例1:证明,交换群的任何子群都是不变子群。
证:设(G,o)是交换群,H≤G,
对任意的a∈G,显然都有aH = {a o h|h∈H} = {h o a|h∈H} = Ha。
所以H⊿G。
【注:规范的不变子群符号是一个顶角指向左边的等腰三角形】
推论:
①循环群的子群都是不变子群;
②素数阶群的任何子群都是不变子群。
例2:证明,平凡子群是不变子群。
证:设(G,o)是一个群,则{e}和G本身是G的平凡子群。
①对∀a∈G,
显然a{e} = {a o e} = {a} = {e o a} = {e}a,
所以{e}是G的不变子群。
②下面证对∀a∈G,有aG = G = Ga:
对∀x∈G,有x = (a o a^(-1)) o x = a o (a^(-1) o x)∈aG,
即x∈aG,从而退出G⊆aG,又由aG的定义可知aG⊆G,所以G = aG,
同理可得Ga = G,
所以G⊿G。
例3:证明,设(G,o)是一个群,若N = {n∈G|n o a = a o n,a∈G},则N⊿G。
【这个不变子群称为G的中心,记作:C(G)。】
证:①对∀a∈G,有e o a = a = a o e,
所以e∈N,即N≠∅;
②∀n₁,n₂∈N,对∀a∈G,
有n₁ o a = a o n₁,n₂ o a = a o n₂,
所以(n₁ o n₂) o a = n₁ o (n₂ o a) = n₁ o (a o n₂) = (n₁ o a) o n₂ = (a o n₁) o n₂ = a o (n₁ o n₂),
所以n₁,n₂∈N;
③n₁^(-1) o a = (n₁^(-1) o a) o (n₁ o n₁^(-1)) = n₁^(-1) o (a o n₁) o n₁^(-1) = n₁^(-1) o (n₁ o a) o n₁^(-1) = (n₁^(-1) o n₁) o (a o n₁^(-1)) = a o n₁^(-1),
根据子群的第一判定定理,可得N≤G;
④由N的定义,易得aN = {a o n|n∈N} = {n o a|n∈N} = Na,
所以N⊿G。
例4:证明:
(1)K₄⊿A₄;
(2)N = {(1),(123),(132)}⊿S₃;
(3)H = {(1),(12)}不是S₃的不变子群。
证:(1)①因为K₄ = {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},
对∀a∈K₄,均有aK₄ = K₄a = K₄;
②因为(123)K₄ = K₄(123) = {(123),(134),(243),(142)},所以对∀a∈(123)K₄,有aK₄ = K₄a = (123)K₄;
③同②,因为(132)K₄ = K₄(132) = {(132),(143),(234),(124)},所以对∀a∈(132)K₄,有aK₄ = K₄a = (132)K₄,
同理可推出对∀a∈A₄,都有aK₄ = K₄a,
所以K₄⊿A₄。
(2)已知N是S₃的子群,运用(1)中同样的枚举法,易得对∀a∈S₃,有aN = Na,从而N⊿S₃。
(3)H = {(1),(12)}≤S₃,但对于(123)∈S₃,(123)H = {(123),(13)},而H(123) = {(123),(23)},即(123)H ≠ H(123),所以不满足不变子群的条件,
∴H不是S₃的不变子群。
[注:aN = Na并不是说a和N中的每一个元都适合交换律,而仅仅是作为集合它们是相等的。]
(待续......)