非递减------>有序查找------>二分查找!
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
一、问题描述
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums
,和一个目标值 target
。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值 target
,返回 [-1, -1]
。必须设计并实现时间复杂度为 O(log n)
的算法解决此问题。
二、示例说明
- 输入:
nums = [5,7,7,8,8,10]
,target = 8
,输出:[3,4]
。- 在给定的数组中,目标值
8
的开始位置是索引3
,结束位置是索引4
。
- 在给定的数组中,目标值
- 输入:
nums = [5,7,7,8,8,10]
,target = 6
,输出:[-1,-1]
。- 目标值
6
不在给定的数组中,所以返回[-1,-1]
。
- 目标值
- 输入:
nums = []
,target = 0
,输出:[-1,-1]
。- 空数组中不存在任何目标值,返回
[-1,-1]
。
- 空数组中不存在任何目标值,返回
三、提示信息
0 <= nums.length <= 105
:数组的长度范围。-109 <= nums[i] <= 109
:数组中的元素取值范围。nums
是一个非递减数组。-109 <= target <= 109
:目标值的取值范围。
四、解题思路
这道题,很自然会想到先用二分找到一个值,再从这个值往左右搜索扩展,找到整个区间。
- 首先使用二分查找找到目标值在数组中的一个位置。
- 然后分别从这个位置向左右两边扩展,找到目标值的开始位置和结束位置。
需要注意,本题要求时间复杂度为 O ( l o g n ) O(log n ) O(logn),在极端情况下,比如所有 n u m s nums nums数值一样时 O ( n ) O(n) O(n),会超时,
所以正确的解法是分别找左右两个边界,这样可以保证不会超时。
这样的话就很有意思了,我们要找的其实是左右两边第一个等于target的位置。
现在的难点是,我只会一般的二分查找,也就是不断通过收缩,找到第一个(右边的)target。
前面一直对二分查找的边界,开闭区间以及查找到的是左右边界不清楚,所以这里列出几种不同开闭区间的情况的二分查找代码,复习!
三种二分查找的通俗解释:
以下代码来源灵山大佬
一、二分查找函数
1.闭区间写法:
- 想象你在一个排好序的书架上找一本特定厚度的书(目标厚度就是
target
)。 - 一开始,你把整个书架从最左边(
left = 0
)到最右边(right = len(nums) - 1
)都作为搜索范围,这就像是确定了一个闭区间[left, right]
,你知道在这个范围内肯定能找到那本书或者确定它不在这个书架上。 - 在找书的过程中,每次你都找到中间的位置(
mid
)看看这本书的厚度。如果中间这本书比目标厚度薄(nums[mid] < target
),那你就知道目标书肯定在右边,所以你把搜索范围缩小到[mid + 1, right]
,也就是把左边的边界left
移到mid + 1
的位置。如果中间这本书的厚度大于等于目标厚度,那目标书可能在左边或者就是这本,所以你把搜索范围缩小到[left, mid - 1]
,把右边的边界right
移到mid - 1
的位置。 - 一直这样找下去,直到左边的边界超过右边的边界(
left > right
),这时候left
所指的位置就是最小的满足条件(书的厚度大于等于目标厚度)的位置。如果整个书架都没有满足条件的书,那left
就会等于书架的长度,表示没有找到。
python
# lower_bound 返回最小的满足 nums[i] >= target 的 i
# 如果数组为空,或者所有数都 < target,则返回 len(nums)
# 要求 nums 是非递减的,即 nums[i] <= nums[i + 1]
# 闭区间写法
def lower_bound(nums: List[int], target: int) -> int:
left, right = 0, len(nums) - 1 # 闭区间 [left, right]
while left <= right: # 区间不为空
# 循环不变量:
# nums[left-1] < target
# nums[right+1] >= target
mid = (left + right) // 2
if nums[mid] < target:
left = mid + 1 # 范围缩小到 [mid+1, right]
else:
right = mid - 1 # 范围缩小到 [left, mid-1]
return left
作者:灵茶山艾府
链接:https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/solutions/1980196/er-fen-cha-zhao-zong-shi-xie-bu-dui-yi-g-t9l9/
来源:力扣(LeetCode)
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-
lower_bound2
函数(左闭右开区间写法):- 同样是找书,这次你把书架分成左闭右开的区间。一开始左边是
left = 0
,表示你从第一本书开始看,右边是right = len(nums)
,表示你一直看到最后一本书的右边那个虚拟位置,这个区间就是[left, right)
。 - 在找的过程中,如果中间这本书比目标厚度薄,你就把左边边界移到
mid + 1
,把搜索范围缩小到[mid + 1, right)
;如果中间这本书的厚度大于等于目标厚度,你就把右边边界移到mid
,把搜索范围缩小到[left, mid)
。 - 最后当左边边界和右边边界碰到一起的时候(
left == right
),你就找到了目标位置,返回left
或right
都可以,因为它们此时是同一个位置。
- 同样是找书,这次你把书架分成左闭右开的区间。一开始左边是
-
lower_bound3
函数(开区间写法):- 这次想象你站在书架外面,左边有一个虚拟的位置(
left = -1
),右边是书架的最后一本书的右边那个虚拟位置(right = len(nums)
),这是一个开区间(left, right)
。 - 找书过程和前面类似,如果中间这本书比目标厚度薄,你就把左边的虚拟位置移到
mid
,把搜索范围缩小到(mid, right)
;如果中间这本书的厚度大于等于目标厚度,你就把右边边界移到mid
,把搜索范围缩小到(left, mid)
。 - 最后当左边和右边的距离只有一本书的时候(
left + 1 == right
),你就找到了目标位置,返回right
。
- 这次想象你站在书架外面,左边有一个虚拟的位置(
二、searchRange
函数
- 这个函数的目的是在一个排好序的书架(数组
nums
)中找到一本特定的书(目标值target
)的出现范围。- 首先调用前面的
lower_bound
函数找到这本书可能出现的第一个位置start
。 - 如果
start
等于书架的长度或者这个位置的书不是目标书,那就说明书架上没有这本书,直接返回[-1, -1]
。 - 如果找到了这本书的开始位置,那么可以确定结束位置也存在。通过再次调用
lower_bound
函数找比目标书厚度大一点的书的位置,然后减一就是目标书的结束位置end
。 - 最后返回这本书的出现范围
[start, end]
。
- 首先调用前面的
python
在这里插入代码片