数学期望和联合概率密度

数学期望的定义

数学期望是描述随机变量平均趋势的一个重要统计量。根据随机变量的类型（离散或连续），数学期望的定义有所不同。

离散型随机变量的数学期望：

若离散型随机变量 X X X取值为 x 1 , x 2 , ... , x n , ... x_1,x_2,\dots,x_n,\dots x1,x2,...,xn,...，且对应的概率为 P ( X = x i ) = p i P(X=x_i)=p_i P(X=xi)=pi，则 X X X的数学期望 E ( X ) E(X) E(X)定义为：

E ( X ) = ∑ i x i p i E(X)=\sum_{i}x_i p_i E(X)=i∑xipi
连续型随机变量的数学期望：

若连续型随机变量 X X X的概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x)，则 X X X的数学期望 E ( X ) E(X) E(X)定义为：

E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x)\,dx E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx

数学期望反映了随机变量在概率意义上的"平均"值。

联合概率密度的定义

联合概率密度函数用于描述两个或多个连续随机变量的联合分布情况。

二维连续随机变量的联合概率密度函数：

若 X X X和 Y Y Y是两个连续随机变量，联合概率密度函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)满足以下性质：
- 非负性 ： f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\geq0 f(x,y)≥0，对于所有 x x x和 y y y。
- 归一化 ：在整个定义域 D D D上积分为1，即：
  
  ∬ D f ( x , y ) d x d y = 1 \iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=1 ∬Df(x,y)dxdy=1
- 概率计算 ：对于区域 A ⊆ D A\subseteq D A⊆D，随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落入该区域的概率为：
  
  P ( ( X , Y ) ∈ A ) = ∬ A f ( x , y ) d x d y P((X,Y)\in A)=\iint_{A}f(x,y)\,dx\,dy P((X,Y)∈A)=∬Af(x,y)dxdy
高维情况下的联合概率密度：

类似地，对于 n n n个连续随机变量 X 1 , X 2 , ... , X n X_1,X_2,\dots,X_n X1,X2,...,Xn，联合概率密度函数 f ( x 1 , x 2 , ... , x n ) f(x_1,x_2,\dots,x_n) f(x1,x2,...,xn)满足非负性、归一化条件，并可用于计算特定区域内的概率。

联合概率密度函数提供了对两个或多个随机变量之间关系的描述，帮助我们分析它们的联合分布和相依性。

数学期望例题

根据题目中的分布律，随机变量 X X X的取值以及相应的概率 P P P已知。要求的是数学期望 E ( X 2 ) E(X^2) E(X2)，即 X 2 X^2 X2的期望值。

数学期望 E ( X 2 ) E(X^2) E(X2)的计算公式是：

E ( X 2 ) = ∑ ( X i 2 ⋅ P ( X i ) ) E(X^2)=\sum(X_i^2\cdot P(X_i)) E(X2)=∑(Xi2⋅P(Xi))

根据表格中的数据：

当 X = − 1 X=-1 X=−1时， X 2 = ( − 1 ) 2 = 1 X^2=(-1)^2=1 X2=(−1)2=1，概率 P = 0.4 P=0.4 P=0.4
当 X = 0 X=0 X=0时， X 2 = 0 2 = 0 X^2=0^2=0 X2=02=0，概率 P = 0.3 P=0.3 P=0.3
当 X = 1 X=1 X=1时， X 2 = 1 2 = 1 X^2=1^2=1 X2=12=1，概率 P = 0.2 P=0.2 P=0.2
当 X = 2 X=2 X=2时， X 2 = 2 2 = 4 X^2=2^2=4 X2=22=4，概率 P = 0.1 P=0.1 P=0.1

所以：

E ( X 2 ) = ( 1 × 0.4 ) + ( 0 × 0.3 ) + ( 1 × 0.2 ) + ( 4 × 0.1 ) E(X^2)=(1\times0.4)+(0\times0.3)+(1\times0.2)+(4\times0.1) E(X2)=(1×0.4)+(0×0.3)+(1×0.2)+(4×0.1)

