图论理论基础和存储方式的实现

图论1

图论 (Graph theory) 是数学的一个分支，图是图论的主要研究对象。图 (Graph) 是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。

1、图的理论基础

图（Graph）

用大写字母（如 G G G）表示图，通常记为 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，其中 V V V 表示顶点集， E E E 表示边集。例如：设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 是一个无向图， V V V 包含多个顶点， E E E 包含连接这些顶点的边。

相邻（Adjacent）

若顶点 u u u 和 v v v 相邻，可表示为： u ∼ v u \sim v u∼v。例如：在图 G G G 中，若顶点 u u u 和 v v v 之间有边相连，则有 u ∼ v u \sim v u∼v。

简单图（Simple Graph）

设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 为简单图，特点是不存在自环（即不存在边 e = ( u , u ) e=(u,u) e=(u,u)， u ∈ V u\in V u∈V）和多重边（任意两顶点间不存在多条相同边），可描述为： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 是简单图，满足无自环与多重边条件。

度数（Degree）

无向图中顶点度数 ：无向图里顶点 v v v 的度数用 deg ⁡ ( v ) \deg(v) deg(v) 表示，比如：在无向图 G G G 中，顶点 v v v 的度数记为 deg ⁡ ( v ) \deg(v) deg(v)，其值等于与 v v v 相连的边的数量。
有向图中顶点度数 ：有向图中顶点 v v v 的入度表示为 indeg ( v ) \text{indeg}(v) indeg(v)，出度表示为 outdeg ( v ) \text{outdeg}(v) outdeg(v)。例如：在有向图 G G G 中，顶点 v v v 的入度为 indeg ( v ) \text{indeg}(v) indeg(v)，出度为 outdeg ( v ) \text{outdeg}(v) outdeg(v)，度数可结合二者考量。

路径（Path）

用 P = ( v 0 , v 1 , ⋯ , v n ) P=(v_0,v_1,\cdots,v_n) P=(v0,v1,⋯,vn) 表示从顶点 v 0 v_0 v0 出发，依次经过 v 1 , ⋯ , v n v_1,\cdots,v_n v1,⋯,vn 这些顶点的路径。例如：在图 G G G 中，存在路径 P = ( v 1 , v 2 , v 3 ) P=(v_1,v_2,v_3) P=(v1,v2,v3)，即从顶点 v 1 v_1 v1 出发，依次经过 v 2 v_2 v2 和 v 3 v_3 v3 的路线。

子图（Subgraph）

设 $G=(V,E)$ 是原图，$G'=(V',E')$ 是它的子图，关系表示为：$V'\subseteq V$ 且 $E'\subseteq E$，同时 $E'$ 中边的端点都在 $V'$ 中，则 $G'=(V',E')$ 为 $G$ 的子图。

比如：已知图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，取 V ′ V' V′ 为 V V V 的部分顶点集， E ′ E' E′ 为相应连接这些顶点的部分边集，满足条件后， G ′ = ( V ′ , E ′ ) G'=(V',E') G′=(V′,E′) 就是 G G G 的子图。

连通（Connected）

无向图连通 ：设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 为无向图，若对任意 u , v ∈ V u,v\in V u,v∈V，都存在一条路径连接 u u u 和 v v v，则称 G G G 是连通的，可写成： ∀ u , v ∈ V \forall u,v\in V ∀u,v∈V，存在路径连接 u u u 与 v v v，则 G G G 连通。
有向图连通相关（强连通和弱连通）：
- 强连通 ：对于有向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，若对任意 u , v ∈ V u,v\in V u,v∈V，都存在从 u u u 到 v v v 的有向路径以及从 v v v 到 u u u 的有向路径，则 G G G 是强连通的，即： ∀ u , v ∈ V \forall u,v\in V ∀u,v∈V，存在从 u u u 到 v v v 及从 v v v 到 u u u 的有向路径，则 G G G 强连通。
- 弱连通 ：若把有向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 的边看作无向边时图是连通的，则 G G G 是弱连通的，表示为：将有向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 的边视为无向边时图连通，则 G G G 弱连通。

