可被K整除的子数组问题 ｜ 豆包MarsCode AI 刷题

问题描述

小F正在研究数组的子数组问题。给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，你需要找到数组中所有元素之和可以被 k 整除的非空子数组的数目。注意，子数组是数组中的连续部分。

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测试样例

样例1：

输入：nums = [4,5,0,-2,-3,1] ,k = 5

输出：7

样例2：

输入：nums = [1,2,3] ,k = 3

输出：3

样例3：

输入：nums = [-1,2,9] ,k = 2

输出：2

思路分析

1. 前缀和的概念：

   • 前缀和是指从数组的开头到某个位置的所有元素之和。例如，对于数组 [a1, a2, a3, ..., an]，其前缀和数组为 [s1, s2, s3, ..., sn]，其中 si = a1 + a2 + ... + ai。

2. 利用前缀和求解：

   • 如果两个前缀和 s1 和 s2 满足 (s1 - s2) % k == 0，那么从 s2+1 到 s1 的子数组之和就能被 k 整除。
   • 因此，我们可以使用前缀和来解决这个问题。具体来说，我们需要记录每个前缀和对 k 取模的结果，并统计这些结果的出现次数。

3. 处理负数情况：

   • 在 JavaScript 中，模运算可能会产生负数结果。为了避免这种情况，如果模运算结果为负数，我们需要将其调整为正数。

具体步骤

1. 初始化前缀和 prefixSum 为 0，并创建一个哈希表 prefixSumModK 来存储前缀和对 k 取模的结果及其出现次数。初始时，将 prefixSumModK.set(0, 1) 设置为 1，表示前缀和为 0 的情况已经存在一次。
2. 遍历数组 nums，计算当前前缀和 prefixSum。
3. 计算当前前缀和对 k 取模的结果 modulus，并确保其为非负数（即 modulus < 0 时，modulus += k）。
4. 更新计数 count，加上 prefixSumModK.get(modulus) 的值（如果没有出现过，则取默认值 0）。
5. 更新 prefixSumModK 中 modulus 的计数。
6. 返回最终的计数 count。

代码详解

function solution(nums, k) {
    let count = 0;
    let prefixSum = 0;
    let prefixSumModK = new Map();  // 初始化前缀和对 k 取模的哈希表，包含 0 的位置为 1
    prefixSumModK.set(0, 1);  // 初始化时设置 0 的位置为 1

    for (let num of nums) {
        prefixSum += num;
        let modulus = prefixSum % k;
        if (modulus < 0) modulus += k;  // 处理负数情况，确保模运算结果为非负数
        count += (prefixSumModK.get(modulus) || 0);  // 以当前位置为结束位置的子数组和可以被 k 整除的数量
        prefixSumModK.set(modulus, (prefixSumModK.get(modulus) || 0) + 1);  // 更新前缀和对 k 取模的值
    }

    return count;
}

// 测试代码
console.log(solution([4, 5, 0, -2, -3, 1], 5) === 7);
console.log(solution([1, 2, 3], 3) === 3);
console.log(solution([-1, 2, 9], 2) === 2);

涉及到的知识点

1. 前缀和

• 定义：前缀和是指从数组的开头到某个位置的所有元素之和。
• 用途 ：通过前缀和可以快速计算任意子数组的和。如果两个前缀和的差值能被 k 整除，那么这两者的子数组之和也能被 k 整除。

2. 模运算

• 定义：模运算是一种取余运算，通常用于确定一个数除以另一个数的余数。
• 处理负数 ：在某些编程语言中，模运算可能会产生负数结果。为了保证模运算结果为非负数，需要进行适当的调整（如 if (modulus < 0) modulus += k）。

3. 哈希表（Map）

• 定义：哈希表是一种数据结构，可以在常数时间内完成插入、删除和查找操作。
• 用途 ：本题中使用哈希表来记录前缀和对 k 取模的结果及其出现次数，从而高效地统计满足条件的子数组数量。

4. 子数组

• 定义：子数组是原数组中的连续部分。
• 求解方法：通过前缀和的方法，可以快速找到所有符合条件的子数组。

5. 计数与统计

• 目的：统计满足条件的子数组数量。
• 实现方式：在遍历数组的过程中，通过更新哈希表中的计数来统计符合条件的子数组。

总结

通过青训营豆包MarsCode AI刷题，我学到了以下几点：

1. 前缀和的概念及应用：

   • 前缀和可以帮助我们快速计算任意子数组的和。这对于解决一些涉及子数组和的问题非常有用。

2. 模运算的理解：

   • 模运算是一种取余运算，用于确定一个数除以另一个数的余数。理解如何处理模运算中的负数结果对于编程非常重要。

3. 哈希表的应用：

   • 哈希表是一种高效的键值对存储结构，适用于频繁的插入、删除和查找操作。在这类问题中，哈希表可以帮助我们快速统计符合条件的子数组数量。

4. 子数组的统计方法：

   • 通过前缀和和哈希表的结合使用，可以有效地统计出满足特定条件的子数组数量。这种方法不仅效率高，而且易于理解和实现。

5. 算法优化思路：

   • 这类问题展示了如何将多个概念（前缀和、模运算、哈希表）结合起来，达到优化算法的目的。理解这种组合思维有助于解决更多复杂问题。 总而言之，通过刷题我不仅学会了如何应用前缀和和哈希表，还了解了如何处理模运算中的边界条件和负数情况。这些技能在处理其他类似的数组问题时也非常有用。