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电路模型和规律
电路的概念
电路是电子学中的一个基本概念，它是由各种元件按照一定的方式连接起来形成的闭合路径，用来传输电流或电信号。在电路中，电流从电源的一端流出，通过导线和其他元件（如电阻器、电容器、电感器、开关等），再回到电源的另一端，形成一个闭合的回路。
电路可以分为几种类型：
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直流电路（DC）：在此类电路中，电流的方向是固定的，并且通常不随时间改变。
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交流电路（AC）：与直流电路不同，交流电路中的电流方向会随着时间变化而改变。
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数字电路：处理离散信号的电路，信号通常为二进制形式，即高电平和低电平。
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模拟电路：处理连续变化信号的电路，这些信号可以表示声音、图像或其他形式的信息。
电路的基本组成部分包括：
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电源 ：提供能量以驱动电路中的电流。常见的电源有电池、发电机以及市电等。
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负载 ：消耗电流并将其转换成其他形式的能量，如灯泡将电能转换成光能。
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电阻 ：限制电流流动的元件，根据欧姆定律，电压等于电流乘以电阻。
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电容 ：存储电荷并在需要时释放，常用于滤波和平滑电流。
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电感 ：存储磁场能量，通常用于滤波电路中。
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开关：控制电路通断的装置。
电路分析通常涉及应用基尔霍夫定律（KCL和KVL），欧姆定律，以及诺顿定理、戴维南定理等来计算电路中的电流、电压和其他参数。
电路模型
实际电路:为完成预期目的而由电路部件和电路器件相互连接而成的电流通路装置
- 电源:电能和电信号的发生器
- 负载:用电设备
- 激励:一般称电源为激励
- 响应︰由激励在电路中产生的电压、电流
电路课程讨论对象︰是实际电路的电路模型
- 电路模型：是由理想电路元件相互连接成的一个系统
- 理想元件：是具有确定电磁性质并用精确数学定义表示的
- 理想导线：各理想元件的端子是用"理想导线"连接起来的
- 理想元件：分为二端、三端、四端元件等
建模：用理想电路元件或它们的组合模拟实际器件就是建立其模型，简称建模
神经元和电路类比关系
明白了，你是想探讨神经元与电路元件之间的类比关系。在神经元模型中，可以通过类比电路元件来描述神经元的电生理特性。这种类比有助于理解神经元如何通过电信号进行信息处理。以下是神经元与电路元件之间的一些对应关系：
1. 膜电容 (Cm)
- 对应电路元件：电容器
- 功能：膜电容反映了细胞膜存储电荷的能力。当膜电位发生变化时，膜电容储存或释放电荷。
- 类比：就像电容器在电路中储存电荷一样，膜电容在神经元中存储电荷。
2. 膜电阻 (Rm)
- 对应电路元件：电阻器
- 功能：膜电阻表示细胞膜对电流流动的阻碍作用。膜电阻越高，电流越难通过膜。
- 类比：类似于电阻器在电路中阻碍电流，膜电阻阻碍离子跨膜流动。
3. 离子通道
- 对应电路元件：可控开关或受控源
- 功能：离子通道允许特定类型的离子通过膜，从而改变膜电位。这些通道可以是电压门控的或化学门控的。
- 类比：类似于电路中的开关或受控源，可以根据输入信号（电压或化学信号）控制电流的流动。
4. 电导 (G)
- 对应电路元件：可变电阻
- 功能：电导反映了膜对特定离子的导电能力。不同的离子通道有不同的电导。
- 类比：类似于电路中的可变电阻，可以调节电流的大小。
5. 电源
- 对应电路元件：电池或电压源
- 功能：在神经元模型中，电源可以指代泵（如Na+/K+ ATP酶），它消耗能量来维持膜内外离子浓度梯度。
- 类比：类似于电路中的电源，提供能量以维持膜电位。
6. 电流注入
- 对应电路元件：电流源
- 功能：在实验中，可以通过电流注入来模拟突触输入或测量神经元的电生理特性。
- 类比：类似于电路中的电流源，可以用来模拟输入信号。