无向图（Undirected Graph）

直接用 $G=(V,E)$ 表示无向图，并说明其边无方向特点。

如： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 为无向图，其边没有方向，即对边 e = ( u , v ) ∈ E e=(u,v)\in E e=(u,v)∈E， u u u 与 v v v 的关系是对称的。

有向图（Directed Graph）

用 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 表示有向图，强调边有方向。

例如： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 为有向图，边 e = ( u , v ) ∈ E e=(u,v)\in E e=(u,v)∈E 有方向，从 u u u 指向 v v v，表示一种单向关系。

割（Cut）

边割（针对无向图） ：设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 是连通无向图，若存在边子集 E ′ ⊆ E E'\subseteq E E′⊆E，去掉 E ′ E' E′ 后使得图不再连通，则 E ′ E' E′ 是 G G G 的一个边割，可表示为： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 连通无向图， ∃ E ′ ⊆ E \exists E'\subseteq E ∃E′⊆E，去掉 E ′ E' E′ 后 G G G 不连通，则 E ′ E' E′ 为 G G G 的边割。
点割（针对无向图） ：对于连通无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，若存在顶点子集 V ′ ⊆ V V'\subseteq V V′⊆V，去掉 V ′ V' V′ 以及和这些顶点相关联的边后使得图不再连通，则 V ′ V' V′ 是 G G G 的一个点割，写成： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 连通无向图， ∃ V ′ ⊆ V \exists V'\subseteq V ∃V′⊆V，去掉 V ′ V' V′ 及相关边后 G G G 不连通，则 V ′ V' V′ 为 G G G 的点割。

稀疏图/稠密图（Sparse Graph / Dense Graph）

稀疏图 ：对于图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，若 ∣ E ∣ ≪ ∣ V ∣ 2 |E| \ll |V|^2 ∣E∣≪∣V∣2（这里 ≪ \ll ≪ 示意边数量远小于顶点数量平方的大概关系），则 G G G 为稀疏图，如： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，当 ∣ E ∣ ≪ ∣ V ∣ 2 |E| \ll |V|^2 ∣E∣≪∣V∣2 时， G G G 为稀疏图。
稠密图 ：与稀疏图对应，若 ∣ E ∣ |E| ∣E∣ 接近 ∣ V ∣ 2 |V|^2 ∣V∣2 量级，可写成： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，当 ∣ E ∣ |E| ∣E∣ 接近 ∣ V ∣ 2 |V|^2 ∣V∣2 时， G G G 为稠密图。

补图（Complement Graph）

设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 是无向简单图，其补图 G ‾ = ( V , E ‾ ) \overline{G}=(V,\overline{E}) G=(V,E)，其中 E ‾ \overline{E} E 包含了所有不在 E E E 中但两端点在 V V V 中的边 ，可表示为： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 为无向简单图，其补图 G ‾ = ( V , E ‾ ) \overline{G}=(V,\overline{E}) G=(V,E)， E ‾ = { ( u , v ) ∣ u , v ∈ V , ( u , v ) ∉ E } \overline{E}=\{(u,v)\mid u,v\in V,(u,v)\notin E\} E={(u,v)∣u,v∈V,(u,v)∈/E}。

反图（Inverse Graph）

对于有向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，其反图 G − 1 = ( V , E − 1 ) G^{-1}=(V,E^{-1}) G−1=(V,E−1)，这里 E − 1 E^{-1} E−1 是把 E E E 中每条边的方向都反转所得到的边集 ，写成： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 为有向图，其反图 G − 1 = ( V , E − 1 ) G^{-1}=(V,E^{-1}) G−1=(V,E−1)， E − 1 = { ( v , u ) ∣ ( u , v ) ∈ E } E^{-1}=\{(v,u)\mid (u,v)\in E\} E−1={(v,u)∣(u,v)∈E}。

