量子纠错--shor‘s 码

定理1 (量子纠错的条件) C是一组量子编码，P是映射到C上的投影算子。假设是一个算子元素描述的量子操作，那么基于量子编码C，存在一个能对抗描述的噪声的纠错操作R的充要条件是

对某个复元素厄米矩阵成立。

将算子元素称为导致的错误。如果这样的存在，即构成一组可纠正的错误。

定理2 假设C是一个量子编码，R是定理10.1的证明中所构造的纠错操作，它被用来回复操作元素所描述的噪声作用过程的影响。假设F是另外一个量子操作，且它的操作算子是的线性组合，即

这里构成一个复数矩阵，那么，R也能纠正噪声作用过程F对编码C的影响。

纠错码的全局特点可以用汉明距离来理解。我们将一个编码的距离定义为任意两个码字之间的最小距离，即

注意有d(x,y)=wt(x+y)。因为编码是线性的，如果x和y是码字，则x+y也是，于是

记，我们说C是一个 $n,k,d$ 编码，距离这个概念的重要性在于，一个距离为2t+1的编码，最多可以纠正t个比特上的错误。如果错误少于t个，则我们可以将噪声干扰后编码信息解码为满足的唯一码字。

注意Gilbert-Varshamov界限的结果指出，对于大的整数n，存在一个能纠正t错误的 $n,k$ 纠错码的条件是

这里，(指的是二元香农熵)

shor's code

小结：

量子纠错码：一个 $n,k,d$ 量子纠错码用n个物理量子比特编码k个逻辑量子比特，并且举例为d。

量子纠错条件：C为一个量子纠错码，P是映射到C上的投影算子。该纠错码能纠正错误集当且仅当

对某个复数构成厄米矩阵成立。

稳定子编码：令S是稳定子编码C(S)的稳定子，是一组噪声，它是泡利群元素，而且对所有的j和k有不属于N(S)-S成立。那么对C(S)来说，是一组可纠噪声

容错量子计算：编码量子态上的一组通用逻辑操作，可按照下面的要求来，即如果所有的逻辑门的错误概率是p，编码数据中等效错误概率将是O(p^2)量级。

阈值定理：假设单个量子门上的噪声低于某个常数阈值，并且满足物理上合理的假设，则可以可靠的实现任意长的量子计算，并且为了保证可靠性，多出的代价跟电路的规模比起来很小。

参考

2.（美）Michael ANielsen（迈克尔A.尼尔森），Isaac L.Chuang（艾萨克 L.庄）. 量子计算与量子信息 10周年版 $M$ . 北京：电子工业出版社, 2022.02.