文章目录
前言
上篇博客我们学习了链式结构的二叉树，从递归角度 实现了二叉树的前中后序遍历 以及各种有关二叉树的结点个数和高度 等函数，今天我们来学习一个不使用递归的二叉树的层序遍历 以及一些二叉树有关的算法题，发车咯
一、二叉树的层序遍历
二叉树的层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发 ，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2层上的结点，接着是第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历
层序遍历还要借助我们的数据结构：队列
对队列不熟悉的可以看看我的这篇博客嗷
链接：栈和队列
有图才能有真相
其实就是当前一层的结点入队列 ，然后一个一个出队列，出队列时把该节点的左右孩子入队列，这样下一个层级的结点就跟着上一层结点之后啦，重复这个操作，层序遍历就完成啦。话不多说，上代码
这是队列的结构以及一些函数的声明
这里把之前的 int 改成 BTNode 就好啦 队列里面的元素是二叉树的结点类型*
cpp
typedef BTNode* QDataType; // int 改成 BTNode*
typedef struct QueueNode // 队列内每个元素用链式结构 一个一个结点连接
{
QDataType data;
struct QueueNode* next;
}QueueNode;
typedef struct Queue // 队列
{
QueueNode* phead; // 队头
QueueNode* ptail; // 队尾
int size;
}Queue;
void QueueInit(Queue* pq); // 队列初始化
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x); // 入队
void QueuePop(Queue* pq); // 出队
bool QueueEmpty(Queue* pq); // 判空函数
QDataType QueueFront(Queue* pq); // 获取对头元素
QDataType QueueBack(Queue* pq); // 获取队尾元素
int QueueSize(Queue* pq); // 队内有效元素
void QueueDestory(Queue* pq); // 销毁队列
void QueuePrint(Queue* pq); // 打印 方便测试代码 借助队列实现层序遍历
cpp
// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{
//借助数据结构------队列
Queue q;
QueueInit(&q);
QueuePush(&q, root); // 初始第一层的根结点入队列
while (!QueueEmpty(&q))
{
//取队头，出队头
BTNode* top = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
cout<< top->data;
//将队头左右孩子入队列（不为空）
if (top->left)
{
QueuePush(&q, top->left);
}
if (top->right)
{
QueuePush(&q, top->right);
}
}
QueueDestroy(&q);
}学习了层序遍历之后，我们可以用它来判断二叉树是否为完全二叉树 ，因为完全二叉树是一层一层去填满每一个结点的，不能跳着填。
思路：正常层序遍历二叉树，当遇到空结点时，跳出循环，此时如果是完全二叉树，那它之后的结点除了空结点是没有有效结点的，如果有，那就不是完全二叉树。
cpp
// 判断⼆叉树是否是完全⼆叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
QueuePush(&q, root);
while (!QueueEmpty(&q))
{
//取队头，出队头
BTNode* top = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (top == NULL)
{
break;
}
//把不为空的队头结点的左右孩子入队列
QueuePush(&q, top->left);
QueuePush(&q, top->right);
}
// 第一个循环之后，来到第二个循环，没有遇到有效元素就是完全二叉树
//队列不一定为空，继续取队头出队头
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* top = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (top != NULL)
{
QueueDestroy(&q);
return false;
}
}
QueueDestroy(&q);
return true;
}层序遍历就到这里啦
二、二叉树的有关习题
2.1 单值二叉树
习题链接：单值二叉树
题目
思路
思路：本题给定一个二叉树，判断所有的结点的值是否相同
简简单单的一个题，就是递归判断每一个左右孩子是否与根结点相同 就好啦
对于认真了解二叉树的遍历的我们，洒洒水啦
代码
cpp
class Solution
{
public:
bool isUnivalTree(TreeNode* root)
{
if(root == NULL)
return true;
if(root->left && root->val != root->left->val)
return false;
if(root->right && root->val != root->right->val)
return false;
return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);
}
};轻松拿下
2.2 相同的树
习题链接：相同的树
题目
思路
思路：本题和上一题有些类似，算是上一个题的拓展学习吧，需要判断是不是两颗相同的树