7. 突触
- 对应电路元件：非线性元件
- 功能 ：突触是神经元之间传递信号的关键部位，可以是兴奋性 的或抑制性的。
- 类比：类似于电路中的非线性元件（如二极管），可以根据输入信号的不同表现出不同的行为。
8. 膜电位
- 对应电路元件：电压
- 功能：膜电位反映了细胞内外的电位差，是神经元活动的重要指标。
- 类比：类似于电路中的电压，指示两点之间的电势差。
示例：Hodgkin-Huxley模型
在Hodgkin-Huxley模型中，神经元的膜被建模为一个RC电路，其中：
- 电容 C 表示膜电容。
- 电阻 R 表示膜电阻。
- 电流 I 表示通过离子通道的电流。
这个模型可以用来描述动作电位的产生机制，其中不同的离子通道（如钠通道和钾通道）被建模为具有不同电导特性的元件。
基本电路物理量：电流、电压、电功率和能量
1. 电流（Current, ( I )）
定义：电流是单位时间内通过导体横截面的电荷量。通常用字母 ( I ) 表示，单位是安培（A）。
公式 ：
I = d q d t I = \frac{dq}{dt} I=dtdq
示例：如果在一秒钟内通过某个点的电荷量是1库仑（C），那么电流就是1安培（A）。
2. 电压（Voltage, ( V )）
定义：电压是两点之间的电势差，它是推动电流流动的力量。通常用字母 ( V ) 或 ( U ) 表示，单位是伏特（V）。
公式 ：
V = W q V = \frac{W}{q} V=qW
示例：如果将1库仑（C）的电荷从一点移动到另一点需要做1焦耳（J）的功，那么这两点之间的电压就是1伏特（V）。
3. 电功率（Electrical Power,P ）
定义：电功率是在单位时间内所做的功。通常用字母 ( P ) 表示，单位是瓦特（W）。
公式 ：
P = V I P = VI P=VI
P = I 2 R P = I^2R P=I2R
P = V 2 R P = \frac{V^2}{R} P=RV2
示例：如果通过一个电阻器的电流是2安培（A），电压是5伏特（V），那么该电阻器消耗的电功率就是10瓦特（W）。
4. 能量（Energy, ( E ) 或 ( W )）
定义：能量是在一段时间内做的总功。通常用字母 ( E ) 或 ( W ) 表示，单位是焦耳（J）。
公式 ：
E = P ⋅ t E = P \cdot t E=P⋅t
E = V I t E = VIt E=VIt
E = I 2 R t E = I^2Rt E=I2Rt
E = V 2 R t E = \frac{V^2}{R}t E=RV2t
示例：如果一个电阻器在1秒内消耗了10瓦特（W）的功率，那么在这1秒内它消耗的能量就是10焦耳（J）。
关系总结
- 电流 和 电压 是基本的电学量，它们决定了电路中的电动力学。
- 电功率 描述了电能转化的速度，即单位时间内电能的转化量。
- 能量 则表示在一段时间内总的电能转化量。
电流和电压参考方向：
规定正电荷的运动方向为电流的实际方向:现实是，难判断需要指定
电流的参考方向与实际方向的关系:一致 i>0；不一致i<0
电流参考方向的2种表示：箭头、双下标i_AB
规定电压的实际方向从高电位指向低电位。亦即电位降低的方向：现实是，难判断需要指定
正极性 +高电位
负极性 -低电位
电压的参考方向与实际方向的关系:一致 u>0；不一致u<0
电压参考方向的3种表示：箭头、+ - 、双下标u_AB
关联参考方向:元件或支路的u，i采用相同的参考方向称为关联参考方向()
反之，称为非关联参考方向（电流电压方向不一致，箭头遇到-）
电功率与电流电压参考方向的关系：p与u和i的方向密切相关(对一完整的电路中 发出的功率=吸收的功率)
电场力对电荷作功，元件吸收能量。电流的方向与电压相同： 关联参考方向；p>0吸收 p<0发出
电场力作负功，元件向外释放电能。电流的方向与电压相反：非关联参考方向；p<0吸收 p>0发出
电阻
- 电阻（Resistance, R）
定义：电阻是衡量材料阻碍电流流动能力的物理量。电阻元件通常用字母 R 表示，单位是欧姆（Ω）。
公式：
R = V I R = \frac{V}{I} R=IV
其中V 是电压（单位：伏特，V）
I 是电流（单位：安培，A）
示例：如果通过一个电阻的电流是2安培（A），两端的电压是10伏特（V），那么该电阻的阻值是5欧姆（Ω）。
另一个描述，电导 ：
G = 1 R G = \frac{1}{R} G=R1：称为电阻原件的电导
i = u R = G ∗ u i = \frac{u}{R} = G*u i=Ru=G∗u：单位是S（西门子，简称西）
电阻元件的特性称为伏安特性:它是通过原点的一条直线
-
电阻定律（Ohm's Law）
定义：欧姆定律描述了电压、电流和电阻之间的关系。对于线性电阻元件来说，电压与电流成正比。
公式：
V = I R V = IR V=IR
