数据结构 -RB Tree

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文章目录

💡红黑树
- [📖 简介](#📖 简介)
- - [✨ 特点](#✨ 特点)
  - [📏 规则](#📏 规则)
  - [🛤️ 路径](#🛤️ 路径)
- [➕ 插入](#➕ 插入)
- - [📏 规则](#📏 规则)
  - [📝 具体示例](#📝 具体示例)
  - [💻 代码实现](#💻 代码实现)
  - 🖼️示意图

💡红黑树

📖 简介

RB 指 red 和 black，是的，本文讲红黑树。

和AVL树一样，红黑树也是一颗二叉平衡搜索树。因此，如果对二叉搜索树不熟悉的，可以先去看看我写的数据结构 -Binary Search Tree -1 ；如果对二叉平衡搜索树不熟悉的，可以先去看看我写的数据结构 -AVL Tree。

✨ 特点

相较于AVL树，红黑树并没有特别严格的控制左右子树的高度差，而是规定最长路径不超过最短路径的二倍 需注意，这个不超过二倍不是通过控制具体高度得来的，而是在红黑树的一系列规则下自然达到的，因此，只要在插入删除时满足红黑树的规则，就可以达到不超过二倍的效果。而在之后的操作中，我们只需要关注局部符合 红黑树的性质，就能保证整体符合红黑树的性质。

📏 规则

红黑树通过颜色将所有节点分为两类：红节点和黑节点。并通过颜色控制树整体的形状。

现在简单介绍一下红黑树的规则：

性质1. 结点是红色或黑色。

性质2. 根结点是黑色。

性质3. 每个红色结点的两个子结点都是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点）

性质4. 从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点。

性质5. 所有叶子都是黑色。（叶子是NIL结点）

CV自：百度百科--红黑树

🛤️ 路径

这里重点解释一下性质5。

首先需要知道，NIL节点在此处就是指空节点。

那么为什么要特意强调空节点为黑呢？

这是大佬想让我们正确的认识路径，例如下面这棵树就不是红黑树：

因为如果将空节点补出来，那么将不满足所有路径黑节点相同这一规则：

再来理解一下为什么路径差可以不超过二倍：

首先，有几颗纯黑的树(由于需要满足黑节点数相同，因此都是完全二叉树)：

然后在符合规矩的情况下随意插入红色节点，或改变黑节点的颜色：

由于必须满足各路径黑节点数相同 + 红节点不能连续出现：

最长路径：红黑相间
最短路径：全黑

因此，只需要保证颜色符合红黑树的规定，那么高度就自然维持了平衡。

而空节点主要起辅助作用，可以帮助我们更好的理解路径，但在改变颜色和旋转二叉树这块不太需要在意空节点，因此，在之后的图中，我会省略空节点。

➕ 插入

在浅浅的理解了路径后，我们来玩牌吧。

现在花火会不断向我们发牌，而我们需要按红黑树的规则将牌摆放在正确的位置。

📏 规则

这里重新声明一下游戏规则：

规则一 ：牌面向下对应黑色节点，牌面向上对应红色节点

规则二 ：放置在最上方的手牌，牌面向下

规则三 ：不能出现连续两张牌面向上的牌（可以认为当放置了一张牌面向上的牌，那么其下面两张牌必定牌面向下）
错误示例 ：

规则四 ：对于每张手牌，左右路径牌面向下的手牌数相等

📝 具体示例

在插入的过程中，首先需要明确一点------手牌的初始为牌面向上 。(毕竟牌面向下都不能看到点数)

现在花火发下了第一张牌：
7 是根，因此我们把它翻一下：

规律一 ：是的，从第一张牌上就能总结出一个规律------如果一张牌为根，即没有父亲牌，则将其置为牌面向下。
第二张牌：

按二叉搜索树的规定，将它摆在 7 的左下。又因为没有违反红黑树的规定，因此维持牌面向上：

第三张牌：

与第二张牌类似，直接放在正确位置即可：

规律二：现在我们可以总结出第二个规律了------如果插入牌的父亲牌为牌面向下，则不用做其他调整。

花火发下第四张牌：

插入后，发现出事了：

按照规定，两张连续的手牌不能同时牌面向上。因此这里必须改变手牌的状态，改 Q明显不行，因为 9 和 7 都会违反左右路径牌面向下的手牌数相同 这条游戏规则(之后简称游戏规则四)，因此只能翻 9 ：

