目录
[1 例子1：最典型的，最简单的数组的均值，方差的求法](#1 例子1：最典型的，最简单的数组的均值，方差的求法)
[2 例子1的问题：例子1只是1个特例，而不是普遍情况。](#2 例子1的问题：例子1只是1个特例，而不是普遍情况。)
[2.1 例子1各种默认假设，导致了求均值和方差的特殊性，特别简单。](#2.1 例子1各种默认假设，导致了求均值和方差的特殊性，特别简单。)
[2.2 我觉得 加权平均值公式，比平均值的原始公式Σxi/n 更为普适性](#2.2 我觉得 加权平均值公式，比平均值的原始公式Σxi/n 更为普适性)
[2.3 后面引入随机变量，更是解决了部分 无穷数组 求均值，方差的问题](#2.3 后面引入随机变量，更是解决了部分 无穷数组 求均值，方差的问题)
[2.4 学习顺序的错位](#2.4 学习顺序的错位)
[2.3 学习内容的缺失](#2.3 学习内容的缺失)
[3 对例子1更一般的均值求法：加权平均值的求法](#3 对例子1更一般的均值求法：加权平均值的求法)
[4 用加权法求会不会多此一举？](#4 用加权法求会不会多此一举？)
[5 例子2：对于非等概率的数组，用加权法求均值和方差](#5 例子2：对于非等概率的数组，用加权法求均值和方差)
[5.0 非等概率的数组](#5.0 非等概率的数组)
[5.1 针对非等权重的数组，求均值](#5.1 针对非等权重的数组，求均值)
[5.2 针对非等权重的数组，求方差，就必须用权重了](#5.2 针对非等权重的数组，求方差，就必须用权重了)
[6 从一般性的数组，再到随机变量数组](#6 从一般性的数组，再到随机变量数组)
[6.1 什么是随机变量数组](#6.1 什么是随机变量数组)
[6.2 随机变量的均值计算，均值=数学期望](#6.2 随机变量的均值计算，均值=数学期望)
[6.3 随机变量的方差计算](#6.3 随机变量的方差计算)
[7.4 VAR=E(Xi^2) - E(Xi)^2特殊公式的含义，别用错了](#7.4 VAR=E(Xi^2) - E(Xi)^2特殊公式的含义，别用错了)
[7 例子3: 计算随机变量数组的均值和方差](#7 例子3: 计算随机变量数组的均值和方差)
[7.1 丢1次骰子的随机变量和对应概率/权重](#7.1 丢1次骰子的随机变量和对应概率/权重)
[7.2 丢2次骰子的随机变量和对应概率/权重](#7.2 丢2次骰子的随机变量和对应概率/权重)
[7.3 这2个随机变量的均值，方差的计算](#7.3 这2个随机变量的均值，方差的计算)
1 例子1：最典型的，最简单的数组的均值，方差的求法
- 对象：一个数组
- 均值：Average=ΣXi*/N = sum/ count
- 离差：(Xi-A) # 离差，比较的是每个数列里的值与特定值如均值的差！距离差！
- 离差和：Σ(Xi-A)
- 离差和：Σ(Xi-A)
- 离差平方和：Σ(Xi-A)^2
- 方差：Σ(Xi-A)^2/N
具体到这个例子里
- Average=21/6=3.5
- Var= δ^2=2.917
2 例子1的问题：例子1只是1个特例，而不是普遍情况。
2.1 例子1各种默认假设，导致了求均值和方差的特殊性，特别简单。
- 数组1,2,3,4,5,6
- 特殊性1：只有6个数
- 特殊性2：默认等概率分布
- 特殊性3：求均值，没引入权重概念，只是直接 /n, 默认了等权重
- 特殊性4：求方差，也是直接用的/n, 默认了等权重
2.2 我觉得 加权平均值公式，比 平均值的原始公式Σxi/n 更为普适性
我觉得 加权平均值，比 Σxi/n 更为普适性
特殊性3：求均值，没引入权重概念，只是直接 /n, 默认了等权重
这个地方我需要详细解释一下
比如1个数组，
1,2,3,4,5,6 ....100, 理论上，全部相加 Σxi/n 也没错，是最底层的计算均值思路和公式
但是
很多时候，我们的数组里，有多个数是重复出现的，
1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,...5,6,100 （可能远大于100）
我们可能需要统计频度数， 频度=权重
从而用加权平均值的计算方法
比如 1*w1+2w2+.....6*w3+100*w100
所以我觉得，加权平均数，是比这种 等权重平均数更一般的情况
即使是1,2,3,4,5,6 ....100, 理论上，全部相加 Σxi/n 也没错 ，也可以强行认为他们的权重相等都是1/n，所以我觉得 加权平均值，比 Σxi/n 更为普适性
