有如下方程组

,当矩阵 A 各列向量互不相关时, 方程组有位移解,可以使用消元法求解,具体如下:
使用消元矩阵将 A 变成上三角矩阵

,

,
使用消元矩阵作用于向量 b,得到向量 c,

,

,
Ax=b 消元后变为

,即

, 由于

为上三角矩阵, 使用回带法即可求解方程组。
对矩阵

做如下运算

。在消元过程中,已知

,如何求解

呢?

表示将矩阵A的第二行乘以 1 再加上矩阵A的第三行得到矩阵B的第三行,矩阵B的第一二行于矩阵A的第一二行保持一致。根据语义,

表示将矩阵B的第二行乘以 -1 再加上矩阵B的第三行得到矩阵A的第三行,矩阵A的第一二行于矩阵B的第一二行保持一致。

,

,
通过以上观察,

仅需将对角线下元素相加即可得到,

,在矩阵消元过程中,对消元系数取反,然后放在相应的位置即构成了

,也就是 L 。同时,消元法记录下了 U,则有 Ux=c, b=Lc。
由于 L 为下三角矩阵,根据 Lc=b, 可求解 c;U 为上三角矩阵, 根据 Ux=c 可求解 x。
在消元过程中,如果遇到主元位置上为 0 情况时,需要使用行变换矩阵使消元过程得以继续,PAx=Pb,P为行变换矩阵,记录矩阵 L,U,P,可实现LU分解,过程如下:
有方程组

,对矩阵

进行LU分解:
1)

,

,

;
2)

,

,

;
3)由于

为 0,需要交换2,3行,则有:

,

,

,交换L矩阵中小于第二列下变换因子位置,即交换

与

元素位置;
4)由于 Lc=Pb, 可计算出 c:

,

;
5)由于 Ux=c,可计算出 x:

,

。