现在只有 7 违反游戏规则四，这个简单，翻6就行了：

规律三--其一：经过上面这一次插入，可以总结一个规律，虽然不完整，但值得记录------如果插入牌的父亲牌为牌面向上，插入牌的叔叔牌也为牌面向上，那么直接翻转父亲牌与叔叔牌。

花火发下了第五张牌：

插入后，发现又出事了：

首先，插入牌的父亲牌为牌面向上，不能用规律二，且不存在叔叔牌，因此不能用规律三，最最重要的一点：该情况违反了红黑树节点( 9 )到空节点的最长路径不超过最短路径的两倍。

这时就只能进行旋转了------在AVL世界线中，安比、妮可和铃为我们演示了四种旋转，对应一下，发现这里是左单旋，因此操作对象是插入牌的祖先牌 9。RotateL(Card* 9)，就能把 9 按下去：

现在需要做的就是翻牌了，为了保持 7 的右边路径只有一张手牌的牌面向下，我们将祖先牌 9 翻转、父亲牌 Q 翻转：

规律四--其一 ：依然是个不完整的规律------如果父亲牌为牌面向上，叔叔牌不存在，需要根据形状进行旋转。
规律五--其一：在AVL中，我们关注的是平衡因子，在RB中，我们需要关注牌的状态。而这条规律记录的是旋转后应该如何翻牌------如果是单旋，将祖先牌、父亲牌翻转。

花火发下了第六张牌：

没关系，先插入再说：

我们一看，父亲牌、叔叔牌都为牌面向上，这不是规律三吗，于是将这两张牌翻转：

很显然，违反了游戏规则四，这时如果改插入牌、父亲牌、叔叔牌都不行，这会否定我们总结的规律三，因此只能改祖先牌：

这次就没问题了。
规律三--其二：经过这一次插入，我们发现我们所操作的可能只是牌堆的一部分，此处的祖先牌翻转后可能又会违反游戏规则，因此在调整后可能还会继续向上调整------将祖先牌翻转，并将祖先牌作为插入牌继续调整。

花火发下了第七张牌：

这简单，直接插入就行：

可能是看我们已经很熟练了，花火嘿嘿一笑，发下了第八张牌：

老规矩，不管什么牌，先放在正确位置再谈调整：

首先，我们看到的是父亲牌、叔叔牌的牌面都向上，规律三在此处适用：

现在将 9 作为插入牌，继续调整。

父亲牌为牌面向上，再看看叔叔牌，牌面向下！？之前的规律似乎没有针对这种情况的。

看看高度，好家伙，祖先牌 7 不满足左右高度相等，需要进行旋转。

再看看形状------V字形，符合AVL世界线中的右左双旋，根据安比、妮可、铃的演示，我们对这种旋转有了清晰的认识，因此直接两步到位：

先把插入牌、父亲牌、祖先牌拆开，插入牌与其左路径、右路径也拆开：

祖先牌变插入牌的左子牌，父亲牌变插入牌的右子牌，并重新连接：

最后翻转插入牌 9 ，翻转祖先牌 7，以维持当前局部牌面向下的牌数不变：

规律四--其二 ：补充的规律四------如果父亲牌的牌面向上，叔叔牌的牌面向下，也要根据形状进行旋转。
规律五--其二：应该是最后一条规律了------如果进行双旋，将祖先牌、插入牌翻转。

💻 代码实现

花火一看我们竟然完成了较为复杂的插入，于是直接扔出五张牌：

手牌的点数都改了，我们能忍吗？当然不能。

于是掏出了电脑，来搓个红黑树的插入：

首先定义手牌 Card：

cpp 复制代码

template<class K,class V>
struct Card
{
	pair<K, V> _kv;
	Card<K, V>* _pLeft;
	Card<K, V>* _pRight;
	Card<K, V>* _pParent;
	int _status;

	Card(const pair<K,V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_pLeft(nullptr)
		,_pRight(nullptr)
		,_pParent(nullptr)
		,_status(UP)
	{}
};