我们就同时递归两个树就好啦，一边递归一边判断结点的值是否相等
另外再处理一下不是相同的两颗树的判断就好啦
代码
cpp
class Solution
{
public:
bool isSameTree(TreeNode* p, TreeNode* q)
{
if(q == NULL && p == NULL) // 如果两颗树的当前结点都为空 返回true
return true;
if(q == NULL || p == NULL) // 如果其中有一个不为空 证明两颗树的结点个数不同
return false;
if(p->val != q->val) // 值不相同
return false;
return isSameTree(p->left,q->left) && isSameTree(p->right,q->right);
// 递归到每个根节点的左右子树
}
};拿下拿下
2.3 对称的树
习题链接：对称的树
题目
思路
思路：本题要判断一颗树是否为对称二叉树
一开始没什么头绪，但是想到对称，就从对称入手了，除了第一层的根节点，如果符合对称条件，左右子树是两颗左右孩子相反的树 ，这好像与判断两颗相同的树有些许差别 ，但处理一下就好啦，递归第一颗树的左节点和第二颗树的右结点匹配，右结点与左结点匹配。
代码
cpp
class Solution
{
public:
bool check(TreeNode* p, TreeNode* q)
{
if(p == nullptr && q == nullptr)
{
return true;
}
if(p == nullptr || q == nullptr)
{
return false;
} // 当前结点是否相等 以及 左右孩子反过来匹配判断
return p->val == q->val && check(p->left,q->right) && check(p->right,q->left);
}
bool isSymmetric(TreeNode* root)
{ // 递归第一个根结点的左右子树 分成两棵树来看
return check(root->left, root->right);
}
};也是稳稳的过啦
2.4 二叉树的遍历
习题链接：二叉树的遍历
题目
思路
思路：本题看起来就有难度了，就像上篇博客留下来的一个小问题，构建二叉树
本题根据读入的先序遍历，根据字符串创建二叉树，然后再进行中序遍历
这颗树建起来还不算麻烦，毕竟已经给了先序遍历，我们就构建链式结构，然后递归字符串的下标就好啦，走一遍先序遍历，然后把值赋给结点
代码
cpp
#include <functional>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef struct BinaryTreeNode // 正常创建二叉树链式结构
{
char data;
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode*right;
}BTNode;
BTNode* BuyNode(char ch) // 获取新结点函数
{
BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
node->data = ch;
node->left = node->right =NULL;
return node;
}
BTNode* createTree(string arr,int* pi) // 建树过程
{
if(arr[*pi] == '#') // 这里传了一个pi 表示字符串的下标
{
(*pi)++; // 如果当前字符是 # pi++ 返回
return NULL;
}
BTNode* root = BuyNode(arr[*pi]); // 根据先序遍历 获取值为arr[pi]的结点 pi++
(*pi)++;
root->left = createTree(arr, pi);
root->right = createTree(arr, pi);
return root; // 类似于先序遍历的过程建树
}
void InOrder(BTNode* root) // 再更具中序遍历输出就好了
{
if(root == NULL)
return ;
InOrder(root->left);
cout<<root->data<<' ';
InOrder(root->right);
}
int main()
{
string arr;
cin>>arr;
int i = 0;
BTNode* root = createTree(arr,&i);
InOrder(root);
return 0;
}拿下
2.5 二叉树的遍历
本题就没有习题链接啦，是实验课的习题
题目
思路
思路：本题和上一题不同的是，上一题是给定先序遍历，然后再建树输出中序遍历。
但本题是给定后序遍历和中序遍历 ，再输出层序遍历 。听起来有点不知道怎么处理了，只给定先序遍历建树还好，这里是给定后序和中序遍历。
**想到后序遍历（左右根）和中序遍历（左根右 ）的具体过程，可以根据后序遍历找根节点，然后再根据中序遍历找左右子树，**如此反复这个过程就好啦'
假设我们有以下后序遍历和中序遍历的结果：
后序遍历：3 2 5 6 4 1
中序遍历：3 2 1 5 4 6
确定根节点：
在后序遍历中，最后一个元素 1 是根节点。
分割中序遍历：
在中序遍历中找到根节点 1 的位置，它将中序遍历分为左子树 3 2 和右子树 5 4 6。
递归构建子树：
对于左子树 3 2 和右子树 5 4 6，分别在后序遍历中找到对应的部分（去掉已处理的根节点）。
左子树的后序遍历是 3 2 ，右子树的后序遍历是 5 6 4。
对左子树和右子树重复上述过程，直到构建完整棵树。'
左子树：
右子树：
就是不断找当前根节点的左右子树，把一个大问题化成很多重复相同的子问题。
代码
这里小编就用c++来实现这个题目了嗷
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct TNode // 二叉树的结点结构 数据域 左右指针域
{
int data;
