数据结构——小小二叉树第三幕（链式结构的小拓展，二叉树的创建，深入理解二叉树的遍历）超详细！！！

文章目录

前言
一、二叉树的层序遍历
二、二叉树的有关习题
- [2.1 单值二叉树](#2.1 单值二叉树)
- - 题目
  - 思路
  - 代码
- [2.2 相同的树](#2.2 相同的树)
- - 题目
  - 思路
  - 代码
- [2.3 对称的树](#2.3 对称的树)
- - 题目
  - 思路
  - 代码
- [2.4 二叉树的遍历](#2.4 二叉树的遍历)
- - 题目
  - 思路
  - 代码
- [2.5 二叉树的遍历](#2.5 二叉树的遍历)
- - 题目
  - 思路
  - 代码
- [2.6 二叉树的有关选择题](#2.6 二叉树的有关选择题)
总结

前言

上篇博客我们学习了链式结构的二叉树，从递归角度 实现了二叉树的前中后序遍历 以及各种有关二叉树的结点个数和高度 等函数，今天我们来学习一个不使用递归的二叉树的层序遍历 以及一些二叉树有关的算法题，发车咯

一、二叉树的层序遍历

二叉树的层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发 ，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2层上的结点，接着是第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

层序遍历还要借助我们的数据结构：队列

对队列不熟悉的可以看看我的这篇博客嗷

链接：栈和队列

有图才能有真相

其实就是当前一层的结点入队列 ，然后一个一个出队列，出队列时把该节点的左右孩子入队列，这样下一个层级的结点就跟着上一层结点之后啦，重复这个操作，层序遍历就完成啦。话不多说，上代码

这是队列的结构以及一些函数的声明
这里把之前的 int 改成 BTNode 就好啦队列里面的元素是二叉树的结点类型*

cpp 复制代码

typedef BTNode* QDataType;    //   int  改成  BTNode*
typedef struct QueueNode  //  队列内每个元素用链式结构 一个一个结点连接
{
	QDataType data;
	struct QueueNode* next;
}QueueNode;

typedef struct Queue   //  队列  
{
	QueueNode* phead;     // 队头
	QueueNode* ptail;     // 队尾
	int size;  
}Queue;

void QueueInit(Queue* pq);  //  队列初始化  

void QueuePush(Queue* pq, QDataType x);   //  入队 

void QueuePop(Queue* pq);	//  出队    

bool QueueEmpty(Queue* pq);	// 判空函数  

QDataType QueueFront(Queue* pq);  //  获取对头元素  

QDataType QueueBack(Queue* pq);		//  获取队尾元素

int QueueSize(Queue* pq);		//  队内有效元素

void QueueDestory(Queue* pq);    //  销毁队列   

void QueuePrint(Queue* pq);   //  打印  方便测试代码

借助队列实现层序遍历

cpp 复制代码

// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{
	//借助数据结构------队列
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);  //  初始第一层的根结点入队列   
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		//取队头，出队头
		BTNode* top = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		cout<< top->data;
		//将队头左右孩子入队列（不为空）
		if (top->left)
		{
			QueuePush(&q, top->left);
		}
		if (top->right)
		{
			QueuePush(&q, top->right);
		}
	}
	QueueDestroy(&q);
}

学习了层序遍历之后，我们可以用它来判断二叉树是否为完全二叉树 ，因为完全二叉树是一层一层去填满每一个结点的，不能跳着填。
思路：正常层序遍历二叉树，当遇到空结点时，跳出循环，此时如果是完全二叉树，那它之后的结点除了空结点是没有有效结点的，如果有，那就不是完全二叉树。

cpp 复制代码

// 判断⼆叉树是否是完全⼆叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		//取队头，出队头
		BTNode* top = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (top == NULL)
		{
			break;
		}
		//把不为空的队头结点的左右孩子入队列
		QueuePush(&q, top->left);
		QueuePush(&q, top->right);
	}
	//  第一个循环之后，来到第二个循环，没有遇到有效元素就是完全二叉树
	//队列不一定为空，继续取队头出队头  
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* top = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (top != NULL)
		{
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
	}
	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

层序遍历就到这里啦

二、二叉树的有关习题

2.1 单值二叉树

习题链接：单值二叉树

题目

思路

思路：本题给定一个二叉树，判断所有的结点的值是否相同

简简单单的一个题，就是递归判断每一个左右孩子是否与根结点相同 就好啦

对于认真了解二叉树的遍历的我们，洒洒水啦

代码

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    bool isUnivalTree(TreeNode* root) 
    {
        if(root == NULL)
        return true;
        if(root->left && root->val != root->left->val)
        return false;
        if(root->right && root->val != root->right->val)
        return false;
        return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);  
    }
};