特殊的图

完全图（Complete Graph）：

无向完全图 ：用 K n K_n Kn 表示 n n n 个顶点的无向完全图，其边数为 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n - 1)}{2} 2n(n−1)。例如： K 5 K_5 K5 是有 5 5 5 个顶点的无向完全图，边数为 5 × ( 5 − 1 ) 2 = 10 \frac{5\times(5 - 1)}{2}=10 25×(5−1)=10。
有向完全图 ：用 D n D_n Dn 表示 n n n 个顶点的有向完全图，其边数为 n ( n − 1 ) n(n - 1) n(n−1)。
树（Tree） ：树可描述为无向连通且无环的图，记为： T = ( V , E ) T=(V,E) T=(V,E) 为树，即 T T T 是无向连通且无环的图。
二分图（Bipartite Graph） ：设顶点集 V V V 可分成两个互不相交的子集 V 1 V_1 V1 和 V 2 V_2 V2，使图中每条边的两个端点分别属于 V 1 V_1 V1 和 V 2 V_2 V2，可写成： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 为二分图， ∃ V 1 , V 2 ⊆ V \exists V_1,V_2\subseteq V ∃V1,V2⊆V， V 1 ∩ V 2 = ∅ V_1\cap V_2=\varnothing V1∩V2=∅，且 ∀ e = ( u , v ) ∈ E \forall e=(u,v)\in E ∀e=(u,v)∈E， u ∈ V 1 u\in V_1 u∈V1 且 v ∈ V 2 v\in V_2 v∈V2 或 u ∈ V 2 u\in V_2 u∈V2 且 v ∈ V 1 v\in V_1 v∈V1。

同构（Isomorphism）

设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 和 G ′ = ( V ′ , E ′ ) G'=(V',E') G′=(V′,E′) 是两个图，若存在双射函数 f : V → V ′ f: V \to V' f:V→V′，使得对于任意的 u , v ∈ V u,v \in V u,v∈V， ( u , v ) ∈ E (u,v) \in E (u,v)∈E 当且仅当 ( f ( u ) , f ( v ) ) ∈ E ′ (f(u),f(v)) \in E' (f(u),f(v))∈E′，则称 G G G 和 G ′ G' G′ 是同构的，表示为： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)， G ′ = ( V ′ , E ′ ) G'=(V',E') G′=(V′,E′)，若 ∃ f : V → V ′ \exists f: V \to V' ∃f:V→V′ 双射，满足 ∀ u , v ∈ V \forall u,v\in V ∀u,v∈V， ( u , v ) ∈ E ⇔ ( f ( u ) , f ( v ) ) ∈ E ′ (u,v)\in E \Leftrightarrow (f(u),f(v))\in E' (u,v)∈E⇔(f(u),f(v))∈E′，则 G G G 与 G ′ G' G′ 同构。

无向简单图的二元运算

并运算（Union） ：设 G 1 = ( V 1 , E 1 ) G_1=(V_1,E_1) G1=(V1,E1) 和 G 2 = ( V 2 , E 2 ) G_2=(V_2,E_2) G2=(V2,E2) 是两个无向简单图，它们的并 G 1 ∪ G 2 = ( V 1 ∪ V 2 , E 1 ∪ E 2 ) G_1\cup G_2=(V_1\cup V_2, E_1\cup E_2) G1∪G2=(V1∪V2,E1∪E2)，可写成： G 1 = ( V 1 , E 1 ) G_1=(V_1,E_1) G1=(V1,E1)， G 2 = ( V 2 , E 2 ) G_2=(V_2,E_2) G2=(V2,E2)，则 G 1 ∪ G 2 = ( V 1 ∪ V 2 , E 1 ∪ E 2 ) G_1\cup G_2=(V_1\cup V_2, E_1\cup E_2) G1∪G2=(V1∪V2,E1∪E2)。例如：已知 G 1 G_1 G1 和 G 2 G_2 G2 两个无向简单图，计算它们的并图 G 1 ∪ G 2 G_1\cup G_2 G1∪G2。

