469. 环形数组最大子数组和问题

题解：环形数组的最大子数组和

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问题描述

我们需要找到一个环形数组的最大子数组和，即找到一段连续的子数组（可能跨越数组的首尾连接）使得其和最大。

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解决思路

环形数组的最大子数组和问题，可以分为两种情况讨论：

1. 子数组没有跨越数组的首尾（普通子数组）。

   • 这种情况下，问题退化为经典的 最大子数组和 问题，可以用 Kadane 算法 高效解决。

2. 子数组跨越了数组的首尾。

   • 这种情况下，最大子数组和可以表示为： [ \text{totalSum} - \text{minSubarraySum} ]
     • totalSum 是数组的总和。
     • minSubarraySum 是子数组的最小和。

因此，我们需要分别计算：

• 普通的最大子数组和（Kadane 算法）。
• 数组的总和。
• 最小子数组和（Kadane 算法的变体）。

最后，结果为以下两者的最大值： [ \text{result} = \max(\text{maxSubarraySum}, \text{totalSum} - \text{minSubarraySum}) ]

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特殊情况

如果数组中所有元素都为负数，跨越首尾的子数组和将等于 (\text{totalSum} - \text{minSubarraySum} = 0)，这不合法。此时应直接返回普通的最大子数组和。

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算法步骤

1. 使用 Kadane 算法求解普通的最大子数组和（maxSubarraySum）。
2. 计算数组的总和（totalSum）。
3. 使用 Kadane 算法求解最小子数组和（minSubarraySum）。
4. 如果 totalSum == minSubarraySum（所有元素为负数），直接返回 maxSubarraySum。
5. 否则返回： [ \max(\text{maxSubarraySum}, \text{totalSum} - \text{minSubarraySum}) ]

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代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

// 使用 Kadane 算法计算最大或最小子数组和
int kadane(const std::vector<int>& nums, bool findMax) {
    int current = nums[0], best = nums[0];
    for (size_t i = 1; i < nums.size(); ++i) {
        if (findMax) {
            current = std::max(nums[i], current + nums[i]);
            best = std::max(best, current);
        } else {
            current = std::min(nums[i], current + nums[i]);
            best = std::min(best, current);
        }
    }
    return best;
}

// 主函数：环形数组的最大子数组和
int solution(std::vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    
    // Case 1: 最大子数组和（不考虑环形）
    int maxSubarraySum = kadane(nums, true);
    
    // Case 2: 数组的总和
    int totalSum = 0;
    for (int num : nums) {
        totalSum += num;
    }
    
    // Case 3: 最小子数组和
    int minSubarraySum = kadane(nums, false);
    
    // Case 4: 判断是否需要考虑环形情况
    if (totalSum == minSubarraySum) {
        // 如果总和等于最小子数组和，说明所有元素为负数，只能返回 maxSubarraySum
        return maxSubarraySum;
    } else {
        // 否则，返回普通最大子数组和或环形最大子数组和中的较大值
        return std::max(maxSubarraySum, totalSum - minSubarraySum);
    }
}

// 测试用例
int main() {
    std::vector<int> nums1 = {-1, -2, 3, -2};
    std::vector<int> nums2 = {-5, -3, 5};
    std::vector<int> nums3 = {-3, -1, 2, -1};
    std::vector<int> nums4 = {-2, -3, -1};

    std::cout << (solution(nums1) == 3) << std::endl; // 输出：3
    std::cout << (solution(nums2) == 5) << std::endl; // 输出：5
    std::cout << (solution(nums3) == 2) << std::endl; // 输出：2
    std::cout << (solution(nums4) == -1) << std::endl; // 输出：-1
    return 0;
}

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代码解析

1. Kadane 算法

   • 用于求解最大或最小子数组和。
   • 时间复杂度为 (O(n))。

2. 特殊处理

   • 当数组中所有元素均为负数时，totalSum == minSubarraySum，无法通过环形方式求解。这时直接返回 maxSubarraySum。

3. 结果计算

   • 普通最大子数组和 maxSubarraySum。
   • 环形最大子数组和 totalSum - minSubarraySum。
   • 返回两者的较大值。

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复杂度分析

1. 时间复杂度

   • Kadane 算法求解最大和最小子数组各需 (O(n))。
   • 计算总和需要 (O(n))。
   • 总时间复杂度：(O(n))。

2. 空间复杂度

   • 使用常数额外空间。
   • 总空间复杂度：(O(1))。

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测试分析

示例 1

输入：nums = [-1, -2, 3, -2]

• maxSubarraySum = 3（子数组为 [3]）。
• totalSum = -2。
• minSubarraySum = -4（子数组为 [-1, -2]）。
• totalSum - minSubarraySum = 2。
• 输出：max(3, 2) = 3。

示例 2

输入：nums = [-5, -3, 5]

• maxSubarraySum = 5。
• totalSum = -3。
• minSubarraySum = -8。
• totalSum - minSubarraySum = 5。
• 输出：max(5, 5) = 5。

示例 3

输入：nums = [-3, -1, 2, -1]

• maxSubarraySum = 2。
• totalSum = -3。
• minSubarraySum = -5。
• totalSum - minSubarraySum = 2。
• 输出：max(2, 2) = 2。

示例 4

输入：nums = [-2, -3, -1]

• maxSubarraySum = -1。
• totalSum = -6。
• minSubarraySum = -6。
• totalSum == minSubarraySum，返回 `maxSubarraySum =

-1。

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总结

1. 问题拆解

   • 普通子数组和问题使用 Kadane 算法解决。
   • 环形子数组和问题通过 totalSum - minSubarraySum 转化。

2. 关键点

   • 需要处理特殊情况：所有元素为负数时，只能返回普通的最大子数组和。

3. 算法效率

   • 时间复杂度 (O(n)) 和空间复杂度 (O(1)) 确保算法能够高效处理大规模数组。

4. 代码优势

   • 简洁明了，易于扩展。
   • 通过分情况处理，覆盖所有可能的输入场景。

此方法是一种优化的、通用的解决方案，可以很好地解决环形数组的最大子数组和问题。