轻松拿下

2.2 相同的树

习题链接：相同的树

题目

思路

思路：本题和上一题有些类似，算是上一个题的拓展学习吧，需要判断是不是两颗相同的树

我们就同时递归两个树就好啦，一边递归一边判断结点的值是否相等

另外再处理一下不是相同的两颗树的判断就好啦

代码

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    bool isSameTree(TreeNode* p, TreeNode* q) 
    {
        if(q == NULL && p == NULL)  //  如果两颗树的当前结点都为空  返回true
            return true;
        if(q == NULL || p == NULL)  //  如果其中有一个不为空  证明两颗树的结点个数不同
            return false;
        if(p->val != q->val)  //  值不相同
            return false;
        return isSameTree(p->left,q->left) && isSameTree(p->right,q->right); 
        //  递归到每个根节点的左右子树  
    }
};

拿下拿下

2.3 对称的树

习题链接：对称的树

题目

思路

思路：本题要判断一颗树是否为对称二叉树

一开始没什么头绪，但是想到对称，就从对称入手了，除了第一层的根节点，如果符合对称条件，左右子树是两颗左右孩子相反的树 ，这好像与判断两颗相同的树有些许差别 ，但处理一下就好啦，递归第一颗树的左节点和第二颗树的右结点匹配，右结点与左结点匹配。

代码

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    bool check(TreeNode* p, TreeNode* q)
    {
        if(p == nullptr && q == nullptr)
        {
            return true;
        }
        if(p == nullptr || q == nullptr)
        {
            return false;
        } //  当前结点是否相等  以及 左右孩子反过来匹配判断   
        return p->val == q->val && check(p->left,q->right) && check(p->right,q->left);
    }
    bool isSymmetric(TreeNode* root) 
    {		//  递归第一个根结点的左右子树  分成两棵树来看  
        return check(root->left, root->right);
    }
};

也是稳稳的过啦

2.4 二叉树的遍历

习题链接：二叉树的遍历

题目

思路

思路：本题看起来就有难度了，就像上篇博客留下来的一个小问题，构建二叉树

本题根据读入的先序遍历，根据字符串创建二叉树，然后再进行中序遍历

这颗树建起来还不算麻烦，毕竟已经给了先序遍历，我们就构建链式结构，然后递归字符串的下标就好啦，走一遍先序遍历，然后把值赋给结点

代码

cpp 复制代码

#include <functional>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef struct BinaryTreeNode //  正常创建二叉树链式结构  
{
    char data;
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode*right;
}BTNode;
BTNode* BuyNode(char ch)   //  获取新结点函数  
{
    BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    node->data = ch;
    node->left = node->right =NULL;
    return node;
}
BTNode* createTree(string arr,int* pi)   //  建树过程  
{
    if(arr[*pi] == '#')   //  这里传了一个pi  表示字符串的下标   
    {
        (*pi)++;     //  如果当前字符是  #  pi++  返回  
        return NULL;
    }
    
    BTNode* root = BuyNode(arr[*pi]);   //  根据先序遍历  获取值为arr[pi]的结点  pi++
    (*pi)++;
    root->left =  createTree(arr, pi);
    root->right =  createTree(arr, pi);
    return root;               //  类似于先序遍历的过程建树  
}
void InOrder(BTNode* root)    //  再更具中序遍历输出就好了
{
    if(root == NULL)
    return ;
    InOrder(root->left);
    cout<<root->data<<' ';
    InOrder(root->right);
}
int main() 
{
    string arr;
    cin>>arr;
    int i = 0;
    BTNode* root = createTree(arr,&i);
    InOrder(root);
    return 0;
}

拿下

2.5 二叉树的遍历

本题就没有习题链接啦，是实验课的习题

题目

思路

思路：本题和上一题不同的是，上一题是给定先序遍历，然后再建树输出中序遍历。

但本题是给定后序遍历和中序遍历 ，再输出层序遍历 。听起来有点不知道怎么处理了，只给定先序遍历建树还好，这里是给定后序和中序遍历。

**想到后序遍历（左右根）和中序遍历（左根右）的具体过程，可以根据后序遍历找根节点，然后再根据中序遍历找左右子树，**如此反复这个过程就好啦'

假设我们有以下后序遍历和中序遍历的结果：

后序遍历：3 2 5 6 4 1

中序遍历：3 2 1 5 4 6

确定根节点：

在后序遍历中，最后一个元素 1 是根节点。

分割中序遍历：

在中序遍历中找到根节点 1 的位置，它将中序遍历分为左子树 3 2 和右子树 5 4 6。

递归构建子树：
对于左子树 3 2 和右子树 5 4 6，分别在后序遍历中找到对应的部分（去掉已处理的根节点）。
左子树的后序遍历是 3 2 ，右子树的后序遍历是 5 6 4。

对左子树和右子树重复上述过程，直到构建完整棵树。'

