飞行器转动惯量叠加

简介

在飞行器总体设计过程中会涉及到转动惯量张量叠加。对于一个固体推进剂飞行器,已知推进剂装药燃尽后的转动惯量张量(纯结构),需要计算燃烧过程中飞行器整体的转动惯量张量。

计算

以飞行器头部为转动惯量张量的参考点,x轴指向尾喷管

燃烧过程中的转动惯量张量为纯结构与推进剂的叠加
I = I 0 + I p {\bf{I}} = {{\bf{I}}0} + {{\bf{I}}{\rm{p}}} I=I0+Ip

而推进剂的转动惯量张量需要运用平行轴定理计算
I p = [ I x x I x y I x z I y x I y y + h 2 m p I y z I z x I z y I z z + h 2 m p ] \mathbf{I}{\mathrm{p}}=\left[\begin{array}{ccc} I{x x} & I_{x y} & I_{x z} \\ I_{y x} & I_{y y}+h^{2} m_{\mathrm{p}} & I_{y z} \\ I_{z x} & I_{z y} & I_{z z}+h^{2} m_{\mathrm{p}} \end{array}\right] Ip=⎣⎡IxxIyxIzxIxyIyy+h2mpIzyIxzIyzIzz+h2mp⎦⎤

式中 m p m_p mp为当前装药质量, h h h为装药局部坐标系的原点与飞行器头部之间的距离, I x x I_xx Ixx, I x y I_xy Ixy...等为装药局部坐标系下所得的转动惯量,定义式为
I x x = ∫ ( y 2 + z 2 ) d m , I x y = − ∫ x y d m {I_{xx}} = \int {\left( {{y^2} + {z^2}} \right){\rm{d}}m,} {\rm{ }}{I_{xy}} = - \int {xy{\rm{d}}m} Ixx=∫(y2+z2)dm,Ixy=−∫xydm

一般地,由于装药的旋转对称性,非对角线元素均为0

质心位置的叠加如下
c = m 0 c 0 + m p c p m 0 + m p = m 0 c 0 + m p ( h + c p , l o c a l ) m 0 + m p c = {{{m_0}{c_0} + {m_{\rm{p}}}{c_{\rm{p}}}} \over {{m_0} + {m_{\rm{p}}}}} = {{{m_0}{c_0} + {m_{\rm{p}}}\left( {h + {c_{{\rm{p,local}}}}} \right)} \over {{m_0} + {m_{\rm{p}}}}} c=m0+mpm0c0+mpcp=m0+mpm0c0+mp(h+cp,local)

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