我们可以进行计算：

E ( X 2 ) = 0.4 + 0 + 0.2 + 0.4 = 1.0 E(X^2)=0.4+0+0.2+0.4=1.0 E(X2)=0.4+0+0.2+0.4=1.0

因此，数学期望 E ( X 2 ) = 1.0 E(X^2)=1.0 E(X2)=1.0。

联合概率密度例题

设定积分

由于联合概率密度函数 f ( x , y ) = a x e − ( x 2 + y ) f(x,y)=ax e^{-(x^2+y)} f(x,y)=axe−(x2+y)，我们要求解常数 a a a的值，使得联合概率密度函数在整个定义域上的积分等于1：

1 = ∬ D f ( x , y ) d x d y 1=\iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy 1=∬Df(x,y)dxdy
分解积分区域

将双重积分分解为对 y y y的积分和对 x x x的积分：

1 = ∫ 0 + ∞ ∫ 0 + ∞ a x e − ( x 2 + y ) d x d y 1=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}ax e^{-(x^2+y)}\,dx\,dy 1=∫0+∞∫0+∞axe−(x2+y)dxdy
对 x x x积分

在答案中，通过对 x x x积分，得出：

∫ 0 + ∞ a x e − ( x 2 + y ) d x = − a 2 ∫ 0 + ∞ e − ( x 2 + y ) d [ − ( x 2 + y ) ] \int_{0}^{+\infty}ax e^{-(x^2+y)}\,dx=-\frac{a}{2}\int_{0}^{+\infty}e^{-(x^2+y)}\,d\left[-\left(x^2+y\right)\right] ∫0+∞axe−(x2+y)dx=−2a∫0+∞e−(x2+y)d[−(x2+y)]

然后再进一步计算得到：

= − a 2 ∫ 0 + ∞ − e − y d y = a 2 =-\frac{a}{2}\int_{0}^{+\infty}-e^{-y}\,dy=\frac{a}{2} =−2a∫0+∞−e−ydy=2a
最终结果

通过积分得到 a = 2 a=2 a=2。

因此，根据步骤可以验证该结果的正确性，即最终答案 a = 2 a=2 a=2。

MATLAB实现

在 MATLAB 中，可以利用积分函数来求解期望和联合概率密度。以下是如何计算期望和联合概率密度的代码示例。

1. 计算期望值

假设随机变量 X X X的概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x)，期望值 E ( X ) E(X) E(X)可以通过积分来计算。

例如，对于概率密度函数 f ( x ) = x ⋅ e − x f(x)=x\cdot e^{-x} f(x)=x⋅e−x（定义域 x ≥ 0 x\geq0 x≥0），我们可以计算期望 E ( X ) E(X) E(X)：

matlab 复制代码

syms x
f_x = x * exp(-x); % 定义概率密度函数
E_X = int(x * f_x, x, 0, inf); % 计算期望
disp('期望 E(X) 为：')
disp(E_X)

在上面的代码中：

syms x 用于定义符号变量 x x x。
int 函数对 x ⋅ f ( x ) x\cdot f(x) x⋅f(x)在 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞)上积分，得到期望。

2. 计算联合概率密度函数积分

假设 X X X和 Y Y Y是两个连续随机变量，其联合概率密度函数为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)。我们可以通过对 x x x和 y y y积分来验证归一化条件（积分为1）。

例如，对于联合概率密度函数 f ( x , y ) = a ⋅ x ⋅ e − ( x 2 + y ) f(x,y)=a\cdot x\cdot e^{-(x^2+y)} f(x,y)=a⋅x⋅e−(x2+y)，其中 x ≥ 0 x\geq0 x≥0和 y ≥ 0 y\geq0 y≥0：

matlab 复制代码

syms x y a
f_xy = a * x * exp(-(x^2 + y)); % 定义联合概率密度函数
integral_result = int(int(f_xy, x, 0, inf), y, 0, inf); % 对x和y分别积分
disp('联合概率密度函数的积分为：')
disp(integral_result)

在上面的代码中：

syms x y a 定义了符号变量 x x x、 y y y和常数 a a a。
嵌套的 int 函数用于先对 x x x积分，再对 y y y积分，得到联合概率密度函数的归一化条件积分值。

3. 求联合期望 E ( X Y ) E(XY) E(XY)

假设我们希望计算 E ( X Y ) E(XY) E(XY)，可以使用以下代码：

matlab 复制代码

E_XY = int(int(x * y * f_xy, x, 0, inf), y, 0, inf); % 计算 E(XY)
disp('期望 E(XY) 为：')
disp(E_XY)

总结

通过以上代码，可以在 MATLAB 中求解期望、联合概率密度函数的积分以及联合期望等。