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计算从位置 x 到 y 的最少步数

问题描述

小F正在进行一个 AB 实验，需要从整数位置 x 移动到整数位置 y。每一步可以将当前位置增加或减少，且每步的增加或减少的值必须是连续的整数（即每步的移动范围是上一步的 -1，+0 或 +1）。首末两步的步长必须是 1。求从 x 到 y 的最少步数。

输入描述

输入包含两个整数 x 和 y，表示起始位置和目标位置。

输出描述

输出从 x 到 y 所需的最小步数。

测试样例

样例1：

输入：x_position = 12, y_position = 6

输出：4

样例2：

输入：x_position = 34, y_position = 45

输出：6

样例3：

输入：x_position = 50, y_position = 30

输出：8

样例4：

输入：x_position = 0, y_position = 0

输出：0

思路

首先处理特殊情况，x和y距离如果是0或1，直接返回

然后模拟情况，如下（orz

距离	步数变化	最小步数
0	0	0
1	1	1
2	1 1	2
3	1 1 1	3
4	1 2 1	3
5	1 2 1 1	4
6	1 2 2 1	4
7	1 2 2 1 1	5
8	1 2 2 2 1	5
9	1 2 3 2 1	5
10	1 2 3 2 1 1	6
...	...	...
13	1 2 3 3 2 1 1	7
...	...	...
20	1 2 3 4 4 3 2 1	8

暴力

根据规律，其实就是一个等差数列， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> S n = n a 1 + n ( n − 1 ) d 2 S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2} </math>Sn=na1+2n(n−1)d，所以可以先遍历求出步长最大值a，对于最大步长的预设值，假设刚好是一个回文的字符串，那么最大步长范围为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a ≈ ( a + 1 ) a 2 ∗ 2 ≈ 步长和 a \approx \sqrt{\frac{(a+1)a}{2}*2}\approx \sqrt{步长和} </math>a≈2(a+1)a∗2 ≈步长和，然后对剩余步数来进行遍历

按规律等差数列求和左右两边已走步数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a + a ( a − 1 ) 2 = a 2 + a 2 = a ( a + 1 ) 2 ⇒ a ( a + 1 ) 2 + a ( a − 1 ) 2 a+\frac{a(a-1)}{2} = \frac{a^2+a}{2}=\frac{a(a + 1)}{2}\Rightarrow \frac{a(a+1)}{2}+\frac{a(a-1)}{2} </math>a+2a(a−1)=2a2+a=2a(a+1)⇒2a(a+1)+2a(a−1)
剩余步数： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r e s = d i s t − c n t res = dist-cnt </math>res=dist−cnt,这是就只要考虑剩下步数是直接用最大的步长还是用1来填充

简化

因为这个问题是求出最小步数，可以把问题简化为

对于能够用等差数列求和的，步数为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a + ( a − 1 ) = 2 a + 1 a + (a - 1)=2a+1 </math>a+(a−1)=2a+1
根据上面讲述的a和步长和的关系，可以求出剩余步数为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> d i s t − a ∗ a dist-a*a </math>dist−a∗a，然后就要考虑补充1还是补充a
1. 补充a
  
  说明此时剩余步数是a的倍数，补充a的步数为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 剩余步数 a \frac{剩余步数}{a} </math>a剩余步数
2. 补充1
  
  补充1不补充a说明a不能整除剩余步数，所以此时看余数就是补充1的步数数量

python 复制代码

def solution(x_position, y_position):
    dist = abs(x_position - y_position)
    if dist == 0:
        return 0
    elif dist == 1:
        return 1
    a = math.isqrt(dist)
    cnt = (dist - a * a) // a
    if (dist - a * a) % a:
        cnt += 1
    return cnt + 2 * a - 1

对步长递增取值和递减取值的思考

根据题目要求每步的移动范围是上一步的 -1，+0 或 +1和首末两步的步长必须是 1。求从 x 到 y 的最少步数这两个条件进行模拟，可以看出需要使用等差数列来作为解题的核心。

条件：最小步数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> → \rightarrow </math>→步长尽可能的大，所以在移动范围的限制下，递增可以最快的将步数达到需求，同时考虑到最后一步为1，那么最后一步和递增最大点之间应该是0或者-1的关系，可以将0的插入思考全部放在递减部分，那么0怎么插入递减的步数中？选择范围为最大步长到1，如果不使用最大步长a，那么可能剩余的数为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ 1 , a − 1 ] [1,a-1] </math>[1,a−1]之间，这时候0可以插入中间满足要求的数，使取值在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ 1 , a − 1 ] [1,a-1] </math>[1,a−1]的这个数值加上后总步数为x和y的距离