TNode* left;
TNode* right;
};
void LevelOrder(TNode* root) // 层序遍历
{
queue<TNode*> q; // 这里小编就直接使用 stl库的 queue 函数啦
q.push(root);
while (!q.empty())
{
TNode* top = q.front();
q.pop();
if (top == root)
cout << top->data;
else
cout << ' ' << top->data; // 这里的输出需要注意一下格式 因为题目的最后没有空格
if (top->left)
q.push(top->left);
if (top->right)
q.push(top->right); // 这些步骤就和前面讲的层序遍历一样
}
}
TNode* BuildTree(int* inorder,int * postorder,int n) // 至关重要的环节 建树
{ // 根据后序遍历和中序遍历建树
if (n == 0)
return nullptr;
TNode* node = new TNode;
node->data = postorder[n - 1]; // 这里直接找到根节点 为后序遍历的最后一个数据
node->left = node->right = nullptr;
int pos = 0;
for (pos; pos < n; pos++)
{
if (inorder[pos] == postorder[n - 1]) // 然后再在中序遍历找到根结点 分出左右子树
break; // pos左边的就是左子树 pos 右边的就是右子树
}
node->left = BuildTree(inorder, postorder, pos); // 当前根节点的左子树
node->right = BuildTree(inorder + pos + 1, postorder + pos, n - pos - 1); // 右子树
return node; // 这里中序遍历要在pos结点之后 因为pos是根结点
} // 后序遍历在pos开始 因为根节点在结尾
int main() // 然后就是反复循环左右子树递归就好啦 就像前面举例一样
{
int inorder[50], postorder[50]; // 创建中序遍历和后序遍历的数组
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> postorder[i];
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> inorder[i];
}
TNode* root = BuildTree(inorder, postorder, n); // 建树
LevelOrder(root); // 层序遍历
return 0;
}也是稳稳拿下了
2.6 二叉树的有关选择题
先来了解一些新的二叉树的性质：
对任何一棵二叉树, 如果度为 0 的叶结点个数为 n0 , 度为2 的分支结点个数为 n2 ,则有 n0 = n 2 + 1
假设一个二叉树有a 个度为2的节点， b 个度为1的节点， c 个叶节点，则这个二叉树的边数是2a+b
另一方面，由于共有a+b+c 个节点，所以边数等于a+b+c-1
结合上面两个公式：
2a+b = a+b+c-1 ，即： a = c-1
话不多说，上题
- 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
由前面推导出来的 a = c-1 叶子结点个数有200个
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
已知是完全二叉树则有 b = 1或0 2a+b+1 = 2n 若要符合要求 b只能=1 所以 a = n-1 、c = n;
3.一棵完全二叉树的结点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
完全二叉树最后一层之前都是满的，所以可以根据2的次幂来求层数，前面在最开始讲到满二叉树时有结点个数的公式：结点个数 = 2^k-1 为层数
2的9次幂是512 所以这颗树的高度为10
4.一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
完全二叉树，还是回到 b只能取1或0 则2a+b+1 = 767 b只能取0 推出 a = 383 c=384;
来一些链式二叉树的遍历题
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为
A ABDHECFG
B ABCDEFGH
C HDBEAFCG
D HDEBFGCA
越来越觉得完全二叉树是个好东西
左子树 b d e h 右子树 c f h
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为
A E
B F
C G
D H
找根节点 给了先序遍历 那不就是E嘛
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为____。
A adbce
B decab
C debac
D abcde
和我们前面根据中序遍历和后序遍历建树的题相似 ， 这不是手拿把掐吗
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列为
A FEDCBA
B CBAFED
C DEFCBA
D ABCDEF
这个题更有意思，中序遍历和后序遍历相同，那不是只有左子树
总结
简单的一些二叉树的学习就到这里啦，目前小编的石粒还没有涉及到更深层次的二叉树
回顾前面两篇文章，从二叉树的基本概念到顺序结构二叉树（堆）的实现，再到链式结构二叉树的实现，然后是二叉树的遍历方式，最后到习题部分的巩固与深入，对二叉树的遍历越来越深刻，特别是根据中序遍历和后序遍历建树再层序遍历输出，对递归又有了进一步理解，小编持续进步中~~~~
下一篇我们将开启新的数据结构------排序，小编持续更新中，不要走开~~~~