2.3 后面引入随机变量，更是解决了部分 无穷数组 求均值，方差的问题
另外往下引申一下
为什么要有随机变量，那也是因为数组除了重复，有点乱，还可能无穷。对于无穷数组其实不好计算。但是如果从概率的思路，把概率当成权重，其实可以计算无穷数组。
所以，我觉得 随机变量数组---对比 普通数组，是可以部分解决无穷数组的问题的！
即使是一个无穷数组，只要可以知道每个 具体数对于的概率，可以计算均值，方差等！这样就用概率，绕过了无穷计算这个问题！
2.4 学习顺序的错位
- 其实，我们应该先学习一般规律，再学习
- 也许教小学生可以这么教，先用特殊好懂的入门。但是即使这样，也应该把一般性的情况要讲，至少明白，这个东西是有很大局限性的。
2.3 学习内容的缺失
- 更不好的是，完全不学，不了解，一般化的均值，方差的求法
- 如果只会求这种 硬来的公式
- 完全不理解 加权平均值的思路，遇到有频度的数据，就无法处理。
- 甚至后面也无法理解，随机变量的均值的求法。
3 对例子1更一般的均值求法：加权平均值的求法
方法1: 用原始公式求
- 定义公式求均值：ΣXi / N
- 定义公式求方差：Σ(Xi -均值)^2 / N
方法2：用加权法求
- 加权法求均值：ΣXi *Wi
- 加权法求方差：Σ(Xi -均值)^2 *Wi
可以看到，两种方法的求得均值，方差都相等。
4 用加权法求会不会多此一举？
不会，看下面的例子
5 例子2：对于非等概率的数组，用加权法求均值和方差
（例子1毕竟是特例，不如加权求法更普适性）
5.0 非等概率的数组
- 还是一个普通数组，但是是 1,1,3,4,5,6
- 其中 1出现2次，没有2
- 可以转化为频度数组，1,3,4,5,6 对应频度分别是2,1,1,1,1
5.1 针对非等权重的数组，求均值
方法1: 用原始公式求
- 定义公式求均值：ΣXi / N
方法2：用加权法求
- 加权法求均值：ΣXi *Wi
都好用
比如1的频度为8，就相当于是8个1，即1,1,1,1,1,1,1,1
5.2 针对非等权重的数组，求方差，就必须用权重了
方法1: 用原始公式求
- 定义公式求方差：Σ(Xi -均值)^2 / N 这样是错误的
方法2：用加权法求
- 加权法求方差：Σ(Xi -均值)^2 *Wi
只能用加权法求方差了
6 从一般性的数组，再到随机变量数组
6.1 什么是随机变量数组
随机变量数组，就是 频度=权重=概率的，一个特殊数组
随机变量数组，可以应对部分无穷的数组的计算
6.2 随机变量的均值计算，均值=数学期望
方法1: 用原始公式求
- 定义公式求均值：ΣXi / N
方法2：用加权法求
- 加权法求均值：ΣXi *Wi
- 随机变量的数学期望 =均值 ΣXi *Wi =ΣXi *Pi
6.3 随机变量的方差计算
方法1: 用原始公式求（错误，不能这么求）
- 定义公式求方差：Σ(Xi -均值)^2 / N ，没办法这么求
方法2：用加权法求
- 加权法求方差：Σ(Xi -均值)^2 *Wi
- 实际上，因为Wi =Pi
- 加权法求方差, 就是随机变量的均值公式：Σ(Xi -均值)^2 *Wi =Σ(Xi -均值)^2 *Pi
- 公式继续变形
- ：Σ(Xi -均值)^2 *Wi =Σ(Xi -均值)^2 *Pi = E((Xi -均值)^2)= E((Xi -E(X))^2)
方法3：用2个随机变量数组的均值的差的一个变形公式
- 随机变量的方差：VAR=Σ(Xi -均值)^2 *Pi （形式上ΣYi*Pi =E(Y)）
- 随机变量的方差：VAR=E((Xi -E(X))^2)
- 随机变量的方差：VAR=E(Xi^2) - E(Xi)^2
- 这个可以推导处理出来的
7.4 VAR=E(Xi^2) - E(Xi)^2特殊公式的含义，别用错了
核心意义： 用均值可以计算方差！
知道均值了就能知道方差！
核心意义，用2个数组的均值，可以计算1个数组的方差！
- 随机变量的方差：VAR=E(Xi^2) - E(Xi)^2
- step1: 先生成1个新的随机变量数组，Xi^2
- step2: 计算E(Xi^2)
- step3: 用老的xi数组，计算E(X) ，再计算E(X)^2
- step4: 两者相减=方差， VAR=E(Xi^2)- E(X)^2
7 例子3: 计算随机变量数组的均值和方差
7.1 丢1次骰子的随机变量和对应概率/权重
7.2 丢2次骰子的随机变量和对应概率/权重
7.3 这2个随机变量的均值，方差的计算
