顺序排列，然后将 n-1 位格雷码的所有数按逆序排列。然后在第一个排列前加 0，在第二个排列前加 1。
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2 位格雷码生成过程：
- 从 1 位格雷码 [ 0 , 1 ] [0, 1] [0,1] 开始。
- 正序排列：[0, 1]，在前面加 0 得到 [ 00 , 01 ] [00, 01] [00,01]。
- 逆序排列：[1, 0]，在前面加 1 得到 [ 11 , 10 ] [11, 10] [11,10]。
- 合并得出 2 位格雷码为 [ 00 , 01 , 11 , 10 ] [00, 01, 11, 10] [00,01,11,10]。
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3 位格雷码生成类似：
- 正序排列：[00, 01, 11, 10]，前面加 0 得到 [ 000 , 001 , 011 , 010 ] [000, 001, 011, 010] [000,001,011,010]。
- 逆序排列：[10, 11, 01, 00]，前面加 1 得到 [ 110 , 111 , 101 , 100 ] [110, 111, 101, 100] [110,111,101,100]。
- 合并得到 3 位格雷码为 [ 000 , 001 , 011 , 010 , 110 , 111 , 101 , 100 ] [000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100] [000,001,011,010,110,111,101,100]。
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二进制到格雷码的转换:一个给定的二进制数可以通过以下公式转换为格雷码：
- 对于二进制数 B = B n − 1 B n − 2 ... B 1 B 0 B = B_{n-1} B_{n-2} \dots B_1 B_0 B=Bn−1Bn−2...B1B0，相应的格雷码 G = G n − 1 G n − 2 ... G 1 G 0 G = G_{n-1} G_{n-2} \dots G_1 G_0 G=Gn−1Gn−2...G1G0 可以表示为：
- G n − 1 = B n − 1 G_{n-1} = B_{n-1} Gn−1=Bn−1
- G i = B i ⊕ B i + 1 G_i = B_i \oplus B_{i+1} Gi=Bi⊕Bi+1（对相邻位进行异或操作）
卡诺图与最小项的表示
- 卡诺图是一种将布尔函数的最小项排列在网格上的方法，可以更直观地找到可以合并的最小项。卡诺图中的每个方格代表一个最小项，而方格的排列顺序遵循格雷码，相邻的方格之间仅有一个变量变化。
在卡诺图中，相邻的1最小项可以合并为一个更简化的项。例如：
- 两个相邻的最小项可以合并为一个二变量的项。
- 四个相邻的最小项可以合并为一个一变量的项。
- 八个相邻的最小项可以简化为一个常数项。
卡诺图在最小项和表达式中的应用
- 通过卡诺图，可以将最小项的和形式转换成更简化的逻辑表达式，步骤如下：
- 标记最小项：在卡诺图中标记所有输出为1的最小项。
- 寻找合并区域：将相邻的1组成成组的区域，尽可能合并更多的相邻项（如2的幂次个：2、4、8等）。
- 写出化简表达式：合并后的区域直接写出更简单的逻辑表达式。例如，四个相邻的最小项可以写成一个没有变化变量的项。
- 得到简化的SOP表达式：最终通过卡诺图的合并过程得到逻辑函数的最简化 SOP 表达式。
举例说明
假设一个布尔函数 F ( A , B , C ) F(A, B, C) F(A,B,C) 的最小项和为：
F ( A , B , C ) = m 1 + m 3 + m 5 + m 7 F(A, B, C) = m_1 + m_3 + m_5 + m_7 F(A,B,C)=m1+m3+m5+m7
- 在三变量的卡诺图中标记出 m 1 , m 3 , m 5 , m 7 m_1, m_3, m_5, m_7 m1,m3,m5,m7 所对应的格子，并进行合并，得出最简化的表达式
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F ( A , B , C ) = m 1 + m 3 + m 5 + m 7 F(A, B, C) = m_1 + m_3 + m_5 + m_7 F(A,B,C)=m1+m3+m5+m7
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F ( A , B , C ) F(A, B, C) F(A,B,C)中任意相邻的两项可以消掉一个变量，比如 m 1 m_1 m1和 m 3 m_3 m3相邻, m 1 + m 3 = ( A ′ B ′ C ) + ( A ′ B C ) = A ′ ( B ′ + B ) C = A ′ C m_1 + m_3=(A'B'C)+(A'BC)=A'(B'+B)C=A'C m1+m3=(A′B′C)+(A′BC)=A′(B′+B)C=A′C
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同样 m 5 + m 7 = ( A B ′ C ) + ( A B C ) = A ′ ( B ′ + B ) C = A C m_5 + m_7=(AB'C)+(ABC)=A'(B'+B)C=AC m5+m7=(AB′C)+(ABC)=A′(B′+B)C=AC
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F ( A , B , C ) = C F(A, B, C) = C F(A,B,C)=C
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使用卡诺图时，圈出这四个最小项，可发现，这四个最小项可以被一个2x2的方块覆盖。所以 m 1 + m 3 + m 5 + m 7 m_1+m_3+m_5+m_7 m1+m3+m5+m7 可以简化为 C C C（因为四个相邻的最小项可以合并为一个一变量的项,且所有这些项都有 C C C的出现）
CG
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