例1：证明，交换群的任何子群都是不变子群。
证：设(G,o)是交换群，H≤G，
对任意的a∈G，显然都有aH = {a o h|h∈H} = {h o a|h∈H} = Ha。
所以H⊿G。
【注：规范的不变子群符号是一个顶角指向左边的等腰三角形】
推论：
①循环群的子群都是不变子群；
②素数阶群的任何子群都是不变子群。
例2：证明，平凡子群是不变子群。
证：设(G,o)是一个群，则{e}和G本身是G的平凡子群。
①对∀a∈G，
显然a{e} = {a o e} = {a} = {e o a} = {e}a，
所以{e}是G的不变子群。
②下面证对∀a∈G，有aG = G = Ga：
对∀x∈G，有x = (a o a^(-1)) o x = a o (a^(-1) o x)∈aG，
即x∈aG，从而退出G⊆aG，又由aG的定义可知aG⊆G，所以G = aG，
同理可得Ga = G，
所以G⊿G。
例3：证明，设(G,o)是一个群，若N = {n∈G|n o a = a o n，a∈G}，则N⊿G。
【这个不变子群称为G的中心，记作：C(G)。】
证：①对∀a∈G，有e o a = a = a o e，
所以e∈N，即N≠∅；
②∀n₁,n₂∈N，对∀a∈G，
有n₁ o a = a o n₁，n₂ o a = a o n₂，
所以(n₁ o n₂) o a = n₁ o (n₂ o a) = n₁ o (a o n₂) = (n₁ o a) o n₂ = (a o n₁) o n₂ = a o (n₁ o n₂)，
所以n₁,n₂∈N；
③n₁^(-1) o a = (n₁^(-1) o a) o (n₁ o n₁^(-1)) = n₁^(-1) o (a o n₁) o n₁^(-1) = n₁^(-1) o (n₁ o a) o n₁^(-1) = (n₁^(-1) o n₁) o (a o n₁^(-1)) = a o n₁^(-1)，
根据子群的第一判定定理，可得N≤G；
④由N的定义，易得aN = {a o n|n∈N} = {n o a|n∈N} = Na，
所以N⊿G。
例4：证明：
（1）K₄⊿A₄；
（2）N = {(1),(123),(132)}⊿S₃；
（3）H = {(1),(12)}不是S₃的不变子群。
证：（1）①因为K₄ = {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，
对∀a∈K₄，均有aK₄ = K₄a = K₄；
②因为(123)K₄ = K₄(123) = {(123),(134),(243),(142)}，所以对∀a∈(123)K₄，有aK₄ = K₄a = (123)K₄；
③同②，因为(132)K₄ = K₄(132) = {(132),(143),(234),(124)}，所以对∀a∈(132)K₄，有aK₄ = K₄a = (132)K₄，
同理可推出对∀a∈A₄，都有aK₄ = K₄a，
所以K₄⊿A₄。
（2）已知N是S₃的子群，运用（1）中同样的枚举法，易得对∀a∈S₃，有aN = Na，从而N⊿S₃。
（3）H = {(1),(12)}≤S₃，但对于(123)∈S₃，(123)H = {(123),(13)}，而H(123) = {(123),(23)}，即(123)H ≠ H(123)，所以不满足不变子群的条件，
∴H不是S₃的不变子群。
注：aN = Na并不是说a和N中的每一个元都适合交换律，而仅仅是作为集合它们是相等的。
（待续......）