Day50 | 动态规划：线性DP 最大子数组和&&不同的子序列

动态规划应该如何学习？-CSDN博客

动态规划学习：

1.思考回溯法（深度优先遍历）怎么写

注意要画树形结构图

2.转成记忆化搜索

看哪些地方是重复计算的，怎么用记忆化搜索给顶替掉这些重复计算

3.把记忆化搜索翻译成动态规划

基本就是1:1转换

文章目录

[Day50 | 动态规划：线性DP 最大子数组和&&不同的子序列](#Day50 | 动态规划：线性DP 最大子数组和&&不同的子序列)

53.最大子数组和

$[53. 最大子数组和 - 力扣（LeetCode）](https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/description/)$ (https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/description/)

思路分析（子问题）:

定义dp $i$ 表示以 nums $i$ 结尾的最大子数组和

分类讨论：

1.nums $i$

dp $i$ =nums $i$ ;

2.nums $i$ 和前面的数一起组成最大子数组和

dp $i$ =dp $i-1$ +nums $i$ ;

两种情况取最大值即可

动态规划：

注：

1.初始化是dp $0$ =nums $0$ ，因为第一天最大就是自己了

2.最后需要在遍历一次dp数组获得最大值，因为在dp数组更新过程中的for并不包含dp $0$

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(nums.size(),INT_MIN/2);
        dp[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<nums.size();i++)
            dp[i]=max(nums[i],dp[i-1]+nums[i]);
        int res=INT_MIN;
        for(auto c:dp)
            res=max(res,c);
        return res;    
    }
};

115.不同的子序列

115. 不同的子序列 - 力扣（LeetCode）

思路分析（子问题）：

dfs(i,j)为s的前i个字符里面有多少个t的前j个字符组成的子序列

还是s $i$ 和t $j$ 选或不选的问题，只是这次不是插入删除的操作数，也不是判断是不是子序列，也不是求和，只是换成了子序列的数量

还是依据选或不选的思路，我们看选或不选s $i$

如果不选s $i$ ，那说明s $i$ !=t $j$

cpp 复制代码

dfs(i,j)=dfs(i-1,j);

因为我没选s $i$ ，那我s的前i个字符里面有多少个t的前j个字符组成的子序列和s的前i-1个字符里面有多少个t的前j个字符就是一个东西了

如果选s $i$ ，那说明s $i$ ==t $j$

复制代码

dfs(i,j)=dfs(i-1,j)+dfs(i-1,j-1);

因为我选了s $i$ ，那我s的前i个字符里面有多少个t的前j个字符组成的子序列和s的前i-1个字符里面有多少个t-1的前j个字符就是一个东西了，因为s $i$ ==t $j$ ，可以不看这两个

而由于加法原理，这里面只有选或不选两种情况，我们所有的方案数量就是把选和不选的情况都加起来

不选s $i$ 没法加dfs(i-1,j-1)，因为s $i$ !=t $j$

递归边界

如果t为空串，那一定是s的子序列并且只有一个选法可以得到空串，那就是什么都不选，所以数量为1，返回1

如果s为空串，那s不管怎么样都找不到一个t，返回0

1.回溯

注意终止条件两个if的顺序

cpp 复制代码

		if(j<0)
            return 1;
        if(i<0)
            return 0;

一定要先检查t的下标j，再检查s的下i

举个例子说明：

当两者都为空串，即dfs(-1,-1)时，先判断j返回数量为1

先判断i返回为0

而我们知道这个是1才对

这就是因为当i=-1时，可能t还没有遍历结束，而我们从下往上返回返回的都是0的话，就代表我们在这些分支上没有找到过正确的答案，而很有可能正确答案是存在的，这样就会漏掉很多合法的子序列从而导致错误

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int dfs(int i,int j,string &s,string &t)
    {
        if(j<0)
            return 1;
        if(i<0)
            return 0;
        if(s[i]==t[j])
            return dfs(i-1,j-1,s,t)+dfs(i-1,j,s,t);
        return dfs(i-1,j,s,t);
    } 
    int numDistinct(string s, string t) {
        return dfs(s.size()-1,t.size()-1,s,t);
    }
};

2.记忆化搜索

就是搞一个哈希表dp，全都初始化为-1，每次返回前给哈希表dp赋值，碰到不是-1的那就是算过的，那就直接返回计算过的结果，不需要再次递归了

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int dfs(int i,int j,string &s,string &t,vector<vector<int>> &dp)
    {
        if(j<0)
            return 1;
        if(i<0)
            return 0;
        if(dp[i][j]!=-1)
            return dp[i][j];
        if(s[i]==t[j])
            return dp[i][j]=dfs(i-1,j-1,s,t,dp)+dfs(i-1,j,s,t,dp);
        return dp[i][j]=dfs(i-1,j,s,t,dp);
    } 
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(),vector<int>(t.size(),-1));
        return dfs(s.size()-1,t.size()-1,s,t,dp);
    }
};

3.动态规划

注意我们的i=0和j=0是表示的dfs中i<0和j<0的状态，即s为空串或者t为空串，对应的是递归边界

所以dp数组的下标从1开始记录答案

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector<vector<int>> dp(s.size() + 1,vector<int>(t.size() + 1,0));
        for(int i=0;i<=s.size();i++)
            dp[i][0]=1;
        for(int i=0;i<s.size();i++)
            for(int j=0;j<t.size();j++)
                if(s[i]==t[j])
                    dp[i+1][j+1]=(0LL+dp[i][j]+dp[i][j+1])%INT_MAX;
                else
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j+1];
        return dp[s.size()][t.size()];
    }
};

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