【动态规划】多歧路 , 今安在? - 路径问题

本篇博客给大家带来的是路径问题之动态规划解法技巧.
🐎文章专栏: 动态规划
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要开心
- 要快乐
- - 顺便进步
[1. 不同路径](#1. 不同路径)
[2. 不同路径 II](#2. 不同路径 II)
[3. 珠宝的最高价值](#3. 珠宝的最高价值)

要开心

要快乐

顺便进步

1. 不同路径

题目链接: 62. 不同路径

题目内容:

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7

输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2

输出：3

解释：

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

向右 -> 向下 -> 向下
向下 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向下

提示：

1 <= m, n <= 100

题目数据保证答案小于等于 2 * 109

第一步骤分析

1.状态表示
dp $i$ $j$ 表示以 $i,j$ 位置为结尾所有不同路径的总数.

状态转移方程

从 $i , j$ 最近的位置分析, 要想走到 $i , j$ 位置,有两种情况:
第一种情况: 从 $i-1 , j$ 位置向下一步, 总共有dp $i-1,j$ 种路径.
第二种情况: 从 $i , j-1$ 位置向右一步, 总共有dp $i , j-1$ 种路径.
所以dp $i$ $j$ = dp $i-1$ $j$ + dp $i,j-1$ ;

初始化
使用上篇文章所说的初始化的技巧创建dp $m+1$ $n+1$ ,此时dp中第一行和第一列是"虚拟"的, dp表的第2行和第2列都想初始化为一, 只需将dp $0$ $1$ = 1, 按填表的递推公式,就可以做到.
填表顺序
从上往下, 从左往右.
返回值
返回dp $m$ $n$ ;

第二代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
     不添加虚拟节点的做法如下, 一般能添加还是尽量添加,因为后续有一些题目,不添加将很难处理初始化.
        //1.创建dp表
        //2.初始化
        //3.填表
        //4.返回值
        
        // //1.创建dp表
        // int[][] dp = new int[m][n];

        // //2.初始化第一列
        // for(int i = 0;i < m;i++) {
        //     dp[i][0] = 1;
        // }
        // //初始化第一行
        // for(int i = 0;i < n;i++) {
        //     dp[0][i] = 1;
        // }
        // //3.填表
        // for(int i = 1;i < m;i++) {
        //     for(int j = 1;j < n;j++) {
        //         dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        //     }
        // }
        // return dp[m-1][n-1];

        //添加虚拟节点(第一行和第一列)的做法
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];

        //画图分析初始化
        dp[0][1] = 1;
        //填表
        for(int i = 1;i <= m;i++) {
            for(int j = 1;j <= n;j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }        
        return dp[m][n];
    }
}

2. 不同路径 II

题目链接: 63. 不同路径 ||

题目内容:

给定一个 m x n 的整数数组 grid。一个机器人初始位于左上角（即 grid $0$ $0$ ）。机器人尝试移动到右下角（即 grid $m - 1$ $n - 1$ ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。机器人的移动路径中不能包含任何有障碍物的方格。

返回机器人能够到达右下角的不同路径数量。

测试用例保证答案小于等于 2 * 109。

示例 1：

示例 2：

提示：

m == obstacleGrid.length

n == obstacleGrid $i$ .length

1 <= m, n <= 100

obstacleGrid $i$ $j$ 为 0 或 1

第一步骤分析

状态表示
dp $i$ $j$ 表示以 $i,j$ 位置为结尾的所有不同路径的总数.
状态转移方程

想要得出dp $i$ $j$ 的递推公式,从 $i,j$ 的相邻位置入手,根据题意机器人每次只能向下或者向右移动一步.所以从 $i-1,j$ 和 $i,j-1$ 入手.
在 $i,j$ 位置不是障碍物的情况下

i-1,j\] 到 \[i,j\] 路径数为: dp\[i-1\]\[j

i,j-1\] 到 \[i,j\] 路径数为: dp\[i\]\[j-1

dp $i$ $j$ = dp $i-1$ $j$ + dp $i$ $j-1$ ;
$i,j$ 位置是障碍物: dp $i$ $j$ = 0;

初始化

如图所示, 创建的dp表比原数组多了一行一列,这一行一列的节点为虚拟节点. 创建好dp表后需要处理两个细节
第一个 dp表与原数组之间地下标对应关系是:
dp $i$ $j$ -> obstacleGrid $i-1$ $j-1$ (此处理的作用在这一道题体现不明显,下一道题有所体现.)
第二个虚拟节点的初始化: dp表中的第二行和第二列必然都是1值, 即只有一条不同的路径, 对应到原数组的第一行和第一列,从 $0,0$ 位置开始沿着横线或者竖线直直地走就是只有一条路经. 虚拟节点地初始化就是为了将dp表的第一行和第一列初始化为1.
易得dp $0$ $1$ = 1即可, dp $1$ $0$ = 1也可.

填表顺序
从上往下填写每一行
从左往右填写每一列
返回值
看题意知, 返回dp $m$ $n$ 即可

第二代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        //1. 创建dp表
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        //2. 初始化
        dp[0][1] = 1;
        //3. 填表
        for(int i = 1;i <= m;++i) {
            for(int j = 1;j <= n;++j) {
                if(obstacleGrid[i-1][j-1] != 1) dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

3. 珠宝的最高价值

题目链接: LCR 166. 珠宝的最高价值

题目内容:

现有一个记作二维矩阵 frame 的珠宝架，其中 frame $i$ $j$ 为该位置珠宝的价值。拿取珠宝的规则为：

只能从架子的左上角开始拿珠宝

每次可以移动到右侧或下侧的相邻位置

到达珠宝架子的右下角时，停止拿取

注意：珠宝的价值都是大于 0 的。除非这个架子上没有任何珠宝，比如 frame = $\[0$ ]。

示例 1:

输入: frame = $\[1,3,1$ , $1,5,1$ , $4,2,1$ ]

输出: 12

解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最高价值的珠宝

提示：

0 < frame.length <= 200

0 < frame $0$ .length <= 200

第一步骤分析

状态表示
通常来讲都是以 $i,j$ 为结尾 ... 如果这么定义解不出来那么就定义成从 $i,j$ 开始到达终点...
本题dp $i$ $j$ 表示以 $i,j$ 位置为结尾, 所有珠宝价值和最高.
状态转移方程

如果dp $i-1$ $j$ > dp $i$ $j-1$ , 那么dp $i$ $j$ += dp $i-1$ $j$ + f $i$ $j$ ;
否则 dp $i$ $j$ += dp $i$ $j-1$ + f $i$ $j$ ;
综上, dp $i$ $j$ = Math.max(dp $i-1$ $j$ ,dp $i$ $j-1$ ) + f $i$ $j$ ;

初始化

处理两个细节
第一 dp表与原数组的对应关系: dp $i$ $j$ -> f $i-1$ $j-1$ ;
第二初始化虚拟节点, 由于虚拟节点默认值0不影响填表的正确性,所以不做处理.

填表顺序
从上到下填写每一行
从左到右填写每一列
返回值
返回dp $m$ $n$

第二代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public int jewelleryValue(int[][] f) {
        int m  = f.length;
        int n = f[0].length;
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];

        
        for(int i = 1;i <= m;++i) {
            for(int j = 1;j <= n;++j) {
                // if(dp[i-1][j] >= dp[i][j-1]) {
                //     dp[i][j] += dp[i-1][j] + f[i-1][j-1];
                // }else {
                //     dp[i][j] += dp[i][j-1] + f[i-1][j-1];
                // }
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+f[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

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