卷积运算
卷积运算是信号处理、图像处理和深度学习中的核心概念，用于表示两个函数之间的相互作用。它将一个函数通过滑动窗口的方式与另一个函数结合，产生一个新的函数，反映两者的重叠程度。
1. 定义
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连续信号的卷积： 给定两个连续函数 f(t) 和 g(t) ，它们的卷积定义为：
其中：
- t 是输出信号的时间变量。
是中间变量，用于计算 f 和 g 的重叠。
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离散信号的卷积： 给定两个离散序列 f[n] 和 g[n] ，它们的卷积定义为：
在实际计算中，信号长度通常有限，求和区间取有限范围。
2. 卷积运算的直观理解
卷积可以理解为：
- 将一个信号 g(t) 翻转后平移，与另一个信号 f(t) 逐点相乘并求和，得到新的信号。
- 在图像处理中，卷积用于提取特征，比如边缘检测、模糊化等。
卷积定理
卷积定理揭示了卷积运算在时域和频域之间的重要关系，是信号处理和傅里叶分析的重要理论。
1. 定理陈述
卷积定理说明：两个信号在时域中的卷积等价于它们在频域中的乘积。
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连续信号的卷积定理： 如果 F(ω) 和 G(ω) 分别是 f(t) 和 g(t) 的傅里叶变换，则有：
即，时域卷积对应于频域相乘。
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离散信号的卷积定理： 如果 F[k] 和 G[k] 分别是 f[n] 和 g[n] 的离散傅里叶变换（DFT），则：
同样，时域卷积等价于频域相乘。
2. 定理的逆向形式
卷积定理的逆向形式： 两个信号在频域中的卷积等价于它们在时域中的乘积：
卷积的计算示例
1. 离散卷积的计算
给定两个序列：
计算它们的离散卷积：
手动计算结果：
- 对 n=0 :
- 对 n=1 :
- 对 n=2 :
- 对 n=3 :
- 对 n=4 :
最终结果：
2. Python实现卷积
使用numpy库计算卷积：
python
import numpy as np
# 定义两个信号
f = np.array([1, 2, 3])
g = np.array([0, 1, 0.5])
# 计算卷积
result = np.convolve(f, g, mode='full')
print("卷积结果:", result)