交运算（Intersection） ： G 1 ∩ G 2 = ( V 1 ∩ V 2 , E 1 ∩ E 2 ) G_1\cap G_2=(V_1\cap V_2, E_1\cap E_2) G1∩G2=(V1∩V2,E1∩E2)，表示为： G 1 = ( V 1 , E 1 ) G_1=(V_1,E_1) G1=(V1,E1)， G 2 = ( V 2 , E 2 ) G_2=(V_2,E_2) G2=(V2,E2)，则 G 1 ∩ G 2 = ( V 1 ∩ V 2 , E 1 ∩ E 2 ) G_1\cap G_2=(V_1\cap V_2, E_1\cap E_2) G1∩G2=(V1∩V2,E1∩E2)。

差运算（Difference） ： G 1 − G 2 = ( V 1 , E 1 − E 2 ) G_1 - G_2=(V_1, E_1 - E_2) G1−G2=(V1,E1−E2)，写成： G 1 = ( V 1 , E 1 ) G_1=(V_1,E_1) G1=(V1,E1)， G 2 = ( V 2 , E 2 ) G_2=(V_2,E_2) G2=(V2,E2)，则 G 1 − G 2 = ( V 1 , E 1 − E 2 ) G_1 - G_2=(V_1, E_1 - E_2) G1−G2=(V1,E1−E2)。

特殊的点集/边集

支配集（Dominating Set）

在无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中，顶点子集 D ⊆ V D\subseteq V D⊆V 称为支配集，若对任意顶点 v ∈ V − D v\in V - D v∈V−D，都存在顶点 u ∈ D u\in D u∈D 使得 u u u 和 v v v 相邻，可表示为： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 无向图， ∃ D ⊆ V \exists D\subseteq V ∃D⊆V， ∀ v ∈ V − D \forall v\in V - D ∀v∈V−D， ∃ u ∈ D \exists u\in D ∃u∈D， u ∼ v u \sim v u∼v，则 D D D 为支配集。

边支配集（Edge Dominating Set）

在无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中，边子集 F ⊆ E F\subseteq E F⊆E 称为边支配集，若对任意边 e ∈ E − F e\in E - F e∈E−F，都存在边 f ∈ F f\in F f∈F 与 e e e 相邻（共享端点），写成： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 无向图， ∃ F ⊆ E \exists F\subseteq E ∃F⊆E， ∀ e ∈ E − F \forall e\in E - F ∀e∈E−F， ∃ f ∈ F \exists f\in F ∃f∈F， e e e 与 f f f 共享端点，则 F F F 为边支配集。

独立集（Independent Set）

在无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中，顶点子集 I ⊆ V I\subseteq V I⊆V 称为独立集，若 I I I 中任意两个顶点都不相邻，即： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 无向图， ∃ I ⊆ V \exists I\subseteq V ∃I⊆V， ∀ u , v ∈ I \forall u,v\in I ∀u,v∈I， u u u 与 v v v 不相邻，则 I I I 为独立集。

匹配（Matching）

在无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中，边子集 M ⊆ E M\subseteq E M⊆E 称为匹配，若 M M M 中的边两两之间没有公共端点，可表示为： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 无向图， ∃ M ⊆ E \exists M\subseteq E ∃M⊆E， ∀ e 1 , e 2 ∈ M \forall e_1,e_2\in M ∀e1,e2∈M， e 1 e_1 e1 与 e 2 e_2 e2 无公共端点，则 M M M 为匹配。

点覆盖（Vertex Cover）

在无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中，顶点子集 C ⊆ V C\subseteq V C⊆V 称为点覆盖，若图 G G G 中的每条边至少有一个端点在 C C C 中，写成： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 无向图， ∃ C ⊆ V \exists C\subseteq V ∃C⊆V， ∀ e ∈ E \forall e\in E ∀e∈E， ∃ v ∈ C \exists v\in C ∃v∈C， v v v 为 e e e 的端点，则 C C C 为点覆盖。

边覆盖（Edge Cover）

在无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中，边子集 L ⊆ E L\subseteq E L⊆E 称为边覆盖，若对于任意顶点 v ∈ V v\in V v∈V，都存在边 e ∈ L e\in L e∈L 使得 v v v 是 e e e 的端点，可表示为： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 无向图， ∃ L ⊆ E \exists L\subseteq E ∃L⊆E， ∀ v ∈ V \forall v\in V ∀v∈V， ∃ e ∈ L \exists e\in L ∃e∈L， v v v 为 e e e 的端点，则 L L L 为边覆盖。