I = V R I = \frac{V}{R} I=RV
R = V I R = \frac{V}{I} R=IV -
功率消耗
定义：电阻元件在电路中消耗电能，并将其转化为热能。
公式：
P = V I P = VI P=VI
P = I 2 R P = I^2R P=I2R
P = V 2 R P = \frac{V^2}{R} P=RV2其中，P 是电功率（单位：瓦特，W）
示例：如果一个电阻两端的电压是10伏特（V），通过它的电流是2安培（A），那么该电阻消耗的电功率是20瓦特（W）。
-
串联电阻
定义：当两个或多个电阻串联时，它们的总电阻是各电阻值之和。
公式：
R total = R 1 + R 2 + ⋯ + R n R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n Rtotal=R1+R2+⋯+Rn -
并联电阻
定义：当两个或多个电阻并联时，它们的总电阻的倒数是各电阻倒数之和。
公式：
1 R total = 1 R 1 + 1 R 2 + ⋯ + 1 R n \frac{1}{R_{\text{total}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} Rtotal1=R11+R21+⋯+Rn1简化公式：
R total = ( 1 R 1 + 1 R 2 + ⋯ + 1 R n ) − 1 R_{\text{total}} = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} \right)^{-1} Rtotal=(R11+R21+⋯+Rn1)−1
电路元件--电压源和电流源
电压源和电流源是电路中的两种基本电源类型，它们在电路分析和设计中起着至关重要的作用。下面是对这两种电源类型的详细介绍，并探讨它们与神经元的类比关系。
1. 电压源（Voltage Source）
定义：电压源是一种理想化的电源，它能在其两端保持一个固定的电压值，无论通过它的电流是多少。
电压由自身确定，电流由外电路确定
**不能开路（决 堤）------>电压无穷大**
特点：
- 固定电压：无论连接多少负载，电压源两端的电压保持不变。
- 理想电压源 ：在现实中，电压源有一定的内阻，但在理想情况下，内阻为零(U可以用 I R IR IR描述，因为，不分压，所以认为R非常小，为0)。
应用：
- 供电：为电路提供稳定的电压。
- 测试：用于测试电路的性能，模拟真实环境中的电压条件。
示例：电池、直流电源适配器等。
2. 电流源（Current Source）
定义 ：电流源是一种理想化 的电源，它能在其两端提供一个固定的电流值，无论两端的电压是多少。
电压由外电路确定，电流由自身确定
不能开路（决 堤）------>电压无穷大
特点：
- 固定电流：无论两端的电压如何变化，电流源提供的电流保持不变。
- 理想电流源 ：在现实中，电流源也有一定的输出阻抗 ，但在理想情况下，输出阻抗为无穷大（R可以用 U I \frac{U}{I} IU描述，U可无穷，所以R也视为无穷.或者因为电流，不随U改变，I=U/R。我们认为R无穷，外部有R，就给出多少负载U=IR，可以提供任意的U，电流不会衰减，U也可以无穷，外部有多少负载，就分出多少压。）。
应用：
- 偏置：为晶体管等器件提供稳定的偏置电流。
- 基准：用于需要稳定电流的场合，如传感器电路、LED驱动等。
示例：电流镜、恒流源电路等。
电压源和电流源的比较
| 特征 | 电压源 | 电流源 |
|---|---|---|
| 输出 | 固定电压 | 固定电流 |
| 内阻 | 理想情况下为零 | 理想情况下为无穷大 |
| 用途 | 提供稳定的电压 | 提供稳定的电流 |
| 举例 | 电池、直流电源适配器 | 电流镜、恒流源电路 |
与神经元的类比
尽管电压源和电流源是电路中的基本元件，而神经元则是生物系统中的基本单元，但两者之间确实存在一些类比关系，尤其是在模拟神经元行为时：
类比关系
-
电压源与神经元的静息电位：
- 类比：电压源可以类比为神经元的静息电位（resting potential），即在没有外部刺激的情况下，神经元膜内外的电位差保持相对稳定。
- 解释：在静息状态下，神经元膜内外的电位差约为-70 mV，类似于电压源提供一个稳定的电位。
-
电流源与突触输入：
- 类比：电流源可以类比为突触输入，即神经元接收到的电信号可以看作是一个固定的电流输入。
- 解释：当一个突触释放神经递质时，会引起神经元膜上离子通道的开放，从而导致电流流入或流出，类似于电流源提供一个固定的电流。
示例
假设一个神经元处于静息状态，此时其膜内外的电位差为-70 mV，可以类比为一个电压源。当突触释放神经递质，导致钠离子通道打开，电流流入神经元，此时可以类比为一个电流源的作用。
受控电源
