蓝桥杯每日真题 - 第12天

题目：（数三角）

题目描述（14届 C&C++ B组E题）

解题思路：

给定 n 个点的坐标，计算其中可以组成 等腰三角形 的三点组合数量。

核心条件：等腰三角形的定义是三角形的三条边中至少有两条边的长度相等。
坐标平面上的三点是否共线：如果三点共线，它们无法组成三角形。该程序在计算三点组合时，会排除共线的情况。
解决方案 ：对于每个点 i，计算它与其他点之间的距离，并将具有相同距离的点分组，保存在一个映射表（map）中。随后从每组具有相同距离的点中，组合出两个点，构成一个等腰三角形。

代码实现（C++）：

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using pll = pair<ll, ll>;
double dis(ll x1, ll y1, ll x2, ll y2){
    return pow((x1 - x2), 2) + pow((y1-y2),2);
}
bool check(pll p1, pll p2, pll p3){//判断是否三点共线
    if(p1.second == p2.second || p1.second == p3.second)  return p1.second == p2.second && p1.second == p3.second;
    double a = (p1.first - p2.first) * 1.0 / (p1.second-p2.second);
    double b = (p1.first - p3.first) * 1.0 / (p1.second-p3.second);
    return abs(a - b) < 1e-6;
}
int main() {
    ll n; cin >> n;
    vector<pll> arr;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        ll x, y;
        cin >> x >> y;
        arr.emplace_back(x, y);
    }
    ll ans = 0;
    //equ[i]存储的是第i个点所对应的map表
    //map表的含义是 有哪些点到第i个点的距离为key，这些点的下标用一个vector收集
    vector<map<double,vector<int>>> equ(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        auto m= equ[i];
        for(int j = 0; j < n; ++j){//遍历其他的所有点，在map中记录相等距离
            if(i != j){
                pll p1 = arr[i]; pll p2 = arr[j];
                double d = dis(p1.first,p1.second,p2.first,p2.second);
                m[d].push_back(j);
            }
        }
        //收集完成之后，遍历这张map表
        for(const auto& [k,v] : m){
            for(int a = 0; a < v.size(); ++a){ //从到当前点的距离相等的点之中选取两个点a，b
                for(int b = a + 1; b < v.size(); ++b){
                    if(!check(arr[i],arr[v[a]],arr[v[b]])){//只要不是三点共线
                        ans++;
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << ans;
}

得到运行结果：

代码分析：

距离计算 ：dis 函数计算两个点之间的欧几里得距离的平方，这样可以避免使用浮点运算。
三点共线判断 ：check 函数通过检查斜率是否相等来判断三点是否共线。通过分段计算和比较斜率来避免浮点数精度误差。
构建距离映射 ：对于每个点 iii，计算它到其他点的距离，并使用 map 将这些距离相等的点分组。
等腰三角形组合计数：从距离相等的点中选择两个不同的点与当前点 iii 组合成三角形，检查是否共线。若不是共线，则计数增加。

难度分析

⭐️⭐️⭐️⭐️

总结

时间复杂度 ：该算法的复杂度为，因为它使用三重循环来枚举所有三点组合。
空间复杂度 ：使用了 map 来存储每个点到其他点的距离信息，相应的空间复杂度为。