团（Clique）

在无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中，顶点子集 K ⊆ V K\subseteq V K⊆V 称为团，若 K K K 中任意两个顶点都相邻，即 K K K 所诱导出的子图是完全图，可表示为： G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 无向图， ∃ K ⊆ V \exists K\subseteq V ∃K⊆V， ∀ u , v ∈ K \forall u,v\in K ∀u,v∈K， u ∼ v u \sim v u∼v，则 K K K 为团。

图的矩阵表示(存储方式)

邻接矩阵（Adjacency Matrix）

对于一个无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) ，设顶点集 V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } V = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\} V={v1,v2,⋯,vn}，其邻接矩阵 A A A 是一个 n × n n\times n n×n 的矩阵，其中元素 a i j a_{ij} aij 定义为：若顶点 v i v_i vi 和 v j v_j vj 相邻，则 a i j = 1 a_{ij} = 1 aij=1（对于无向简单图）；若不相邻，则 a i j = 0 a_{ij} = 0 aij=0。

用公式表示为： a i j = { 1 , v i ∼ v j 相邻 0 , v i ∼ v j 不相邻 a_{ij} = \begin{cases}1, & v_i \sim v_j\text{相邻} \\ 0, & v_i \sim v_j\text{不相邻}\end{cases} aij={1,0,vi∼vj相邻vi∼vj不相邻

例如，对于一个简单的三角形形状的无向图，其邻接矩阵为： ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} 011101110 。

对于有向图，若存在从顶点 v i v_i vi 指向 v j v_j vj 的边，则 a i j = 1 a_{ij} = 1 aij=1，否则 a i j = 0 a_{ij} = 0 aij=0。其邻接矩阵能反映出有向图中顶点之间的有向连接关系。

关联矩阵（Incidence Matrix）

设无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) ，顶点集 V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } V = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\} V={v1,v2,⋯,vn}，边集 E = { e 1 , e 2 , ⋯ , e m } E = \{e_1, e_2, \cdots, e_m\} E={e1,e2,⋯,em}，其关联矩阵 M M M 是一个 n × m n\times m n×m 的矩阵，元素 m i j m_{ij} mij 定义如下：若顶点 v i v_i vi 与边 e j e_j ej 关联（即 v i v_i vi 是 e j e_j ej 的一个端点），则 m i j = 1 m_{ij} = 1 mij=1；若不关联，则 m i j = 0 m_{ij} = 0 mij=0。

用公式表示为： m i j = { 1 , 如果 v i 关联 e j 0 , 如果 v i 不关联 e j m_{ij} = \begin{cases}1, & \text{如果} v_i \text{关联} e_j \\ 0, & \text{如果} v_i \text{不关联} e_j\end{cases} mij={1,0,如果vi关联ej如果vi不关联ej

例如，对于一个简单的有四条边、三个顶点的无向图，其关联矩阵可能为： ( 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 ) \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix} 110101011010 。有向图的关联矩阵定义稍有不同，对于有向边 e j e_j ej ，若顶点 v i v_i vi 是边 e j e_j ej 的起点，则 m i j = 1 m_{ij} = 1 mij=1；若 v i v_i vi 是边 e j e_j ej 的终点，则 m i j = − 1 m_{ij} = -1 mij=−1；若 v i v_i vi 与 e j e_j ej 不关联，则 m i j = 0 m_{ij} = 0 mij=0。

2、图的存储

n为图的顶点数，m为图的边数， d + ( u ) d^+(u) d+(u)为点u的出度， d − ( u ) d^-(u) d−(u)为点u的入度

2.1、直接存边

实现：

使用多个数组来存储变得起点终点和权值。

复杂度：

查询是否存在某条边： O ( m ) O(m) O(m)

遍历一个点的所有出边： O ( m ) O(m) O(m)

遍历整张图： O ( n m ) O(nm) O(nm)

空间复杂度： O ( m ) O(m) O(m)

注：在Kruskal算法中，需要把边按权值排序，需要直接存储边。

2.2、邻接矩阵