基尔霍夫电压和电流定律
KCL
基尔霍夫电流定律（KCL，Kirchhoff's Current Law）是电路分析中的一个基本原理，它描述了电路中节点处电流的守恒关系。以下是关于 KCL 的详细介绍和公式：
数学表达：
∑ i=1 n I i = 0 \sum_{\text{i=1}}^{n} I_{\text{i}}=0 ∑i=1nIi=0
I i I_i Ii条支路中的电流。
n 是流入或流出节点的支路数目。
公式：
I in = I out I_{\text{in}} = I_{\text{out}} Iin=Iout
或者更正式地表示为：
∑ in I in = ∑ out I out \sum_{\text{in}} I_{\text{in}} = \sum_{\text{out}} I_{\text{out}} ∑inIin=∑outIout
电路的电流不会凭空消失，有进必有出，导线是理想的，不会造成衰减。
KVL
定义：基尔霍夫电压定律指出，在任何一个闭合回路中，所有电压源的电压和所有电压降的电压之和为零。换句话说，沿着任何闭合路径，电压升（电源电压）的总和等于电压降（负载电压）的总和。
数学表达：
∑ i=1 n V i = 0 \sum_{\text{i=1}}^{n} V_{\text{i}}=0 ∑i=1nVi=0
公式：
V rise = V drop V_{\text{rise}} = V_{\text{drop}} Vrise=Vdrop
或者更正式地表示为：
∑ rise V rise = ∑ drop V drop \sum_{\text{rise}} V_{\text{rise}} = \sum_{\text{drop}} V_{\text{drop}} ∑riseVrise=∑dropVdrop
电场力做功与路径无关，这类似于重力做功与路径无关。
等效电路
电路的等效变换
对外等效，对内不等效
串联电阻=相加和的大电阻
串联电阻R1 R2 = 相加的大电阻R1 + R2
并联电阻R1 R2 = 相加的大电阻R1*R2 / R1+R2
电压源、电流源的串联和并联
根据KCL和KVL对等式进行整理合并，然后进行替换（比如以前2个电阻现在用1个替换，视为串联或并联...）
实际电源的两种模型及其等效变换
U = IR公式也可以看出来
实际电压源:理想电压源和电阻（内阻)串联
实际电流源:理想电流源和电阻（内阻)并联
注意参数会变"通过KVL KCL计算：来改变电路结构
电压 和（串联） 电阻 = 电流 和（并联） 电阻
电阻电路的一般分析
- 回路电流法（利用KVL）
- 结点电压法（利用KCL）
- 结点电压法和回路电流法比较
参考原文
回路电流法：适用于独立回路较少的电路
结点电压法：适用于独立结点数较少的电路
简单电路：直接用KCL、KVL求解
电路定理
叠加定理
叠加定理:线性电路中，任一支路的电压或电流都等于各独立电源单独作用在此支路所产生电压或电流的叠加
替代定理
U I R相等的进行替换
注意:替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路
线性电路:电路所建立方程中仅含有线性项的电路
电流和电压的替换定律
戴维宁定理（替换电流）
先求开路电压，再求等效电阻
诺顿定理（替换电压）
场景:电流和电压并联------>替换电压
求单独作用的场景。电流源断路，电压源短路。
求电阻：去掉电流 电压。
整体被视为一个多少电流和内压的电流电源。
动态电路的时域分析：
这个是构建神经元电路比较重要的。
V------电压 C------电流（电流的单位是C） R------电阻
电容元件C F
电容 ：两个导体极板，中间由绝缘材料隔开，构成一个电容器.
在外电源作用下，正、负电极上分别带上等量异号电荷
撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去，是一种储存电能的元件
电容元件的定义 ：储存电能的两端元件
任何时刻其储存的电荷q与其两端的电压u能用q-u平面，上的一条曲线来描述。
存储的电荷和电压相关的元件。
VCR微分形式
电容的电压-电流关系
积分形式
以时间为积分变量，研究电流和电压的关系。
储能和功率
充电和能量的描述。只和电压相关。
电感元件 L H
磁通量和电流的转化元件。
电感L
VCR微分形式
VCR积分形式
储能和功率
动态电路方程
动念电路：含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。
过渡过程：当动态电路状态发生改变时，需经历一个变化过程才能达到新的稳定状态
产生的原因:电路含有储能元件L、C,电路在换路时能量发生变化
而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
微分方程的阶数和动态元件的数量有关。
