威沙特(Wishart)分布

内容来源
应用多元统计分析 北京大学出版社 高惠璇编著


威沙特分布

威沙特分布是一元统计中 χ 2 \chi^2 χ2 分布的推广

设 X i X_i Xi 是来自总体 N p ( 0 , Σ ) N_p(0,\Sigma) Np(0,Σ) 的随机样本

记 X = ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) ′ X=(X_1,X_2,\cdots,X_n)' X=(X1,X2,⋯,Xn)′ 为样本数据阵

考虑随机阵

W = X ′ X W=X'X W=X′X

的分布

  • 当 p = 1 p=1 p=1 时,即 X i ∼ N ( 0 , σ 2 ) X_i\sim N(0,\sigma^2) Xi∼N(0,σ2),有

W = X ′ X = ∑ i = 1 n X i 2 ∼ σ 2 χ 2 ( n ) W=X'X=\sum^n_{i=1}X^2_i\sim\sigma^2\chi^2(n) W=X′X=i=1∑nXi2∼σ2χ2(n)

  • 推广到多元情形 X i ∼ N p ( 0 , Σ ) X_i\sim N_p(0,\Sigma) Xi∼Np(0,Σ)

称随机阵 W W W 服从威沙特分布

记为 W ∼ W p ( n , Σ ) W\sim W_p(n,\Sigma) W∼Wp(n,Σ)

  • 一般地,设 X i ∼ N p ( μ i , Σ ) X_i\sim N_p(\mu_i,\Sigma) Xi∼Np(μi,Σ) 相互独立

则称 W W W 服从非中心参数为 Δ \Delta Δ 的非中心威沙特分布

记为 W ∼ W p ( n , Σ , Δ ) W\sim W_p(n,\Sigma,\Delta) W∼Wp(n,Σ,Δ),其中

Δ = ∑ i = 1 n μ i μ i ′ \Delta=\sum^n_{i=1}\mu_i\mu'_i Δ=i=1∑nμiμi′

性质

正态样本的离差阵

设 X i ∼ N p ( μ , Σ ) X_i\sim N_p(\mu,\Sigma) Xi∼Np(μ,Σ) 相互独立,则样本离差阵服从威沙特分布

A = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) ( X i − X ‾ ) ′ ∼ W p ( n − 1 , Σ ) A=\sum^n_{i=1}(X_i-\overline{X})(X_i-\overline{X})'\sim W_p(n-1,\Sigma) A=i=1∑n(Xi−X)(Xi−X)′∼Wp(n−1,Σ)

与一元情形相似

( n − 1 ) s 2 / σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) (n-1)s^2/\sigma^2\sim \chi^2(n-1) (n−1)s2/σ2∼χ2(n−1)

关于自由度 n n n 具有可加性

设 W i ∼ W p ( n i , Σ ) W_i\sim W_p(n_i,\Sigma) Wi∼Wp(ni,Σ) 相互独立,则

∑ i = 1 k W i ∼ W p ( ∑ i = 1 k n i , Σ ) \sum^k_{i=1}W_i\sim W_p(\sum^k_{i=1}n_i,\Sigma) i=1∑kWi∼Wp(i=1∑kni,Σ)

性质3

设 W ∼ W p ( n , Σ ) W\sim W_p(n,\Sigma) W∼Wp(n,Σ)

C C C 是 m × p m\times p m×p 常数矩阵,则

C W C ′ ∼ W m ( n , C Σ C ′ ) CWC'\sim W_m(n,C\Sigma C') CWC′∼Wm(n,CΣC′)

分块威沙特矩阵的分布

设 X i ∼ N p ( 0 , Σ ) X_i\sim N_p(0,\Sigma) Xi∼Np(0,Σ) 相互独立,其中

Σ = [ Σ 11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 ] \Sigma=\left[ \begin{matrix} \Sigma_{11}&\Sigma_{12}\\ \Sigma_{21}&\Sigma_{22} \end{matrix} \right] Σ=[Σ11Σ21Σ12Σ22]

对 W W W 也作相同的分块

W = X ′ X = [ W 11 W 12 W 21 W 22 ] ∼ W p ( n , Σ ) W=X'X=\left[ \begin{matrix} W_{11}&W_{12}\\ W_{21}&W_{22} \end{matrix} \right]\sim W_p(n,\Sigma) W=X′X=[W11W21W12W22]∼Wp(n,Σ)

  • W 11 ∼ W r ( n , Σ 11 ) , W 22 ∼ W p − r ( n , Σ 22 ) W_{11}\sim W_r(n,\Sigma_{11}),W_{22}\sim W_{p-r}(n,\Sigma_{22}) W11∼Wr(n,Σ11),W22∼Wp−r(n,Σ22)

  • 当 Σ 12 = 0 \Sigma_{12}=0 Σ12=0 时, W 11 , W 22 W_{11},W_{22} W11,W22 相互独立

  • 记 W 22 ⋅ 1 = W 22 − W 21 W 11 − 1 W 12 W_{22\cdot1}=W_{22}-W_{21}W^{-1}{11}W{12} W22⋅1=W22−W21W11−1W12,则

    W 22 ⋅ 1 ∼ W p − r ( n − r , Σ 22 ⋅ 1 ) W_{22\cdot1}\sim W_{p-r}(n-r,\Sigma_{22\cdot1}) W22⋅1∼Wp−r(n−r,Σ22⋅1)

    其中 Σ 22 ⋅ 1 = Σ 22 − Σ 21 Σ 11 − 1 Σ 12 \Sigma_{22\cdot1}=\Sigma_{22}-\Sigma_{21}\Sigma^{-1}{11}\Sigma{12} Σ22⋅1=Σ22−Σ21Σ11−1Σ12

    且 W 22 ⋅ 1 , W 11 W_{22\cdot1},W_{11} W22⋅1,W11 相互独立

期望

E ( W ) = n Σ E(W)=n\Sigma E(W)=nΣ

一元统计中 p p p 维观测向量 X X X 的二次型的多元推广

1

设 X ∼ N n × p ( M , I n ⊗ Σ ) X\sim N_{n\times p}(M,I_n\otimes\Sigma) X∼Nn×p(M,In⊗Σ)

A A A 为 n n n 阶对称矩阵,则

X ′ A X ∼ W p ( r , Σ , Δ ) X'AX\sim W_p(r,\Sigma,\Delta) X′AX∼Wp(r,Σ,Δ)

其中 Δ = M ′ A M , r = r a n k ( A ) \Delta=M'AM,r=rank(A) Δ=M′AM,r=rank(A)

2

设 X ∼ N n × p ( M , I n ⊗ Σ ) X\sim N_{n\times p}(M,I_n\otimes\Sigma) X∼Nn×p(M,In⊗Σ)

A , B A,B A,B 为 n n n 阶对称幂等矩阵,则

X ′ A X 与 X ′ B X 相互独立 ⟺ A B = 0 X'AX与X'BX相互独立\Longleftrightarrow AB=0 X′AX与X′BX相互独立⟺AB=0

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