初始状态 _status 为 UP ，即牌面向上。

为了方便，我搞了几个宏定义：

cpp 复制代码

#define UP 1
#define DOWN -1
#define TURN_OVER ->_status*=-1
#define IS_UP ->_status==UP
#define IS_DOWN ->_status==DOWN

UP即牌面向上，DOWN即牌面向下，TURN_OVER用来翻牌，IS_UP、IS_DOWN用来判断手牌的状态。

然后速速搭好树的框架：

cpp 复制代码

template<class K,class V>
class RBTree
{
	typedef Card<K, V> Card;
public:
	//Insert
private:
	Card* _root = nullptr;
};

接下来开始写插入。

首先，对每张手牌，都要先按二叉搜索树的规则放在正确的位置，这里就可以CV一下AVL的了：

cpp 复制代码

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Card(kv);
		_root->_status = DOWN;
		return true;
	}

	Card* cur = _root;
	Card* p = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first == kv.first)return false;

		p = cur;
		if (cur->_kv.first < kv.first)cur = cur->_pRight;
		else cur = cur->_pLeft;
	}

	cur = new Card(kv);
	if (p->_kv.first < kv.first)p->_pRight = cur;
	else p->_pLeft = cur;
	cur->_pParent = p;

接下来就是调整手牌的状态了。我把刚刚总结的规律汇总了一下：
规律一 ：如果一张牌为根，即没有父亲牌，则将其置为牌面向下。
规律二 ：如果插入牌的父亲牌为牌面向下，则不用做其他调整。
规律三 ：如果插入牌的父亲牌为牌面向上，插入牌的叔叔牌也为牌面向上，那么翻转父亲牌、叔叔牌、祖先牌，并将祖先牌作为插入牌继续调整。
规律四 ：如果父亲牌为牌面向上，叔叔牌不存在(空) 或牌面向下，需要根据形状进行旋转。
规律五：如果是单旋，将祖先牌、父亲牌翻转；如果进行双旋，将祖先牌、插入牌翻转。

因此，循环的条件可以写为父亲牌存在且牌面向上：

cpp 复制代码

	while (p && p IS_UP){

然后将祖先牌，叔叔牌拿到：

cpp 复制代码

		Card* g = p->_pParent;
		Card* u = g->_pLeft == p ? g->_pRight : g->_pLeft;

如果叔叔牌存在且牌面向上，翻转三张牌，并继续向上调整(continue)

cpp 复制代码

		if (u && u IS_UP)
		{
			u TURN_OVER, g TURN_OVER, p TURN_OVER;
			cur = g; p = cur->_pParent;
			continue;
		}

如果叔叔牌不存在或牌面向下，需要根据形状进行旋转，并翻转对应的手牌，然后退出循环(break)：

cpp 复制代码

		else if (p == g->_pLeft && cur == p->_pLeft)
			RotateR(g), p TURN_OVER, g TURN_OVER;
		else if (p == g->_pRight && cur == p->_pRight)
			RotateL(g), p TURN_OVER, g TURN_OVER;
		else if (p == g->_pLeft && cur == p->_pRight)
			RotateL(p), RotateR(g), cur TURN_OVER, g TURN_OVER;
		else if (p == g->_pRight && cur == p->_pLeft)
			RotateR(p), RotateL(g), cur TURN_OVER, g TURN_OVER;
		break;
	}

有三种方式到达循环外：

一种是进行了翻转，这种情况不需要做任何调整；
还有一种是父亲牌的牌面向下，这种情况也不需要做任何调整；
最后一种情况是没有父亲牌，此时插入的手牌为根，需要将状态调整为牌面向下。

因此，为了不做多余的判断，这里统一让根保持牌面向下：

cpp 复制代码

	_root->_status = DOWN;
	return true;
}

旋转的函数去CV一下AVL的就行，记得删掉平衡因子。

🖼️示意图

最后来复个盘：

希望本篇文章对你有所帮助！并激发你进一步探索编程的兴趣！

本人仅是个C语言初学者，如果你有任何疑问或建议，欢迎随时留言讨论！让我们一起学习，共同进步！