左子树：

右子树：

就是不断找当前根节点的左右子树，把一个大问题化成很多重复相同的子问题。

代码

这里小编就用c++来实现这个题目了嗷

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct TNode     //  二叉树的结点结构   数据域  左右指针域  
{
	int data;
	TNode* left;
	TNode* right;
};
void LevelOrder(TNode* root)   //  层序遍历   
{
	queue<TNode*> q;   //  这里小编就直接使用   stl库的  queue  函数啦
	q.push(root);
	while (!q.empty())
	{
		TNode* top = q.front();
		q.pop();
		if (top == root)
			cout << top->data;
		else
			cout << ' ' << top->data;    //   这里的输出需要注意一下格式  因为题目的最后没有空格  
		if (top->left)
			q.push(top->left);
		if (top->right)
			q.push(top->right);    //  这些步骤就和前面讲的层序遍历一样  
	}
}
TNode* BuildTree(int* inorder,int * postorder,int n)   //  至关重要的环节  建树
{													//  根据后序遍历和中序遍历建树  
	if (n == 0)
		return nullptr;
	TNode* node = new TNode; 
	node->data = postorder[n - 1];        //   这里直接找到根节点  为后序遍历的最后一个数据  
	node->left = node->right = nullptr;
	int pos = 0;
	for (pos; pos < n; pos++)
	{
		if (inorder[pos] == postorder[n - 1])    //   然后再在中序遍历找到根结点   分出左右子树  
			break;								//   pos左边的就是左子树  pos 右边的就是右子树  
	}
	node->left = BuildTree(inorder, postorder, pos);   //  当前根节点的左子树   
	node->right = BuildTree(inorder + pos + 1, postorder + pos, n - pos - 1);   // 右子树  
	return node;			//  这里中序遍历要在pos结点之后  因为pos是根结点 
}							//  后序遍历在pos开始  因为根节点在结尾  
int main()					//  然后就是反复循环左右子树递归就好啦  就像前面举例一样   
{
	int inorder[50], postorder[50];   //  创建中序遍历和后序遍历的数组  
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)  
	{
		cin >> postorder[i];
	}
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin >> inorder[i];
	}
	TNode* root =  BuildTree(inorder, postorder, n);   //  建树
	LevelOrder(root);   // 层序遍历   
	return 0;
}

也是稳稳拿下了

2.6 二叉树的有关选择题

先来了解一些新的二叉树的性质：

对任何一棵二叉树, 如果度为 0 的叶结点个数为 n0 , 度为2 的分支结点个数为 n2 ,则有 n0 = n 2 + 1

假设一个二叉树有a 个度为2的节点， b 个度为1的节点， c 个叶节点，则这个二叉树的边数是2a+b

另一方面，由于共有a+b+c 个节点，所以边数等于a+b+c-1

结合上面两个公式：
2a+b = a+b+c-1 ，即： a = c-1

话不多说，上题

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199

由前面推导出来的 a = c-1 叶子结点个数有200个

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

已知是完全二叉树则有 b = 1或0 2a+b+1 = 2n 若要符合要求 b只能=1 所以 a = n-1 、c = n;

3.一棵完全二叉树的结点数为531个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

完全二叉树最后一层之前都是满的，所以可以根据2的次幂来求层数，前面在最开始讲到满二叉树时有结点个数的公式：结点个数 = 2^k-1 为层数

2的9次幂是512 所以这颗树的高度为10

4.一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

完全二叉树，还是回到 b只能取1或0 则2a+b+1 = 767 b只能取0 推出 a = 383 c=384;

来一些链式二叉树的遍历题

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为

A ABDHECFG

B ABCDEFGH

C HDBEAFCG

D HDEBFGCA

越来越觉得完全二叉树是个好东西

左子树 b d e h 右子树 c f h

2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为

A E

B F

C G

D H

找根节点给了先序遍历那不就是E嘛

3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为____。

A adbce

B decab

C debac

D abcde

和我们前面根据中序遍历和后序遍历建树的题相似，这不是手拿把掐吗

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列为

A FEDCBA

B CBAFED

C DEFCBA

D ABCDEF

这个题更有意思，中序遍历和后序遍历相同，那不是只有左子树

总结

简单的一些二叉树的学习就到这里啦，目前小编的石粒还没有涉及到更深层次的二叉树

回顾前面两篇文章，从二叉树的基本概念到顺序结构二叉树（堆）的实现，再到链式结构二叉树的实现，然后是二叉树的遍历方式，最后到习题部分的巩固与深入，对二叉树的遍历越来越深刻，特别是根据中序遍历和后序遍历建树再层序遍历输出，对递归又有了进一步理解，小编持续进步中~~~~

下一篇我们将开启新的数据结构------排序，小编持续更新中，不要走开~~~~