1.雪球的融化
设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，并且在融化过程中它始终为球体。该雪球在开始时的半径为6cm，经过2h后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解 ~~~~~ 设 t t t时刻雪球的体积为 V ( t ) V(t) V(t)，其表面积为 S ( t ) S(t) S(t)，由题设得
d V d t = − r V 2 3 , V ( 0 ) = 288 π , V ( 2 ) = 36 π \frac{dV}{dt}=-rV^{\frac{2}{3}},V(0)=288\pi,V(2)=36\pi dtdV=−rV32,V(0)=288π,V(2)=36π
分离变量积分得方程的通解为
V ( t ) = 1 27 ( C − r t ) 3 V(t)=\frac{1}{27}(C-rt)^3 V(t)=271(C−rt)3
利用条件 V ( 0 ) = 288 π V(0)=288\pi V(0)=288π和 V ( 2 ) = 36 π V(2)=36\pi V(2)=36π确定出常数 C C C和 r r r，代入后得雪球的体积随时间变化关系为
V ( t ) = π 6 ( 12 − 3 t ) 3 V(t)=\frac{\pi}{6}(12-3t)^3 V(t)=6π(12−3t)3
注意，尽管解的表达式中 t t t的取值可以是任意实数，但由于实际问题的要求， t t t的取值是在 [ 0 , 4 ] [0,4] [0,4]内。
2.化学反应问题
设有两种化学物质 A A A和 B B B，它们反应后生成另一种物质 C C C。设反应速度与物质 A A A和 B B B当时剩余量之积成正比，而且在反应过程中，每克物质 B B B需要2g物质 A A A与之反应而生成物质 C C C。已知原有的 A , B A,B A,B物质分别是10g和20g，而且在20min内反应生成的物质 C C C为6g，求在任意时刻物质 C C C的质量。
解 ~~~~~ 设 x ( t ) x(t) x(t)表示 t t t时刻所生成的物质 C C C的总量，则 d x d t \frac{dx}{dt} dtdx 为反应速度。由题意知生成 x g 的物质 为反应速度。由题意知生成xg的物质 为反应速度。由题意知生成xg的物质C 需要 需要 需要\frac{2}{3}x g 的物质 g的物质 g的物质A 和 和 和\frac{1}{3}x g 的物质 g的物质 g的物质B 。此时物质 。此时物质 。此时物质A 和 和 和B$分别剩余 10 − 2 3 x 10-\frac{2}{3}x 10−32x和 20 − 1 3 x 20-\frac{1}{3}x 20−31x，于是由题意得
d x d t = k ( 10 − 2 3 x ) ( 20 − 1 3 x ) , \frac{dx}{dt}=k\bigg(10-\frac{2}{3}x\bigg)\bigg(20-\frac{1}{3}x\bigg), dtdx=k(10−32x)(20−31x),
x ( 0 ) = 0 , x ( 20 ) = 6. x(0)=0,x(20)=6. x(0)=0,x(20)=6.
为了方便，令 r = 2 9 k r=\frac{2}{9}k r=92k，将此微分方程改写为
d x d t = r ( 15 − x ) ( 60 − x ) \frac{dx}{dt}=r(15-x)(60-x) dtdx=r(15−x)(60−x)
分离上式变量，积分得
∫ d x ( 15 − x ) ( 60 − x ) = ∫ r d t + c \int \frac{dx}{(15-x)(60-x)}=\int rdt+c ∫(15−x)(60−x)dx=∫rdt+c
1 45 ln 60 − x 15 − x = r t + c \frac{1}{45}\ln \frac{60-x}{15-x}=rt+c 451ln15−x60−x=rt+c
60 − x 15 − x = c 1 e 45 r t , c 1 = e 45 c . \frac{60-x}{15-x}=c_1e^{45rt},c_1=e^{45c}. 15−x60−x=c1e45rt,c1=e45c.
利用初始条件 x ( 0 ) = 0 x(0)=0 x(0)=0得 c 1 = 4 c_1=4 c1=4，再利用 x ( 20 ) = 6 x(20)=6 x(20)=6得 r = 1 900 ln 3 2 r=\frac{1}{900}\ln \frac{3}{2} r=9001ln23。将 c 1 c_1 c1和 r r r的值代入上式，解出 x x x得
x ( t ) = 60 ( 1 − e t 20 ln 3 2 ) 1 − 4 e t 20 ln 3 2 x(t)=\frac{60\bigg(1-e^{\frac{t}{20}\ln\frac{3}{2}}\bigg)}{1-4e^{\frac{t}{20}\ln\frac{3}{2}}} x(t)=1−4e20tln2360(1−e20tln23)
这就是在此化学反应过程中生成物 C C C的质量随时间变化的规律。
由此表达式可以看出 lim t → + ∞ x ( t ) = 15 \lim\limits_{t\to+\infty}x(t)=15 t→+∞limx(t)=15。