- "大小"：在特征值分解和奇异值分解中，矩阵的"大小"通常由特征值或者奇异值表示，它们描述了矩阵在不同方向上拉伸或压缩的程度。
- "方向"：特征向量和奇异值分解中的方向矩阵 ( U ) 和 ( V ) 则描述了矩阵作用下空间中各个方向的变化。
矩阵分解的思想是通过将一个矩阵分解成多个较小的矩阵，这些较小的矩阵的乘积可以恢复原矩阵。在这种分解中，矩阵的大小和方向（或者说是其构成的性质）经常会显现出来。通过分解矩阵，我们可以揭示其内在结构，并在许多领域中应用这一思想，如线性代数、计算机科学、物理学等。
举例说明：矩阵的大小和方向的分解
假设我们有一个矩阵 ( A )，它是一个 ( 3 \times 3 ) 的矩阵：
A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} A= 147258369
1. 特征值分解（Eigenvalue Decomposition）
特征值分解是线性代数中的一种重要分解方法。每个方阵都可以分解为一组特征值和特征向量的乘积。特征值分解揭示了矩阵的"大小"和"方向"信息。
特征值分解的形式为：
A = V Λ V − 1 A = V \Lambda V^{-1} A=VΛV−1
其中 ( V ) 是包含特征向量的矩阵， ( \Lambda ) 是一个对角矩阵，包含特征值。
在这个例子中，如果我们对矩阵 ( A ) 进行特征值分解，假设得到了以下结果：
V = [ − 0.2319 0.7859 − 0.5745 − 0.5257 0.0868 0.8504 − 0.8180 − 0.6123 − 0.2106 ] , Λ = [ 16.1168 0 0 0 − 1.1168 0 0 0 0 ] V = \begin{bmatrix} -0.2319 & 0.7859 & -0.5745 \\ -0.5257 & 0.0868 & 0.8504 \\ -0.8180 & -0.6123 & -0.2106 \end{bmatrix}, \quad \Lambda = \begin{bmatrix} 16.1168 & 0 & 0 \\ 0 & -1.1168 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} V= −0.2319−0.5257−0.81800.78590.0868−0.6123−0.57450.8504−0.2106 ,Λ= 16.1168000−1.11680000
从中我们可以看到：
- ( Λ \Lambda Λ ) 中的特征值 ( 16.1168 )，( -1.1168 ) 和 ( 0 ) 描述了矩阵的"大小"，即矩阵作用下空间的缩放程度。
- ( V ) 中的列向量是矩阵 ( A ) 的特征向量，它们对应的方向是空间中的"方向"。这些特征向量表示在矩阵 ( A ) 的作用下，空间的伸缩方向。
所以，矩阵 ( A ) 的分解告诉我们如何将原矩阵 ( A ) 转换为基于特征向量的新坐标系，这样可以更直观地理解矩阵如何作用在空间中的"方向"和"大小"上。
2. 奇异值分解（SVD）
奇异值分解（Singular Value Decomposition）是另一种常用的矩阵分解方法，它能将一个任意的矩阵分解成三个矩阵的乘积，揭示矩阵在"大小"和"方向"上的变化。
奇异值分解的形式为：
A = U Σ V T A = U \Sigma V^T A=UΣVT
其中：
- ( U ) 和 ( V ) 是正交矩阵，包含了矩阵的"方向"信息；
- Σ \Sigma Σ 是一个对角矩阵，包含了奇异值，表示矩阵的"大小"信息。
以矩阵 ( A ) 为例，我们对其进行奇异值分解，可能得到如下结果：
U = [ − 0.2148 − 0.8872 0.4082 − 0.5206 − 0.3162 − 0.7894 − 0.8265 0.3348 0.4517 ] , Σ = [ 16.8481 0 0 0 1.0684 0 0 0 0 ] , V T = [ − 0.4797 − 0.5724 − 0.6651 − 0.7767 − 0.0753 0.6252 − 0.4082 0.8165 − 0.4082 ] U = \begin{bmatrix} -0.2148 & -0.8872 & 0.4082 \\ -0.5206 & -0.3162 & -0.7894 \\ -0.8265 & 0.3348 & 0.4517 \end{bmatrix}, \quad \Sigma = \begin{bmatrix} 16.8481 & 0 & 0 \\ 0 & 1.0684 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad V^T = \begin{bmatrix} -0.4797 & -0.5724 & -0.6651 \\ -0.7767 & -0.0753 & 0.6252 \\ -0.4082 & 0.8165 & -0.4082 \end{bmatrix} U= −0.2148−0.5206−0.8265−0.8872−0.31620.33480.4082−0.78940.4517 ,Σ= 16.84810001.06840000 ,VT= −0.4797−0.7767−0.4082−0.5724−0.07530.8165−0.66510.6252−0.4082
从中我们可以解读出：
- ( \Sigma ) 中的奇异值（如 ( 16.8481 ) 和 ( 1.0684 )）代表了矩阵在不同方向上的缩放因子，它们反映了矩阵作用下空间的"大小"变化。
- ( U ) 和 ( V ) 中的列向量分别代表了原矩阵在输入和输出空间中的"方向"向量。
通过奇异值分解，我们可以更清楚地看到矩阵对输入数据的影响：它通过"缩放"（奇异值）和"旋转"（方向矩阵 ( U ) 和 ( V )）来改变空间。
总结
- "大小"：在特征值分解和奇异值分解中，矩阵的"大小"通常由特征值或者奇异值表示，它们描述了矩阵在不同方向上拉伸或压缩的程度。
- "方向"：特征向量和奇异值分解中的方向矩阵 ( U ) 和 ( V ) 则描述了矩阵作用下空间中各个方向的变化。
这种分解方法不仅有助于理解矩阵的结构，还能在许多应用中提供计算优化和理论上的深刻洞察。