插入排序算法

一、基本思想

插入排序通过构建有序序列，对于未排序的数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。它重复这个过程直到所有数据都被处理过。

二、示例

java 复制代码

public class InsertionSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {9, 5, 1, 4, 3};
        insertionSort(arr);
        for (int num : arr) {
            System.out.print(num + " ");
        }
    }

    public static void insertionSort(int[] arr) {
        // 遍历数组中的每一个元素
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            int key = arr[i];  // 当前需要插入到前面正确位置的元素
            int j = i - 1;
            
            // 将key与已排序部分的元素进行比较
            while (j >= 0 && arr[j] > key) {
                arr[j + 1] = arr[j];  // 如果当前元素大于key，则向右移动一位
                j--;
            }
            arr[j + 1] = key;  // 在正确的位置插入key
        }
    }
}

三、代码解析

初始化 ：定义一个整数数组arr作为待排序的数据。
外部循环 ：使用变量i从数组的第二个元素开始遍历（索引为1）。
内部循环 ：使用变量j表示当前元素的前一个位置。如果arr[j]大于key（即arr[i]），则将arr[j]向右移动一位。
插入操作 ：当找到合适的位置时（arr[j] <= key 或 j < 0），将key插入到arr[j + 1]处。
打印结果：排序完成后，输出整个数组来验证排序是否正确。

四、时间复杂度

插入排序的时间复杂度取决于输入数据的初始顺序。我们可以从最好、最坏和平均情况来分析它的时间复杂度。

最好情况：O(n)，当输入数组已经是排序好的。

条件：当输入数组已经是完全有序时，每个元素都不需要移动，只需要进行一次比较即可。
解释：在每一轮迭代中，当前元素与前一个元素比较后发现不需要交换位置，因此每次迭代只进行了一次比较操作。由于总共要处理 n-1 个元素（第一个元素视为已排序），所以总的比较次数为 n-1，即 O(n)。

最坏情况：O(n^2)，当输入数组完全逆序。

条件：当输入数组是逆序排列时，每个新元素都需要与所有已经排序的元素进行比较，并且每次都需要移动之前的所有元素。
解释：对于第 i 个元素，最多可能需要比较 i 次并移动 i-1 个元素。因此，总的操作次数可以表示为 1 + 2 + ... + (n-1)，这是一个等差数列求和公式，其结果为 (n-1)n/2，简化后得到 O(n^2)。

平均情况：O(n^2)。

解释：平均情况下，每个元素大约需要与一半的已排序元素进行比较。尽管实际的比较和移动次数会少于最坏情况，但总体上仍然接近于 O(n^2) 的时间复杂度。

五、空间复杂度

空间复杂度是指执行算法所需要的额外空间大小，通常以输入数据规模 n 的函数形式表示。在分析空间复杂度时，我们主要关注的是除了输入本身之外所使用的辅助空间。

插入排序是一种原地排序算法，因此它的空间复杂度是O(1)。
O(1) 表示算法所需的额外空间是一个常数，与输入数据的大小无关。
O(n) 表示算法所需的额外空间随输入数据的大小线性增长。
更高的阶数如 O(n^2)、O(n log n) 等，则表示随着输入数据的增长，所需的空间也呈相应的增长趋势。

六、适用场景

插入排序特别适合小规模或部分有序的数据集。
对于大规模数据集来说，由于其时间效率较低，通常不推荐使用。